Fonctions hyperboliques

Exercices du dossier Fonctions hyperboliques

Exercice 837 *

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

  1. \(\forall x\in\mathbb{R}^+, \quad \mathop{\mathrm{sh}}x\geqslant x\).

  2. \(\forall x\in\mathbb{R},\quad \mathop{\mathrm{ch}}x \geqslant 1+\dfrac{x^2}{2}\)



[ID: 350] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Exercice 837
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 11 janvier 2021 15:44

Il suffit d’étudier les fonctions \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \mathop{\mathrm{sh}}x-x \end{array} \right.\) et \(g: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & 1+\dfrac{x^2}{2}-\mathop{\mathrm{ch}}x \end{array} \right.\) et de montrer qu’elles sont positives sur le domaine d’étude.


Exercice 402 *

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Démontrer que \(\forall x \in \mathbb{R}\) et \(\forall n \in \mathbb{N}\), \((\mathop{\mathrm{ch}}x + \mathop{\mathrm{sh}}x)^n= \mathop{\mathrm{ch}}(nx) + \mathop{\mathrm{sh}}(nx)\).



[ID: 352] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Exercice 402
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 11 janvier 2021 15:44

Soient \(x\in\mathbb{R}\) et \(n\in\mathbb{N}\). Comme \(\mathop{\mathrm{ch}}x + \mathop{\mathrm{sh}}x = e^x\) :

\[\left(\mathop{\mathrm{ch}}x + \mathop{\mathrm{sh}}x\right)^n = \left(e^x\right)^n=e^{nx}= \mathop{\mathrm{ch}}(nx) + \mathop{\mathrm{sh}}(nx)\]


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Exercice 626
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 11 janvier 2021 15:44
  1. Soit \(x\in\mathbb{R}\). Comme \(\mathop{\mathrm{ch}}\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}\), \(\mathop{\mathrm{ch}}x = \sqrt{1+\mathop{\mathrm{sh}}^2 x}\) et : \[\mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)=\sqrt{ 1 + \mathop{\mathrm{sh}}^2\left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)} = \boxed{\sqrt{1+x^2}}.\]

  2. Soit \(x\in\mathbb{R}\). Comme \(\operatorname{th} x=\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{\mathop{\mathrm{ch}}x}\) : \[\operatorname{th} \left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right) = \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right) }{\mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)}=\boxed{\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}.\]

  3. Soit \(x\in\mathbb{R}\). En utilisant les formules d’additions, \[\mathop{\mathrm{sh}}\left(2\mathop{\mathrm{argsh}}x\right) =2\mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)\mathop{\mathrm{sh}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)=\boxed{2x\sqrt{1+x^2}}.\]

  4. Soit \(x\in\left[1,+\infty\right[\). Comme \(\mathop{\mathrm{sh}}\) est positive sur \(\left[1,+\infty\right[\), \(\mathop{\mathrm{sh}}x=\sqrt{\mathop{\mathrm{ch}}^2 x -1}\) et \[\mathop{\mathrm{sh}}\left(\mathop{\mathrm{argch}}x\right) = \sqrt{\mathop{\mathrm{ch}}^2 \left(\mathop{\mathrm{argch}}x\right) -1} = \boxed{\sqrt{x^2-1}}.\]

  5. Soit \(x\in\left[1,+\infty\right[\). \[\operatorname{th} \left(\mathop{\mathrm{argch}}x\right) = \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}\left(\mathop{\mathrm{argch}} x\right) }{\mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argch}}x\right)}=\boxed{\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}}.\]

  6. Soit \(x\in\mathbb{R}\). De : \(1-\operatorname{th} ^2 x = \dfrac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2 x }\), on déduit, \(\mathop{\mathrm{ch}}\) étant positive sur \(\mathbb{R}\) : \(\mathop{\mathrm{ch}}x = \dfrac{1}{\sqrt{1-\operatorname{th} ^2 x}}\). Par suite : \[\mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argth}}x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1-\operatorname{th} ^2 \left(\mathop{\mathrm{argth}}x\right) }} =\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}.\]


Exercice 508 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Pour tout \((a,b)\in \mathbb{R}^2\) et \(n\in\mathbb{N}\), calculer : \[\displaystyle{C_n=\sum_{k=0}^n \mathop{\mathrm{ch}}(a+kb)} \quad \textrm{ et} \quad\displaystyle{S_n=\sum_{k=0}^n \mathop{\mathrm{sh}}(a+kb)}.\]



[ID: 356] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Exercice 508
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 11 janvier 2021 15:44

