Endomorphismes autoadjoints

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Endomorphismes autoadjoints

Base non orthonormée **

21 mars 2024 16:58 — Par Michel Quercia

Soit \(\mathcal B = (e_{1},\dots,e_n)\) une base arbitraire d’un ev euclidien \(E\), \(G\) la matrice de Gram des \(e_i\), \(f \in \mathcal L (E)\) et \(M\) sa matrice dans \(\mathcal B\).

  1. Montrer que \(f\) est auto-adjoint si et seulement si \({ }^tMG = GM\).

  2. Montrer que \(f\) est orthogonal si et seulement si \({ }^tMGM = G\).


[ID: 4229] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

autoadjoint \(\Rightarrow\) linéaire **

21 mars 2024 16:58 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un ev préhilbertien et \(u:E\to E\) telle que : \(\forall x,y \in E\), \((u(x)|y) = (x| u(y))\). Montrer que \(u\) est linéaire.


[ID: 4230] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(2XP'(X) + (X^2 -1)P''(X)\)  ** Polytechnique

21 mars 2024 16:58 — Par Michel Quercia

Soit \(E = \mathbb{R}_n[X]\). On pose pour \(P,Q \in E : (P|Q) = \int _{-1}^1 P(t)Q(t)\,d t\) et on considère \[u : E \rightarrow \mathbb{R}[X], P(X) \mapsto 2XP'(X) + (X^2 -1)P''(X).\]

  1. Montrer que l’on définit un produit scalaire et que \(u\) est un endomorphisme.

  2. Montrer que \(u\) est diagonalisable et que si \(P_k,P_l\) sont des vecteurs propres de valeurs propres distinctes, alors \((P_k|P_l ) = 0\).

  3. Éléments propres de \(u\) pour \(n=3\) ?


[ID: 4231] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(2XP'(X) + (X^2 -1)P''(X)\) 
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:58

  1. \(u\) est autoadjoint pour \((\ |\ )\).

  2. \(P_{0} = 1\), \(P_{2} = X\), \(P_6 = 3X^2 -1\), \(P_{12} = 5X^3 - 3X\).


\((X^2 -1)P'' + (2X+1)P'\)  ** Polytechnique

21 mars 2024 16:58 — Par Michel Quercia

Pour \(P,Q \in \mathbb{R}_n[X]\) on pose \((P|Q) = \int _{t=-1}^1 \sqrt {\frac{1-t}{1+t}}P(t)Q(t)\,d t\) et \(\Phi(P) = (X^2 -1)P'' + (2X+1)P'\).

  1. Vérifier que \((P|Q)\) existe et qu’on définit ainsi un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_n[X]\).

  2. Montrer que pour ce produit scalaire, \(\Phi\) est auto-adjoint (calculer \(\int _{t=-1}^1 (1-t)^{3/2}(1+t)^{1/2}P''(t)Q(t)\,d t\) par parties).

  3. Déterminer les valeurs propres de \(\Phi\) et montrer qu’il existe une base propre de degrés étagés.


[ID: 4233] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\((X^2 -1)P'' + (2X+1)P'\) 
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:58

  1. \(\lambda _k = k(k+1)\).


\(\mathop{\rm Ker}\nolimits u + \mathop{\rm Im}\nolimits u = E\)  **

21 mars 2024 16:58 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un ev euclidien et \(u \in \mathcal L (E)\) auto-adjoint. Montrer que \(\mathop{\rm Ker}\nolimits u \mathop{\oplus }\limits^\perp \mathop{\rm Im}\nolimits u = E\).


[ID: 4235] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(u\circ v\) autoadjoint ? **

21 mars 2024 16:58 — Par Michel Quercia

Soient \(E\) euclidien et \(u,v \in \mathcal L (E)\) auto-adjoints. Montrer que \(u\circ v\) est auto-adjoint si et seulement si \(u\circ v = v\circ u\).


[ID: 4236] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Autoadjoint et orthogonal **

21 mars 2024 16:58 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un espace euclidien. Quels sont les endomorphismes de \(E\) à la fois auto-adjoints et orthogonaux ?


[ID: 4237] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(u\) autoadjoint et \(\mathop{\rm tr}\nolimits(u) = 0\) **

21 mars 2024 16:58 — Par Michel Quercia

Soient \(E\) un ev euclidien et \(u \in \mathcal L (E)\) auto-adjoint tel que \(\mathop{\rm tr}\nolimits(u) = 0\).

