Formes linéaires et produits scalaires

Exercices du dossier Formes linéaires et produits scalaires

Forme linéaire sur \(\mathbb{R}_{2}[X]\) ** Polytechnique

9 avril 2024 14:01 — Par Michel Quercia

On munit \(\mathbb{R}_{2}[X]\) du produit scalaire : \((P|Q) = \int _{t=0}^1 PQ(t)\,d t\).

  1. Vérifier que c’est effectivement un produit scalaire.

  2. Soit \(\varphi : \mathbb{R}_{2}[X] \rightarrow \mathbb{R}, P \mapsto P(0).\) Trouver le polynôme \(A\) tel que : \(\forall P\in \mathbb{R}_{2}[X]\), \(\varphi (P) = (A|P)\).



[ID: 4524] [Date de publication: 9 avril 2024 14:01] [Catégorie(s): Formes linéaires et produits scalaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Forme linéaire sur \(\mathbb{R}_{2}[X]\)
Par Michel Quercia le 9 avril 2024 14:01
  1. \(30X^2 -36X+9\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Magistère de Ker Lann 2010
Par Michel Quercia le 9 avril 2024 14:01
  1. \(\dfrac{2^{i+j+1}}{2^{i+j+1}-1}\).

  2. Décomposer \(P,Q\) sur la base canonique de \(\mathbb{R}[X]\). On peut aussi remarquer que la série converge car \(P\) et \(Q\) sont bornés sur \([0,1]\).

  3. Si \(Q\) existe alors pour \(P=X^n\) on obtient : \[S_{0} =\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}Q(2^{-k})=1\text{ et } S_n=\sum_{k=0}^\infty 2^{-(n+1)k}Q(2^{-k})=0\text{ pour tout }n\leq 1.\] On a facilement \(S_n\to _{n\to \infty }Q(1)\), d’où \(Q(1)=0\) et \(2^{n+1}S_n=\sum_{k=1}^\infty 2^{-(n+1)(k-1)}Q(2^{-k})\to _{n\to \infty }Q(\frac12)\). Ainsi \(Q(\frac12)=0\) et de proche en proche, \(Q(2^{-k})=0\) pour tout \(k\). Ceci implique \(Q=0\), en contradiction avec la valeur de \(S_{0}\). Ainsi \(\Phi\) n’est pas représentable par un produit scalaire, ce qui fournit un contre-exemple au théorème de Riesz en dimension infinie. On peut remarquer d’ailleurs que \(\Phi\) est discontinue pour le produit scalaire choisi : si \(P_n=(1-X)(1-2X)\dots(1-2^n X)\), on a \(\Phi(P_n)=1\) et \(\left\|P_n\right\|^2 =\sum_{k=n+1}^\infty 2^{-k}P^2 (2^{-k})\leq \sum_{k=n+1}^\infty 2^{-k} \to _{n\to \infty }0\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Mines 2017
Par Michel Quercia le 9 avril 2024 14:01

Comme \(X\neq 0\) (ou \(\mathop{\rm rg}\nolimits(A-\lambda I_n)<n\)), \(\lambda\) est effectivement valeur propre de \(A\). L’ensemble \(E\) est \(Y^\perp\), c’est un hyperplan de \(\mathcal M _{n,1}(\mathbb{R})\) et la relation \({ }^tYA=\lambda { }^tY\) montre qu’il est stable par \(A\). De plus, \(X\not\in E\) donc \(\mathcal M _{n,1}(\mathbb{R}) = E \oplus 〈X〉\) et ces deux sous-espaces sont stables par \(A\), d’où \(\chi_A(x) = \chi_{A_{|E}}(x)(x-\lambda )\). Il n’y a plus qu’à prouver que \(\lambda\) n’est pas valeur propre de \(A_{|E}\) et ceci résulte des faits que le sous-espace propre est de dimension \(1\) et contient déjà \(X\).


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