Projections orthogonales

Exercices du dossier Projections orthogonales

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Expression analytique
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:00
  1. \((\frac 1{\sqrt 6}(1,-2,1,0), \frac 1{\sqrt {30}}(2,-1,-4,3))\).

  2. \(\frac 1{10}\begin{pmatrix}3 &-4 &-1 &2 \\ -4 &7 &-2 &-1 \\ -1 &-2 &7 &-4 \\ 2 &-1 &-4 &3 \\\end{pmatrix}\).

  3. \(\sqrt {\frac 7{10}}\).


Projection sur un hyperplan **

11 avril 2024 15:00 — Par Michel Quercia

On munit \(\mathbb{R}^n\) du produit scalaire usuel. Soit \(H = \{ (x_{1},\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n \text{ tq }a_{1}x_{1} + \dots+ a_nx_n = 0\}\)\(a_{1},\dots,a_n\) sont des réels donnés non tous nuls. Chercher la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur \(H\).



[ID: 4546] [Date de publication: 11 avril 2024 15:00] [Catégorie(s): Projections orthogonales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Projection sur un hyperplan
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:00

\(\dfrac1{\sum a_i^2 }(I - (a_ia_j))\).


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Composition de projecteurs **

11 avril 2024 15:00 — Par Michel Quercia

Soient \(F\), \(G\) deux sev d’un ev euclidien \(E\) tels que \(F^\perp \perp G^\perp\). On note \(p_F\) et \(p_G\) les projections orthogonales sur \(F\) et sur \(G\). Montrer que \(p_F + p_G - p_{F\cap G} = \mathop{\rm id}\nolimits_E\) et \(p_F\circ p_G = p_G\circ p_F = p_{F\cap G}\).



[ID: 4549] [Date de publication: 11 avril 2024 15:00] [Catégorie(s): Projections orthogonales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Projecteurs commutant
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:01

Si \(p\circ q = q\circ p\) : Soient \(x\in (\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)^\perp \cap \mathop{\rm Im}\nolimits p\) et \(y\in (\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)^\perp \cap \mathop{\rm Im}\nolimits q\).

Alors \(p\circ q(x) = q(x) \in \mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q\), donc \((q(x)|y)=(x|y) = 0\).

Si \(A = (\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)^\perp \cap \mathop{\rm Im}\nolimits p\) et \(B = (\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)^\perp \cap \mathop{\rm Im}\nolimits q\) sont orthogonaux : Alors \(\mathop{\rm Im}\nolimits p = (\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)\buildrel\perp \over\oplus A\), \(\mathop{\rm Im}\nolimits q = (\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)\buildrel\perp \over\oplus B\), et \(E = (\mathop{\rm Im}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)\buildrel\perp \over\oplus A \buildrel\perp \over\oplus B \buildrel\perp \over\oplus(\mathop{\rm Im}\nolimits p^\perp \cap \mathop{\rm Im}\nolimits q^\perp )\). Par décomposition, on obtient \(p\circ q = q \circ p ={ }\) la projection orthogonale sur \(\mathop{\rm Im}\nolimits p \cap \mathop{\rm Im}\nolimits q\).


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