  1. Montrer qu’il existe un vecteur \(x\) non nul tel que \(u(x) \perp x\).

  2. En déduire qu’il existe une base orthonormée \((e_i)\) telle que : \(\forall i\), \((u(e_i)|e_i) = 0\).


[ID: 4238] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(u\) autoadjoint et \(\mathop{\rm tr}\nolimits(u) = 0\)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:58

  1. Soit \((u_{1},\dots,u_n)\) une base propre pour \(u\). On prend \(x=u_{1}+\dots+u_n\).

  2. On norme \(x\) et on le complète en une base orthonormée. La matrice de \(u\) dans cette base est symétrique, de trace nulle, et la diagonale commence par 0. On termine par récurrence.


Quotients de Rayleigh **

21 mars 2024 16:58 — Par Michel Quercia

Soient \(E\) un espace euclidien, \(f \in \mathcal L (E)\) auto-adjoint et \(\lambda _{1} \leq \lambda _{2} \leq \dots\leq \lambda _n\) ses valeurs propres.

  1. Montrer : \(\forall x \in E\), \(\lambda _{1}\left\|x\right\|^2 \leq (f(x)|x) \leq \lambda _n \left\|x\right\|^2\).

  2. Montrer que si l’une de ces deux inégalités est une égalité pour un vecteur \(x\neq 0\), alors \(x\) est vecteur propre de \(f\).

  3. Soit \((e_{1},\dots,e_n)\) une base orthonormée de \(E\) telle que pour tout \(i\) : \((f(e_i)|e_i) = \lambda _i\). Montrer que : \(\forall i\), \(f(e_i) = \lambda _ie_i\).


[ID: 4240] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Comparaison de valeurs propres **

21 mars 2024 16:58 — Par Michel Quercia

Soient \(E\) un espace euclidien, \(h \in \mathcal L (E)\) autoadjoint, \(x_{0} \in E\) unitaire, \(p\) la projection orthogonale sur \(\mathop{\rm vect}\nolimits(x_{0} )\), et \(f = h+p\). On note \(\lambda _{1}\leq \dots\leq \lambda _n\) les valeurs propres de \(h\) et \(\mu _{1}\leq \dots\leq \mu _n\) celles de \(f\).

Montrer que \(\lambda _{1} \leq \mu _{1} \leq \dots\leq \lambda _n \leq \mu _n\).


[ID: 4241] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Comparaison de valeurs propres
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:58

Soit \((h_i)\) une base diagonale pour \(h\), \(H_i = \mathop{\rm vect}\nolimits\{ h_{1}, \dots, h_i\}\) et \((f_i)\), \(F_i\) idem pour \(f\).

Pour \(x \in F_k \cap H_{k-1}^\perp\), \(\lambda _k\left\|x\,\right\|^2 + (x|x_{0} )^2 \leq (h(x)|x) + (x|x_{0} )^2 = (f(x)|x) \leq \mu _k\left\|x\,\right\|^2\).

Pour \(x \in H_{k+1} \cap F_{k-1}^\perp \cap x_{0} ^\perp\), \(\mu _k\left\|x\,\right\|^2 \leq (f(x)|x) = (h(x)|x) \leq \lambda _{k+1}\left\|x\,\right\|^2\).


\((u(x)|x)\) est réel **

21 mars 2024 16:58 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un ev hermitien et \(u\in \mathcal L (E)\). Montrer que \(u=u^*\) si et seulement si pour tout \(x\in E\), \((u(x)|x)\) est réel.


[ID: 4243] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\((u(x)|x)\) est réel
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:58

\(((u-u^*)(x)|x) = 0\).


Inégalité **

21 mars 2024 16:58 — Par Michel Quercia

Soient \(E\) un espace euclidien et \(u\in \mathcal L (E)\) autoadjoint positif.

Montrer : \(\forall x\in E\), \(\left\|u(x)\right\|^4 \leq (x|u(x))\times (u(x)|u^2 (x))\).


[ID: 4245] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Inégalité
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:58

Orthodiagonaliser et appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.


Série d’autoadjoints positifs **

21 mars 2024 16:58 — Par Michel Quercia

Soit \(H\) un espace de Hilbert et \((u_n)\) une suite d’endomorphismes de \(H\) autoadjoints positifs continus telle que la suite \((u_{0} +\dots+u_n)\) est bornée dans \(\mathcal L _c(H)\). Montrer que pour tout \(x\in H\) la série \(\sum_{n=0}^\infty u_n(x)\) est convergente.


