Inégalité de Cauchy-Schwarz
Exercices du dossier Inégalité de Cauchy-Schwarz
Inégalité de Cauchy-Schwarz **
11 avril 2024 15:05 — Par Michel Quercia
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions : \([a,b] \to \mathbb{R}^{+*}\) continues et \(\Phi : E \rightarrow \mathbb{R}, f \mapsto \int _a^b f\times \int _a^b 1/f.\)
Montrer que \(\min\{ \Phi(f)\text{ tq }f\in E\} = (b-a)^2\) et chercher les fonctions réalisant le minimum.
[ID: 4552] [Date de publication: 11 avril 2024 15:05] [Catégorie(s): Inégalité de Cauchy-Schwarz ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Inégalité de Cauchy-Schwarz
Par Emmanuel Vieillard-Baron le 16 avril 2024 10:30
Par Emmanuel Vieillard-Baron le 16 avril 2024 10:30
On considère pour \(f,g\in G=\mathcal{C}^{0}([a,b],\mathbb{R})\) le produit scalaire \(\left<f|g\right>=\int_{a}^{b} f(t)g(t)\,\textrm{d}t\).
Par inégalité de Cauchy-Schwarz, pour \(f\in E\), on a:
\[\left<\sqrt{f}|1/{ \sqrt{f} }\right>^2 \leqslant\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t\int_{a}^{b} 1/f(t)\,\textrm{d}t\] avec égalité si et seulement si \(\sqrt{f}\) et \(1/\sqrt{f}\) sont proportionnelles.
Cela donne que \((b-a)^2\) est un minorant de \(\Phi(E)\) et qu’il est atteint si \(f\) et \(1/f\) sont colinéaires c’est-à-dire si et seulement si \(f\) est constante.
Norme uniforme sur \(\mathbb{R}_{3} [X]\) ** Polytechnique
11 avril 2024 15:05 — Par Michel Quercia
Soit \(P\in \mathbb{R}[X]\) de degré inférieur ou égal à 3 tel que \(\int _{t=-1}^1 P^2 (t)\,d t = 1\).
Montrer que \(\sup\{ |P(x)| \text{ tq }-1\leq x\leq 1\} \leq 2\sqrt 2\).
Indication : pour \(a\in \mathbb{R}\) montrer qu’il existe \(P_a\in \mathbb{R}_{3} [X]\) tel que : \(\forall P\in \mathbb{R}_{3} [X]\), \(P(a) = \int _{t=-1}^1 P(t)P_a(t)\,d t\). Calculer explicitement \(P_a\), et appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
[ID: 4554] [Date de publication: 11 avril 2024 15:05] [Catégorie(s): Inégalité de Cauchy-Schwarz ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte
Norme uniforme sur \(\mathbb{R}_{3}
[X]\)
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:05
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:05
\(P_a(t) = \frac{3}{8}(3 -5t^2 -5a^2 +15a^2 t^2 ) +\frac{5}{8}at(15-21t^2 -21a^2 +35a^2 t^2 )\),
\(8\left\|P_a\right\|^2 = 9 + 45a^2 - 165a^4 + 175a^6\) est maximal pour \(a=\pm 1\) et \(\left\|P_a\right\| = 2\sqrt 2\).