Soient \((a,b)\in \mathbb{R}^2\) et \(n\in\mathbb{N}\). On a \[C_n+S_n = \sum_{k=0}^n \left(\mathop{\mathrm{ch}}(a+kb) +\mathop{\mathrm{sh}}(a+kb)\right) =\sum_{k=0}^n e^{a+kb} = e^a \sum_{k=0}^n \left(e^b\right)^k=\begin{cases} e^a \dfrac{1-e^{\left(n+1\right)b}}{1-e^b} &\textrm{ si } b\neq 0 \\ \left(n+1\right)e^a&\textrm{ si } b= 0 \end{cases}\]

De plus, pour \(b\neq 0\), en utilisant la technique des angles moitiés, il vient :

\[\dfrac{1-e^{\left(n+1\right)b}}{1-e^b}=e^{{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}}\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle\left(n+1\right)b\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2}}.\]

De même : \[C_n-S_n = \sum_{k=0}^n \left(\mathop{\mathrm{ch}}(a+kb) -\mathop{\mathrm{sh}}(a+kb)\right) =\sum_{k=0}^n e^{-\left(a+kb\right)} = e^{-a} \sum_{k=0}^n \left(e^{-b}\right)^k=\begin{cases} e^{-a} \dfrac{1-e^{-\left(n+1\right)b}}{1-e^{-b}} &\textrm{ si } b\neq 0 \\ \left(n+1\right)e^{-a}&\textrm{ si } b= 0 \end{cases}\]

et si \(b\neq 0\), \[\dfrac{1-e^{-\left(n+1\right)b}}{1-e^{-b}} =e^{-{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}}\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle\left(n+1\right)b\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2}}.\] Par suite : \[C_n = \begin{cases} \dfrac12 \left( \left(e^{a+{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}} + e^{-a-{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}}\right)\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle\left(n+1\right)b\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2}} \right) = \mathop{\mathrm{ch}}\left(a+{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}\right)\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle\left(n+1\right)b\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2}}&\textrm{ si } b\neq 0 \\ \left(n+1\right)\mathop{\mathrm{ch}}a&\textrm{ si } b= 0 \end{cases}\] et \[S_n = \begin{cases} \dfrac12 \left( \left(e^{a+{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}} - e^{-a-{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}}\right)\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle\left(n+1\right)b\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2}} \right) = \mathop{\mathrm{sh}}\left(a+{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}\right)\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle\left(n+1\right)b\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2}}&\textrm{ si } b\neq 0 \\ \left(n+1\right)\mathop{\mathrm{sh}}a&\textrm{ si } b= 0 \end{cases}.\] En utilisant que \(\mathop{\mathrm{sh}}\) est dérivable en \(0\) de dérivée \(\mathop{\mathrm{ch}}0=1\), on sait que \(\lim_{x\to 0} \mathop{\mathrm{sh}}x/x=1\) et donc \(\lim_{x\to 0} \mathop{\mathrm{sh}}\alpha x/x=\alpha\). On en déduit que les formules précédentes sont bien cohérentes car, par exemple, on a bien \(\lim_{b\to 0} C_n =\left(n+1\right)\mathop{\mathrm{ch}}a\).


Exercice 501 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Montrer que \(\forall x \neq 0\), \[\mathop{\mathrm{th}}x = \dfrac{2}{\mathop{\mathrm{th}}2x} - \dfrac{1}{\mathop{\mathrm{th}}x}\] Calculer alors la somme \[S_n = \sum_{k=0}^{n-1} 2^k \mathop{\mathrm{th}}(2^k x)\]



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Exercice 501
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 11 janvier 2021 15:44

En utilisant les formules d’addition pour la tangente hyperbolique : \[\dfrac{2}{\mathop{\mathrm{th}}2x}-\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{th}}x} = \dfrac{2}{{\scriptstyle 2\mathop{\mathrm{th}}x\over\scriptstyle 1+\mathop{\mathrm{th}}^2 x}}-\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{th}}x} =\dfrac{1+\mathop{\mathrm{th}}^2 x -1}{\operatorname{th} x}=\operatorname{th} x.\] En remplaçant dans la somme, on trouve \[S_n= \sum_{k=0}^{n-1}2^k \left( \dfrac{2}{\mathop{\mathrm{th}}2^{k+1}x} -\dfrac{2}{\mathop{\mathrm{th}}2^k x} \right) = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{2^{k+1}}{\mathop{\mathrm{th}}2^{k+1}x } -\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{2^k}{\mathop{\mathrm{th}} 2^k x} = \boxed{ \dfrac{2^n}{\mathop{\mathrm{th}}2^n x} - \dfrac{1}{\mathop{\mathrm{th}} x} }\]


Exercice 863 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Montrez que \[\forall x\geqslant 0, \quad\operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{sh}}x)=\operatorname{arccos} \left(\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{ch}} x}\right)\] Retrouver ensuite ce résultat par la trigonométrie.



