Suites vectorielles
Exercices du dossier Suites vectorielles
\(u_n\) colinéaire à \(v_n \Rightarrow \lim u_n\) colinéaire à \(\lim v_n\) **
21 mars 2024 20:55 — Par Michel Quercia
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(({u}_n)\), \(({v}_n)\) deux suites de vecteurs telles que : \[\forall n\in \mathbb{N},\ {u}_n \text{ est colinéaire à } {v}_n,\qquad {u}_n \to _{n\to \infty } u,\qquad {v}_n \to _{n\to \infty } v.\] Montrer que \(u\) et \(v\) sont colinéaires (raisonner par l’absurde et compléter \((u,v)\) en une base de \(E\)).
[ID: 4331] [Date de publication: 21 mars 2024 20:55] [Catégorie(s): Suites vectorielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
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Suites de Cauchy **
21 mars 2024 20:55 — Par Michel Quercia
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) deux suites d’un evn \(E\) telles que \(u_n - v_n \to _{n\to \infty } 0\) et \((u_n)\) est de Cauchy. Montrer que \((v_n)\) est de Cauchy.
[ID: 4332] [Date de publication: 21 mars 2024 20:55] [Catégorie(s): Suites vectorielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Suite de Cauchy non convergente **
21 mars 2024 20:55 — Par Michel Quercia
Soit \(E = \mathbb{R}[X]\) muni de la norme : \(\left\|\sum a_kX^k \right\| = \max(|a_k|,\ k\in \mathbb{N})\). On note \(P_n = 1 + X + \dfrac{X^2 }2 + \dots+ \dfrac{X^n }n\). Montrer que la suite \((P_n)\) est de Cauchy, mais ne converge pas.
[ID: 4333] [Date de publication: 21 mars 2024 20:55] [Catégorie(s): Suites vectorielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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termes d’une suite **
21 mars 2024 20:55 — Par Michel Quercia
Soit \((u_n)\) une suite convergeant vers \(l\) et \(f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\).
Si \(f\) est injective, que peut-on dire de la suite \((u_{f(n)})\) ?
Si \(f\) est surjective, que peut-on dire de la suite \((u_{f(n)})\) ?
[ID: 4334] [Date de publication: 21 mars 2024 20:55] [Catégorie(s): Suites vectorielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Mines PC 1998 ** Mines-Ponts PC
21 mars 2024 20:55 — Par Michel Quercia
Soit \(B\) une matrice antisymétrique. On suppose que la suite \((B^n )\) converge vers une matrice \(C\). Que peut-on dire de \(C\) ?
[ID: 4335] [Date de publication: 21 mars 2024 20:55] [Catégorie(s): Suites vectorielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Suite de matrices inversibles **
21 mars 2024 20:55 — Par Michel Quercia
Soit \((A_n)\) une suite de matrices de \(\mathcal M _p(\mathbb{R})\) vérifiant les propriétés suivantes : \[1:A_n\to _{n\to \infty } A\in \mathcal M _p(\mathbb{R}) \qquad 2:\text{pour tout $n$, $A_n$ est inversible} \qquad 3:A_n^{-1}\to _{n\to \infty } B\in \mathcal M _p(\mathbb{R}).\]
Montrer que \(A\) est inversible et \(A^{-1} = B\).
Peut-on retirer la propriété 3 ?
[ID: 4336] [Date de publication: 21 mars 2024 20:55] [Catégorie(s): Suites vectorielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Suite de matrices inversibles **
21 mars 2024 20:55 — Par Michel Quercia
Soit \(A\in \mathcal M _p(\mathbb{R})\) quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant vers \(A\).
[ID: 4337] [Date de publication: 21 mars 2024 20:55] [Catégorie(s): Suites vectorielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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DSE de \(I-A\) **
21 mars 2024 20:55 — Par Michel Quercia
Soit \(A\in \mathcal M _p(\mathbb{R})\). On suppose que la suite de matrices : \(A_n = I + A + A^2 + \dots+ A^n\) converge vers une matrice \(B\). Montrer que \(I-A\) est inversible, et \(B = (I-A)^{-1}\).