[ID: 4247] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Série d’autoadjoints positifs
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:58

Soit \(K = \sup\{ \left\|u_{0} +\dots+u_n\right\|\}\) et \(x\in H\). On note \(v_{p,q} = \sum_{n=p}^q u_n\) pour \(p\leq q\). La série \(\sum (u_n(x)|x)\) est convergente (termes positifs, sommes partielles majorées) donc elle vérifie le critère de Cauchy : \((v_{p,q}(x)|x) \to _{p,q\to \infty }0\).

Comme \(v_{p,q}\) est positif, il vérifie l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \[|(v_{p,q}(x)| y)|^2 \leq (v_{p,q}(x)|x)(v_{p,q}(y)|y) \leq 2K\left\|y\right\|^2 (v_{p,q}(x)|x).\] En particulier pour \(y=v_{p,q}(x)\) on obtient : \(\left\|v_{p,q}(x)\right\|^2 \leq 2K(v_{p,q}(x)|x)\) donc la série \(\sum u_n(x)\) est de Cauchy.

Rmq. exemple où \(\sum u_n\) ne converge pas dans \(\mathcal L _c(H)\) : \(H = l ^2 (\mathbb{N})\) et \(u_n =\) projection orthogonale sur \(〈e_n〉\) où \(e_n(p) = \delta _{n,p}\). \(\sum u_n\) converge simplement et non uniformément vers l’identité.


Polytechnique MP\(^*\) 2000 ** Polytechnique MP

21 mars 2024 16:58 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un espace euclidien et \(s\) une symétrie de \(E\).

  1. Que dire de \(s^*\circ s\) ?

  2. Un polynôme \(P\) est dit réciproque si \(P(X) = X^n P(1/X)\), pour \(P\) de degré \(n\).

    Montrer que : \(P(X) = \det(X\mathop{\rm id}\nolimits+s^*\circ s)\) est un polynôme réciproque.

  3. Montrer que \(P(1)\geq 2^n\). A quelle condition y a-til égalité ? Y a-t-il des conditions sur \(s\) ?

  4. Soit la matrice \(A = \begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}\\ A_3&A_4\end{pmatrix}\), carrée, d’ordre \(n\), symétrique définie positive, où \(A_{1}\) et \(A_4\) sont carrées d’ordres respectifs \(p\) et \(q\). Montrer que \(\det(A)\leq \det(A_{1})\det(A_4)\).


[ID: 4249] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Polytechnique MP\(^*\) 2000
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:58

  1. c’est un endomorphisme autoadjoint positif de déterminant \(1\).

  2. \(X^n \det(\mathop{\rm id}\nolimits/X+s^*\circ s) = \det(\mathop{\rm id}\nolimits+Xs^*\circ s) =\det(s^*\circ (\mathop{\rm id}\nolimits+Xs^*\circ s)\circ s) = \det(s^*\circ s + X\mathop{\rm id}\nolimits)\).

  3. \(s^*\circ s\) est diagonalisable avec des valeurs propres \((\lambda _i)\) réelles positives deux à deux inverses pour la même multiplicité. \(P^2 (1) = \prod _{1\leq i\leq n}(1+\lambda _i)(1+1/\lambda _i)\) et \((1+x)(1+1/x)\geq 4\) pour tout \(x>0\) avec égalité ssi \(x=1\).

    Si \(P(1) = 2^n\) alors toutes les valeurs propres de \(s^*\circ s\) valent \(1\) et \(s^*\circ s\) est diagonalisable donc \(s^*\circ s = \mathop{\rm id}\nolimits\) et \(s\) est une symétrie orthogonale. La réciproque est immédiate.

  4. Se ramener au cas \(A_4=I\) puis calculer \(\det A\) par pivotage.


Cachan MP\(^*\) 2000 ** MP

21 mars 2024 16:59 — Par Michel Quercia

On note \(P\) l’ensemble des fonctions réelles \(f\) polynomiales par morceaux, continues sur \([0,1]\) et vérifiant \({f(0)=f(1)=0}\). Si \(f\) et \(g\) sont des fonctions de \(P\), on note \((f|g) = \int _{t=0}^1 f'(t)g'(t)\,d t\).

  1. Que dire de \(P\) muni de cette application ?

  2. Montrer que si \(x\in [0,1]\), il existe \(g_x\in P\) telle que \(\forall f\in P\), \((g_x|f) = f(x)\).

  3. On considère \(n\) réels vérifiant : \(0<x_{1}<x_{2}<\dots<x_n<1\) et on donne \(n\) réels \((\alpha _i)_{i\in {\textlbrackdbl 1,n\textlbrackdbl }}\). On pose \(\varphi (f) = \left\|f\right\|^2 + \sum_{i=1}^n (f(x_i)-\alpha _i)^2\) et on demande de trouver le minimum de \(\varphi\) sur \(P\).


