Applications linéaires continues

ENS 2017 ** ENS

21 mars 2024 21:31 — Par Michel Quercia

Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\). On définit la fonction \(A^*:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n\) par \[\forall v\in \mathbb{R}^n,\ \forall j\in \llbracket 1,n\rrbracket ,\ [A^*v]_j = \min\{ v_i+A_{ij}, 1\leq i\leq n\} .\]

1. Montrer que \(A^*\) est lipschitzienne.

2. Montrer que si \(\lambda \in {]0,1[}\) alors \(\exists \!!\,v_\lambda \in \mathbb{R}^n\text{ tq }v_\lambda = A^*(\lambda v_\lambda )\) (pour l’existence, on pourra introduire une suite construite par récurrence).

[ID: 4470] [Date de publication: 21 mars 2024 21:31] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

\(\left\|f(x)\right\|=1\) **

21 mars 2024 21:31 — Par Michel Quercia

Soient \(E\), \(F\) deux \(\mathbb{K}\)-evn et \(f\in \mathcal L (E,F)\).

Montrer que \(f\) est continue si et seulement si \(\{ x\in E\text{ tq }\left\|f(x)\right\|=1\}\) est fermé.

[ID: 4472] [Date de publication: 21 mars 2024 21:31] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Applications linéaires continues **

21 mars 2024 21:31 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-ev de dimension finie et \(u\in \mathcal L (E)\). On pose \(\left\|u\right\| = \sup(\left\|u(x)\right\|\text{ tq }\left\|x\right\| = 1)\).

1. Montrer que \(\left\|u\right\|\) existe et que c’est un maximum.

2. Montrer que \(\left\|\;.\;\right\|\) est une norme sur \(\mathcal L (E)\) (appelée : norme linéaire associée à \(\left\|\;.\;\right\|\)).

3. Montrer que : \(\forall x\in E,\ \left\|u(x)\right\|\leq \left\| u\right\|\times \left\|x\right\|\).

4. En déduire que : \(\forall u,v\in \mathcal L (E)\), \(\left\| u\circ v\right\|\leq \left\|u\right\|\times \left\|v\right\|\).

[ID: 4473] [Date de publication: 21 mars 2024 21:31] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Centrale MP 2006 ** Centrales MP

21 mars 2024 21:31 — Par Michel Quercia

\(E\) est l’ensemble des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) continues et bornées sur \(\mathbb{R}\).

Pour \(p\in \mathbb{N}\) et \(f\in E\) on pose : \(N_{p}(f) = \sup\{ |t^{p} e^{-|t|} f(t)|,\ t\in \mathbb{R}\}\).

1. Montrer que \(N_{p}\) est une norme sur \(E\).

2. Soit \(c\in \mathbb{R}\) et \(P_{c} : E \rightarrow \mathbb{R}, f \mapsto f(c).\) Étudier la continuité de \(P_c\) sur \((E,N_p)\).

3. Montrer que, pour \(p\) et \(q\) distincts dans \(\mathbb{N}\), les normes \(N_p\) et \(N_q\) ne sont pas équivalentes.

[ID: 4474] [Date de publication: 21 mars 2024 21:31] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Applications linéaires continues **

21 mars 2024 21:31 — Par Michel Quercia

Soient \(E,F\) deux evn de dimensions finies et \(\varphi :E\to F\) linéaire. Montrer que \(\varphi\) est continue.

En déduire que tout sev de \(E\) est fermé.

[ID: 4476] [Date de publication: 21 mars 2024 21:31] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Continuité du polynôme de Lagrange **

21 mars 2024 21:31 — Par Michel Quercia

Soient \(x_{1},\dots,x_n\in \mathbb{R}\) distincts. A \((y_{1},\dots,y_n)\in \mathbb{R}^n\) on fait correspondre le polynôme \(P\in \mathbb{R}_{n-1}[X]\) tel que pour tout \(i\) : \(P(x_i) = y_i\).