[ID: 360] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Exercice 863
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 11 janvier 2021 15:44

Considérons la fonction \(f:[0,+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) définie par \[f(x)=\operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{sh}}x) - \operatorname{arccos} \left( \dfrac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}x}\right)\] Elle est dérivable sur l’intervalle \(]0,+\infty[\) et \(\forall x>0\), \[f'(x)=\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}x}{1+\mathop{\mathrm{sh}}^2 x} -\dfrac{1}{\sqrt{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}^2 x}}}\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{\mathop{\mathrm{ch}}^2 x}=0\] Comme \(f(0)=0\), on trouve que \(\forall x\in [0,+\infty[\), \(f(x)=0\).
Par la trigonométrie : soit un réel \(x\geqslant 0\). Comme \(\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}x} \in ]0,1[\), il existe \(\theta \in [0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}[\) tel que \[\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}x} = \cos \theta\] Alors \[\mathop{\mathrm{sh}}x = \sqrt{\dfrac{1}{\cos^2 \theta}-1}=\tan \theta\] et alors \[\operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{sh}}x)=\operatorname{arctan} (\tan \theta)=\theta\] Et d’autre part, on a bien \[\operatorname{arccos} \left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}x}\right) = \operatorname{arccos} (\cos \theta)=\theta (\theta \in [0,\pi])\]


Exercice 298 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Soit \(a\in \mathbb{R}\). Résoudre l’équation \[\mathop{\mathrm{ch}}x + \cos a = 2\mathop{\mathrm{sh}}x + \sin a\]



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Exercice 298
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 11 janvier 2021 15:44

En passant aux exponentielles et en notant \(X=e^x\), \(X\) doit vérifier l’équation du second degré: \[X^2+2(\sin a -\cos a)X-3=0\] Le discriminant réduit vaut \(\Delta'=(\sin a -\cos a)^2+3 >0\). Puisque \(X>0\), il faut que \[X=\sqrt{(\sin a - \cos a)^2 +3} -(\sin a -\cos a)\] On a bien \(X>0\) car \(\sqrt{(\sin a - \cos a)^2 +3} >\lvert sin a - \cos a \rvert\). Alors \[\boxed{ x=\ln\left( \sqrt{4-\sin 2a} -2+\sin 2a \right) }\]


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Exercice 839
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 11 janvier 2021 15:44

Remarquons d’abord que dans l’intervalle de définition, \(0<({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} )< {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\) et donc que la tangente prend ses valeurs dans \(]0,+\infty[\) et par conséquent que \(f\) est bien définie.

  1. Puisque \[\mathop{\mathrm{th}}X = \dfrac{e^{2X}-1}{e^{2X}+1}\] En remplaçant, \[\mathop{\mathrm{th}}{\scriptstyle f(x)\over\scriptstyle 2}=\dfrac{ \tan( {\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}) - 1}{\tan({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+ {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})+1 }\] et en développant \(\sin(a+b)\), \(\cos(a+b)\), on trouve le résultat.

  2. On utilise la même expression de \(\mathop{\mathrm{th}}x\) et l’on trouve: \[\mathop{\mathrm{th}}f(x)= \dfrac{\tan^2({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})-1}{\tan^2({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})+1} =\sin^2\left( {\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right) -\cos^2\left( {\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right) =-\cos\left( x+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right) = \sin x\] où l’on a utilisé la formule \(\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a\).

  3. Puisque \(\mathop{\mathrm{ch}}x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\), on trouve que \[\mathop{\mathrm{ch}}f(x)= \dfrac{ \tan^2({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}) + 1}{2\tan({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+ {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})}= \dfrac{1}{2\sin({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} ) \cos({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})} = \dfrac{1}{\sin(x+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2})}= \dfrac{1}{\cos x}.\]

  4. De la même façon, \[\mathop{\mathrm{sh}}f(x)= \dfrac{\tan^2({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})-1}{2\tan({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})}=-\dfrac{ \sin^2({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})-\cos^2({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})}{2 \sin({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})\cos({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})}= \dfrac{ -\cos(x+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2})}{\sin(x+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2})}=\tan x.\]


Exercice 270 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Résoudre l’équation \[5\mathop{\mathrm{ch}}x -4\mathop{\mathrm{sh}}x = 3\] On utilisera deux méthodes différentes: ) En exprimant tout à l’aide d’exponentielles, ) En utilisant \(t=\mathop{\mathrm{th}}\dfrac{x}{2}\).