[ID: 4251] [Date de publication: 21 mars 2024 16:59] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Cachan MP\(^*\) 2000
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:59

  1. Que c’est un espace préhilbertien.

  2. \(g_x(t) = \min(t(1-x),x(1-t))\)

  3. On note \(g_i = g_{x_i}\) : \((g_{1},\dots,g_n)\) est libre par considération des points anguleux, donc engendre un ev \(G\) de dimension \(n\). Soit \(f\in P\) : \(f = f_{0} +f_{1}\) avec \(f_{0} \in G\) et \(f_{1}\in G^\perp\). Alors \(\varphi (f) = \varphi (f_{0} ) + \left\|f_{1}\right\|^2\) donc \(\varphi\) est minimale en \(f\) ssi \(\varphi _{|G}\) est minimale en \(f_{0}\) et \(f_{1}=0\). Désormais on suppose \(f_{1}=0\) et \(f\in G\).

    L’application : \[u : G \rightarrow \mathbb{R}^n , f \mapsto (f(x_{1}),\dots,f(x_n)) = ((f| g_{1}),\dots,(f| g_n))\] est un isomorphisme linéaire. Soit \(v\) l’endormophisme autoadjoint défini positif de \(\mathbb{R}^n\) (pour le produit scalaire canonique) tel que : \(\forall t\in \mathbb{R}^n\), \((t|v(t)) = \left\|u^{-1}(t)\right\|^2\).

    On a donc en notant \(\alpha = (\alpha _{1},\dots,\alpha _n)\) et \(\beta = (\mathop{\rm id}\nolimits+v)^{-1}(\alpha )\) : \[\begin{aligned} \forall t\in \mathbb{R}^n ,\ \varphi (u^{-1}(t)) &= (t| v(t)) + (t-\alpha | t-\alpha )\\ &= (t|(\mathop{\rm id}\nolimits+v)(t)) - 2(t| \alpha ) + (\alpha |\alpha )\\ &= (t-\beta |(\mathop{\rm id}\nolimits+v)(t-\beta )) + (\alpha |\alpha -\beta ). \end{aligned}\] \(\mathop{\rm id}\nolimits+v\) est autoadjoint défini positif donc le minimum de \(\varphi\) est atteint pour \(f=u^{-1}(\beta )\) (solution unique) et vaut \((\alpha |\alpha -\beta )\).


Centrale MP 2004 ** Centrales MP

21 mars 2024 16:59 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et \(p\) endomorphismes autoadjoints \(u_{1},\dots,u_p\). Soit \(q_i\) la forme quadratique associée à \(u_i\) (\(q_i(x) = (u_i(x)|x)\)). On suppose : \[\forall x\in E,\ q_{1}(x) + \dots+ q_p(x) = \left\|x\right\|^2 \quad\text{et }\mathop{\rm rg}\nolimits(u_{1})+\dots+\mathop{\rm rg}\nolimits(u_p) = n.\]

  1. Montrer que \(u_{1}+\dots+u_p = \mathop{\rm id}\nolimits_E\).

  2. Montrer que \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1})\oplus \dots\oplus \mathop{\rm Im}\nolimits(u_p) = E\).

  3. Montrer que les \(u_i\) sont en fait des projecteurs orthogonaux et que la somme précédente est orthogonale.


[ID: 4253] [Date de publication: 21 mars 2024 16:59] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Centrale MP 2004
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:59

  1. \(u_{1}+\dots+u_p\) est l’endomorphisme autoadjoint associé à \(q_{1}+\dots+q_p\).

  2. \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1})+\dots+\mathop{\rm Im}\nolimits(u_p) \supset \mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1}+\dots+u_p) = E\) et la somme des dimensions est égale à \(\dim E\) donc la somme des sous-espaces est directe.