Remarque : La réciproque est fausse, c’est à dire que la suite \((A_n)\) peut diverger même si \(I-A\) est inversible ; chercher un contre-exemple.
[ID: 4338] [Date de publication: 21 mars 2024 20:55] [Catégorie(s): Suites vectorielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Ensam PSI 1998 ** PSI
21 mars 2024 20:55 — Par Michel Quercia
Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) telle que la suite \((A^k)\) converge vers une matrice \(P\). Montrer que \(P\) est une matrice de projection.
[ID: 4339] [Date de publication: 21 mars 2024 20:55] [Catégorie(s): Suites vectorielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Suites de fonctions **
21 mars 2024 20:55 — Par Michel Quercia
Soient \(E = \mathcal C ([a,b],\mathbb{R})\), \((f_n)\) une suite de fonctions de \(E\) et \(f\in E\). Comparer les énoncés : \[1 : \left\|f_n-f\right\|_{1} \xrightarrow[n\rightarrow \infty ]{} 0\qquad 2 : \left\|f_n-f\right\|_{2} \xrightarrow[n\rightarrow \infty ]{} 0\qquad 3 : \left\|f_n-f\right\|_\infty \xrightarrow[n\rightarrow \infty ]{} 0.\]
[ID: 4340] [Date de publication: 21 mars 2024 20:55] [Catégorie(s): Suites vectorielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Exercice 2128 **
21 mars 2024 20:55 — Par Michel QuerciaOn note \(E\) l’espace vectoriel des suites réelles \((x_n)\) telles que la série \(\sum x_n^2\) converge. On le munit du produit scalaire \((x|y)=\sum_{n=0}^\infty x_ny_n\). Soit \((y^s)\) une suite bornée d’éléments de \(E\). Montrer qu’on peut en extraire une sous-suite convergent faiblement, c’est-à-dire qu’il existe \(z\) telle que pour tout \(x\) de \(E\) on ait \((x|y^{s_k})\to _{k\to \infty }(x|z)\).
[ID: 4341] [Date de publication: 21 mars 2024 20:55] [Catégorie(s): Suites vectorielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Exercice 2128
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 20:55
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 20:55
On construit \((s_k)\) de proche en proche de sorte que pour tout \(n\) fixé la suite \((y_n^{s_k})\) soit convergente vers \(z_n\). Comme \(\sum_{n\leq N}(y_n^{s_k})^2\) est bornée indépendamment de \(N\) et \(k\) la série \(\sum_nz_n^2\) a ses sommes partielles bornées donc converge. On a alors \((x|y^{s_k})\to _{k\to \infty }(x|z)\) pour toute suite \(x\) à support fini, puis pour toute suite de carré sommable par interversion de limites.
ENS Lyon MP 2002 ** ENS MP
21 mars 2024 20:56 — Par Michel Quercia
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) de dimension finie, et \(u\in \mathcal L (E)\) tel que pour tout \(x\in E\) la suite \((u^n (x))_{n\in \mathbb{N}}\) est bornée.
Montrer que la suite \((\left\|u^n \right\|)_{n\in \mathbb{N}}\) est bornée.
Déterminer la limite quand \(n\to \infty\) de \(\frac1{n+1}\sum_{i=0}^n u^i(x)\).
[ID: 4343] [Date de publication: 21 mars 2024 20:56] [Catégorie(s): Suites vectorielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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ENS Lyon MP 2002
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 20:56
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 20:56
Soit \((e_{1},\dots,e_p)\) une base de \(E\). On remplace la norme sur \(E\) par la norme infinie associée à \((e_{1},\dots,e_p)\). Alors \(\left\|u^n \right\|\leq \sum_{i=1}^p\left\|u^n (e_i)\right\|\).
Trigonaliser fortement \(u\) (ou son prolongement au complexifié de \(E\)). Comme \((u^n )\) est borné, les valeurs propres de \(u\) sont de module inférieur ou égal à \(1\), et pour celles de module \(1\) le bloc triangulaire associé est en fait diagonal. On trouve \(\frac1{n+1}\sum_{i=0}^n u^i \to _{n\to \infty }\) projection sur \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u-\mathop{\rm id}\nolimits)\) parallèlement à \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u-\mathop{\rm id}\nolimits)\).