1. Montrer que l’application \((y_{1},\dots,y_n) \mapsto P\) est continue.

2. Montrer que l’application réciproque est aussi continue.

[ID: 4477] [Date de publication: 21 mars 2024 21:31] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Suites convergentes **

21 mars 2024 21:31 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles convergentes muni de la norme \(\left\|u\right\| = \sup\{ |u_n|, n\in \mathbb{N}\}\).

Soit \(L : E \rightarrow \mathbb{R}, u \mapsto l = \lim_{n\to \infty } u_n.\) Montrer que \(L\) est une application linéaire continue et calculer sa norme.

[ID: 4478] [Date de publication: 21 mars 2024 21:31] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Itération d’un endomorphisme **

21 mars 2024 21:31 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u\in \mathcal L (E)\). On choisit \(x_{0} \in E\), et on considère la suite \((x_n)\) définie par la relation de récurrence : \(x_{n+1} = u(x_n)/\left\|u(x_n)\right\|\).

On suppose que la suite \((x_n)\) converge. Montrer que la limite est un vecteur propre de \(u\).

Exemples :

1. \(E = \mathbb{R}^3\), \(\mathop{\rm mat}\nolimits(u) = \begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \\\end{pmatrix}\).

2. \(E = \mathbb{R}^3\), \(\mathop{\rm mat}\nolimits(u) = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 \\ 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\\end{pmatrix}\).

[ID: 4479] [Date de publication: 21 mars 2024 21:31] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Puissances de \(u\) **

21 mars 2024 21:31 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u\in \mathcal L (E)\) tel que \(\left\|u\right\|\leq 1\). Montrer que la suite \((u^n )\) contient une sous-suite simplement convergente.

[ID: 4480] [Date de publication: 21 mars 2024 21:31] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

\(id - u\) est bicontinu **

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un \(\mathbb{C}\)-evn et \(u\in \mathcal L _c(E)\) tel que \(\mathop{\rm id}\nolimits_E - u\) est bicontinu. Montrer que pour tout entier \(n\), \(\mathop{\rm id}\nolimits_E - u^n\) est bicontinu et comparer son inverse à \(\sum_{k=0}^{n-1} \bigl(\mathop{\rm id}\nolimits_E - e^{2ik\pi /n}u\bigr)^{-1}\).

Indication : décomposer en éléments simples la fraction \(\dfrac1{1-X^n }\).

[ID: 4482] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Norme linéaire sur \(\mathbb{R}\) = norme linéaire sur \(\mathbb{C}\) **

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) et \(f\in \mathcal L (\mathbb{R}^n )\), \(g\in \mathcal L (\mathbb{C}^n )\) les endomorphismes canoniquement associés à \(A\). Montrer que si on munit \(\mathbb{R}^n\) et \(\mathbb{C}^n\) des normes euclidiennes usuelles, alors \(\left\|f\right\| = \left\|g\right\|\).

[ID: 4484] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Applications linéaires sur \(\mathbb{R}[x]\) **

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

Soit \(E = \mathbb{R}[x]\) muni de la norme : \(\left\|\sum a_ix^i \right\| = \sum|a_i|\).

1. Est-ce que \(\varphi : P \mapsto P(x+1)\) est continue ?

2. Est-ce que \(\psi : P \mapsto AP\) est continue ? (\(A\in E\) fixé)

3. Reprendre les questions précédentes avec la norme : \(\left\|P\right\| = \sup\{ e^{-|t|}|P(t)|,\ t\in \mathbb{R}\}\).

[ID: 4486] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

\(uv - vu = id\) **

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un espace vectoriel normé et \(u,v\in \mathcal L (E)\) tels que \(u\circ v - v\circ u = \mathop{\rm id}\nolimits_E\).

