Endomorphismes normaux

Endomorphismes normaux **

21 mars 2024 16:56 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un espace vectoriel hermitien. Un endomorphisme \(u\in \mathcal L (E)\) est dit normal si \(u\) et \(u^*\) commutent.

1. Soit \(u\) normal, montrer que si \(F\) est un sous-espace propre de \(u\) alors \(F^\perp\) est stable par \(u\). En déduire que \(u\) est diagonalisable en base orthonormale. La réciproque est-elle vraie ?

2. Soit \(u\in \mathcal L (E)\). Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes :

   (1) \(u\) est normal. (2) \(\forall x\in E, \left\|u(x)\right\|=\left\|u^*(x)\right\|\). (3) Tout sev stable par \(u\) est stable par \(u^*\). (4) Si un sev \(F\) est stable par \(u\) alors \(F^\perp\) est stable par \(u\). (5) Il existe \(P\in \mathbb{C}[X]\) tel que \(u^* = P(u)\).

[ID: 4228] [Date de publication: 21 mars 2024 16:56] [Catégorie(s): Endomorphismes normaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]