[ID: 366] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Exercice 270
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 11 janvier 2021 15:44
  1. L’équation s’écrit \(5(e^x+e^{-x})-4(e^x-e^{-x})=6\), c’est-à-dire \[(e^x)^2-6e^x +9=0\] En posant \(X=e^x\), on a une équation du second degré, \((X-3)^2=0\), on trouve alors une unique solution \(e^x=3\), c’est-à-dire \(\boxed{ x=\ln 3}\)

  2. Si \(t=\mathop{\mathrm{th}}{\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}\), l’équation s’écrit \[5\dfrac{1+t^2}{1-t^2}-4\dfrac{2t}{1-t^2}=3 \Longleftrightarrow 4t^2-4t+1=0\] l’unique solution est alors \(t=\dfrac{1}{2}\). Alors \[\mathop{\mathrm{th}}\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow 2(e^{{\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}}-e^{-{\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}})=e^{{\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}}+e^{-{\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}} \Longleftrightarrow e^x=3 \Longleftrightarrow x=\ln 3\]

La première solution est plus simple!


Exercice 857 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Calculer la dérivée de \(f:x\mapsto\sqrt{ \dfrac{1+\mathop{\mathrm{th}}x}{1-\mathop{\mathrm{th}}x} }\) sur un domaine à déterminer. Conclusion? Retrouver ce résultat en utilisant la trigonométrie.



[ID: 368] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Exercice 857
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 11 janvier 2021 15:44

Comme \(\operatorname{th} :\mathbb{R}\mapsto \left]-1,1\right[\), la fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on trouve que \[f'(x)= \dfrac{1}{ 2\sqrt{ \dfrac{1-\mathop{\mathrm{th}}x}{1-\mathop{\mathrm{th}}x} } } \dfrac{2}{ (1-\mathop{\mathrm{th}}x)^2 }(1-\mathop{\mathrm{th}}^2 x) = \sqrt{ \dfrac{1+\mathop{\mathrm{th}} x}{1-\mathop{\mathrm{th}}x} }\] \(f\) vérifie l’équation différentielle \(y'=y\). \(f\) est donc de la forme : \(f:x\mapsto \alpha e^x\) et comme \(f\left(0\right)=1\), on a \(\alpha=1\) et \(f\) est la fonction exponentielle néperienne. On retrouve ce résultat en écrivant \[f(x)=\sqrt{ \dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}x+ \mathop{\mathrm{sh}}x}{\mathop{\mathrm{ch}}x - \mathop{\mathrm{sh}}x} } = \sqrt{ \dfrac{e^x}{e^{-x}} } = e^x .\]


Exercice 224 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Montrer que \(\forall x\in \mathbb{R}\), \[2\operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{th}}x)= \operatorname{arctan} ( \mathop{\mathrm{sh}}2x)\]



[ID: 370] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Exercice 224
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 11 janvier 2021 15:44

Soit \(f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & 2\operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{th}}x) - \operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{sh}}(2x)) \end{array} \right.\). On a \(D_f=\mathbb{R}\) et \[\begin{split} \forall x\in \mathbb{R} , f'(x) &= \dfrac{2}{1+\mathop{\mathrm{th}}^2x}\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2 x} - \dfrac{1}{1+\mathop{\mathrm{sh}}^2(2x)}(2\mathop{\mathrm{ch}}(2x)) \\ &=\dfrac{2}{\mathop{\mathrm{ch}}^2 x+\mathop{\mathrm{sh}}^2x}-\dfrac{2}{\mathop{\mathrm{ch}}^2(2x)} = 0 \end{split}\] Par conséquent \(f\) est constante sur \(\mathbb{R}\) et puisque \(f(0)=0\), on a l’égalité voulue.

En passant par la trigonométrie, soit \(x\in \mathbb{R}\), \(\exists!\theta\in ]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}[\) tel que \(\mathop{\mathrm{th}}x = \tan \theta\). Alors \(\operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{sh}}(2x))=\operatorname{arctan} (2\mathop{\mathrm{sh}}x \mathop{\mathrm{ch}}x)\). Or \(\mathop{\mathrm{sh}}x \mathop{\mathrm{ch}}x= \dfrac{\mathop{\mathrm{th}}x}{1-\mathop{\mathrm{th}}^2x}\), donc \(\mathop{\mathrm{sh}}2x= \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2(\theta)}=\tan(2\theta)\) et puisque \(2\theta \in ]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}[\), on obtient l’égalité souhaitée.


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