1. Calculer \(u\circ v^n - v^n \circ u\) pour \(n\in \mathbb{N}^*\).

2. Montrer que \(u\) ou \(v\) est discontinu.

[ID: 4488] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

La dérivation peut-elle être continue ? **

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

On note \(E=\mathcal C ^\infty ([0,+\infty [,\mathbb{R})\) et \(D\) l’endomorphisme de \(E\) de dérivation : \(D(f) = f'\).

1. Montrer qu’il n’existe aucune norme sur \(E\) pour laquelle \(D\) soit continu.

2. Soit \(F\) le sous-ev de \(E\) constitué des fonctions polynomiales. Trouver une norme sur \(F\) pour laquelle \(D_{|F}\) est continu.

[ID: 4490] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Mines MP 2002 ** Mines-Ponts MP

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

On munit \(E_k = \mathbb{R}_k[X]\) de la norme \(\left\|P\right\|_k = \sum_{i=0}^k |P(i)|\). Calculer \(\left\|\varphi \right\|\) avec \(\varphi : E_{2} \rightarrow E_3, P \mapsto X^2 P'.\)

[ID: 4492] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Normes sur les suites bornées **

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)\) bornées et \(F\) le sev des suites telles que la série de terme général \(|u_n|\) converge. Pour \(u\in E\), on pose \(\left\|u\right\|_\infty = \sup\limits_n |u_n|\) et pour \(u\in F\) : \(\left\|u\right\|_{1} = \sum\limits_n |u_n|\).

Soit \(a\in E\) et \(f : E \rightarrow E, u \mapsto au = (a_nu_n).\)

1. Montrer que \(f\) est une application linéaire continue de \(E\) dans \(E\) et calculer sa norme.

2. Montrer que \(F\) est stable par \(f\) et calculer la norme de \(f_{|F}\) quand on prend la norme \(\left\|\ \right\|_{1}\) sur \(F\).

[ID: 4494] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Thm de l’hyperplan fermé **

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-evn et \(f\in E^*\).

1. Montrer que \(f\) est continue si et seulement si \(\mathop{\rm Ker}\nolimits f\) est fermé (pour la réciproque : supposer \(\mathop{\rm Ker}\nolimits f\) fermé, montrer que \(\{ x\text{ tq }f(x) > 0\}\) est ouvert, puis étudier \(\{ x\text{ tq }-1 < f(x) < 1\}\)).

2. On suppose \(f\) continue. Soit \(x\in E\). Montrer que \(|f(x)| = \left\|f\right\|\,d(x,\mathop{\rm Ker}\nolimits f)\).

[ID: 4495] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Théorème de Hahn-Banach (Polytechnique MP\(^*\) 2003) ** Polytechnique MP

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un espace vectoriel normé de dimension finie et \(F\) un hyperplan de \(E\). Soit \(\varepsilon\in E\) tel que \(\mathbb{R}\varepsilon\) soit supplémentaire de \(F\). Soit \(f\) une forme linéaire sur \(F\).

1. Montrer que : \(\forall x_{1},x_{2}\in F,\ f(x_{1})-\left\|f\right\|\;\left\|x_{1}-\varepsilon\right\| \leq \left\|f\right\|\;\left\|x_{2}+\varepsilon\right\| - f(x_{2})\).

2. Montrer qu’il existe \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que : \(\forall x_{1},x_{2}\in F,\ f(x_{1})-\left\|f\right\|\;\left\|x_{1}-\varepsilon\right\| \leq \alpha \leq \left\|f\right\|\;\left\|x_{2}+\varepsilon\right\| - f(x_{2})\).

3. On définit \(\varphi \in E^*\) par \(\varphi _{|F} = f\) et \(\varphi (\varepsilon) = \alpha\). Montrer que \(\left\|\varphi \right\| = \left\|f\right\|\).

4. On considère \(E = \{ u = (u_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \mathbb{R}^\mathbb{N}\text{ tq }\sum_{n\in \mathbb{N}}|u_n|<+\infty \}\) avec la norme définie par :

   \(\left\|u\right\| = \sum_{n\in \mathbb{N}}|u_n|\). Montrer que \(E\) est complet pour cette norme.