  3. On a \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u_{1}) = \{ x\in E \text{ tq }x = u_{2}(x) + \dots+ u_p(x)\} \subset \mathop{\rm Im}\nolimits(u_{2}+\dots+u_p) = \mathop{\rm Im}\nolimits(u_{2})\oplus \dots\oplus \mathop{\rm Im}\nolimits(u_p)\) et les deux termes extrêmes ont même dimension, d’où \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u_{1}) = \mathop{\rm Im}\nolimits(u_{2})\oplus \dots\oplus \mathop{\rm Im}\nolimits(u_p)\). Comme \(u_{1}\) est autoadjoint, \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1}) \perp \mathop{\rm Ker}\nolimits(u_{1})\) ce qui prouve l’orthogonalité de la somme. De plus \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1})\subset \mathop{\rm Ker}\nolimits(u_j)\) pour \(j\geq 1\) donc \(q_{1}(x) = \left\|x\right\|^2\) pour tout \(x\in \mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1})\). En appliquant 1) à \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1})\) on obtient \(u_{1}(x)=x\) pour tout \(x\in \mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1})\) ce qui prouve que \(u_1\) est un projecteur, et c’est un projecteur orthogonal car autoadjoint.


ENS 2014 ** ENS

21 mars 2024 16:59 — Par Michel Quercia

Soit \(E=\mathcal C ([a,b],\mathbb{R})\) muni du produit scalaire usuel et de la norme associée. Soit \(u\in \mathcal L (E)\) un endomorphisme symétrique laissant stable tous les sev \(\mathbb{R}_n[X]\) (considérés comme des sous-espaces de \(E\)). Montrer qu’il existe une famille échelonnée \((P_n)\) de polynômes propres pour \(u\) telle que pour toute fonction \(f\in E\), on ait \(f=\sum_{n=0}^\infty (P_n|f)P_n\).


[ID: 4255] [Date de publication: 21 mars 2024 16:59] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

ENS 2014
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:59

\(u_{|\mathbb{R}_n[X]}\) est symétrique et laisse stable \(\mathbb{R}_{n-1}[X]\) donc aussi son orthogonal dans \(\mathbb{R}_n[X]\) qui est de dimension \(1\). Soit \(P_n\) un polynôme de norme \(1\) dans cet orthogonal. Par construction, \(P_n\) est propre pour \(u\), de degré \(n\) et la suite \((P_n)\) est orthonormale. C’est une suite totale car \(\mathbb{R}[X]\) est dense dans \(E\) pour \(\left\|\ \right\|_\infty\) donc aussi pour \(\left\|\ \right\|_{2}\).


Mines 2016 ** Mines-Ponts

21 mars 2024 16:59 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\in \mathcal L (E)\) auto-adjoint tel que \(\mathop{\rm sp}\nolimits(u)\subset \mathbb{R}^{+*}\).

  1. Montrer que \(\forall x,y\in E\), \((x|y)^2 \leq (x|u(x))(y|u^{-1}(y))\).

  2. Soit \(e\) un vecteur unitaire.

    Montrer l’existence et déterminer la valeur de \(\delta _e = \inf\{ (x|u(x))\text{ tq }x\in E,\ (x|e)=1\}\).

  3. Déterminer, sous réserve d’existence, \(\inf\{ \delta _e\text{ tq }\left\|e\right\|=1\}\).


[ID: 4257] [Date de publication: 21 mars 2024 16:59] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Mines 2016
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:59

  1. Par orthodiagonalisation, il existe \(v\in \mathcal L (E)\) auto-adjoint tel que \(u=v^2\). En posant \(y=u(z)\) il s’agit de prouver que \((v(x)|v(z))^2 \leq (v(x)|v(x))(v(z)|v(z))\) ce qui est un cas particulier de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

  2. Prendre \(y=e\) : \(\delta _e = 1/(e|u^{-1}(e))\).

  3. Décomposer \(e\) sur une base orthonormale propre pour \(u\). On obtient \(\min(\mathop{\rm sp}\nolimits(u))\).


CCP 2017 ** CCP

21 mars 2024 16:59 — Par Michel Quercia

Pour tout \(x\) dans un espace euclidien \(E\), on considère \(u(x) = (a|x)a + (b|x)b\) avec \(a\) et \(b\) unitaires linéairement indépendants.

  1. Montrer que \(u\) est un endomorphisme symétrique.

  2. Déterminer \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u)\).

  3. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(u\).


[ID: 4259] [Date de publication: 21 mars 2024 16:59] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

CCP 2017
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:59

  1. \(x\mapsto (a|x)a\) et \(x\mapsto (b|x)b\) le sont (projections orthogonales sur \(〈a〉\) et \(〈b〉\)).

  2. \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u) = \{ a,b\} ^\perp\).

  3. \(0\) sur \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u)\), \(1\pm (a|b)\) sur \(\mathop{\rm vect}\nolimits(a\pm b)\).


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