Complétude
Exercices du dossier Complétude
Norme pour les fonctions lipschitziennes **
21 mars 2024 21:21 — Par Michel Quercia
Soit \(E = \{ \text{fonctions lipchitziennes } f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\}\). Pour \(f\in E\), on pose \(\left\|f\right\| = |f(0)| + \sup\limits_{x\neq y} \left|\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\).
Montrer que \(E\) est complet.
[ID: 4418] [Date de publication: 21 mars 2024 21:21] [Catégorie(s): Complétude ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Intersection vide **
21 mars 2024 21:21 — Par Michel Quercia
Soit \(E = \mathcal B (\mathbb{N},\mathbb{R}) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ bornées}\}\). On munit \(E\) de la norme : \(\left\|u\right\| = \sup\{ |u_n|,\ n\in \mathbb{N}\}\).
Montrer que \(E\) est complet.
Soit \(F_k = \{ u\in E\text{ tq }\left\|u\right\| = 1\text{ et }u_{0} =\dots=u_k=0\}\). Vérifier que les \(F_k\) forment une suite de fermés bornés emboîtés dont l’intersection est vide.
[ID: 4419] [Date de publication: 21 mars 2024 21:21] [Catégorie(s): Complétude ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Théorème de Baire **
21 mars 2024 21:21 — Par Michel Quercia
Soit \(E\) un espace vectoriel normé complet et \((F_n)\) une suite de fermés de \(E\) d’intérieurs vides. On pose \(\smash{F = \bigcup _n F_n}\). Montrer que \(\overset{\circ}{F} = \emptyset\).
[ID: 4420] [Date de publication: 21 mars 2024 21:21] [Catégorie(s): Complétude ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
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Théorème de Baire
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:21
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:21
Soit \(a\in \overset{\circ}{F}\) et \(B(a,r) \subset \bigcup _n F_n\) : \(B \setminus F_{1}\) est un ouvert non vide donc contient une boule \(B_{1}(a_{1},r_{1})\). De même, \(B_{1} \setminus F_{2}\) contient une boule \(B_{2}(a_{2},r_{2})\) etc. On peut imposer \(r_n \to _{n\to \infty } 0\), donc il existe \(c\in \bigcap_n B_n\), c.a.d. \(c\in B\) mais pour tout \(n\), \(c \not\in F_n\). Contradiction.