5. Donner une famille dénombrable de sev de \(E\) de dimensions finies dont la réunion est dense dans \(E\).

6. Soit \(F\) un sev de \(E\) de dimension finie et \(f\) une forme linéaire sur \(F\). Montrer qu’il existe une forme linéaire \(\varphi\) sur \(E\) telle que \(\varphi _{|F} = f\) et \(\left\|\varphi \right\| = \left\|f\right\|\).

[ID: 4497] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Rayon spectral **

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u\in \mathcal L (E)\). On pose \(x_n = \left\|u^n \right\|\).

1. Montrer que \(\rho = \inf\{ \root n\of{x_n},\ n\in \mathbb{N}\}\) est indépendant de la norme choisie sur \(E\).

2. En utilisant l’inégalité : \(x_{p+q}\leq x_p x_q\), montrer que la suite \((\root n\of {x_n})\) converge vers \(\rho\).

[ID: 4499] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Rayon spectral (Centrale MP 2001) ** Centrales MP

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un espace vectoriel complexe de dimension finie. On considère un endomorphisme \(f\) de \(E\) et on note \(\rho (f) = \sup\{ |\lambda |\text{ tq }\lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(f)\}\) (rayon spectral de \(f\)). Soit \(\mu\) une norme sur \(\mathcal L (E)\).

1. Montrer que \(\rho (f)\leq \lim_{p\to \infty }(\mu(f^p)^{1/p})\). On pourra pour commencer supposer que \(\mu\) est la norme subordonnée à une norme sur \(E\).

2. Montrer que si \(f\) est diagonalisable l’inégalité précédente est une égalité.

3. Étudier le cas général.

[ID: 4500] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Polytechnique MP\(^*\) 2000 ** Polytechnique MP

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

Soit \(u\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^m\). Prouver que \(u\) est surjective si et seulement si elle transforme tout ouvert de \(\mathbb{R}^n\) en ouvert de \(\mathbb{R}^m\).

[ID: 4502] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Sommes de Riemann **

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

Soit \(E=\mathcal C ([0,1],\mathbb{R})\) muni de \(\left\|\ \right\|_\infty\).

Pour \(f\in E\), on pose \(\mu (f) = \int _{0} ^1 f\) et pour \(n\geq 1\), \(\mu _n(f) = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f(k/n)\).

1. Montrer que \(\mu\) et \(\mu _n\) sont des applications linéaires continues et calculer leurs normes.

2. Montrer : \(\forall f\in E\), \(\mu _n(f)\to _{n\to \infty }\mu (f)\).

3. Montrer : \(\forall n\geq 1\), \(\left\|\mu _n-\mu \right\| = 2\).

[ID: 4504] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Évaluation **

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

Soit \(E = \mathcal C ([0,1],\mathbb{R})\) muni de \(\left\|\ \right\|_\infty\). Pour \(a\in [0,1]\) on considère la forme linéaire \(\varphi _a = f\mapsto f(a)\).

1. Montrer que \(\varphi _a\) est continue et déterminer sa norme.

2. Calculer \(\left\|\varphi _a-\varphi _b\right\|\) pour \(a,b\in [0,1]\).

3. L’application \(a\to \varphi _a\) est-elle continue ?

[ID: 4505] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

\(\mathop{\rm Ker}\nolimits f=\mathop{\rm Ker}\nolimits f^2\), Mines MP 2012 ** Mines-Ponts MP

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(f\in \mathcal L (E)\). Montrer qu’il existe \(C>0\) tel que, pour tout \(x\in E\), \(\left\|f^2 (x)\right\|\geq C\left\|f(x)\right\|\) si et seulement si \(\mathop{\rm Ker}\nolimits f=\mathop{\rm Ker}\nolimits f^2\).

[ID: 4506] [Date de publication: 21 mars 2024 21:32] [Catégorie(s): Applications linéaires continues ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]