Topologie
Exercices du dossier Topologie
Familles libres, Mines 2015 ** Mines-Ponts
11 avril 2024 15:28 — Par Michel Quercia
Soit \((E,(\,|\,))\) un espace préhilbertien. Montrer que \(A=\{ (x,y)\in E\times E,\,(x,y) \text{ est libre}\}\) est ouvert.
[ID: 4582] [Date de publication: 11 avril 2024 15:28] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte
Familles libres, Mines 2015
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:28
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:28
On considère \(f : E\times E \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto \left\|x\right\| \left\|y\right\|-|(x|y)|.\) On a, en appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, \(A=f^{-1}(]0,+\infty [)\), donc c’est un ouvert car \(f\) est continue et \(\mathbb{R}^*\) ouvert.