Autour de la fonction $\zeta$ de Riemann
Exercices du dossier Autour de la fonction $\zeta$ de Riemann
Fonction \(\zeta\) de Riemann **
21 mars 2024 14:58 — Par Michel Quercia
Soit \(\zeta (x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac1{n^x}\).
Déterminer le domaine de définition de \(\zeta\). Montrer que \(\zeta\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur ce domaine.
Prouver que \(\zeta (x)\to _{x\to +\infty }1\) (majorer \(\sum_{n=2}^\infty \dfrac1{n^x}\) par comparaison à une intégrale).
Prouver que \(\zeta (x)\to _{x\to 1_{+} }+\infty\).
[ID: 4221] [Date de publication: 21 mars 2024 14:58] [Catégorie(s): Autour de la fonction $\zeta$ de Riemann ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Fonction \(\zeta\) de Riemann et constante d’Euler **
21 mars 2024 14:58 — Par Michel Quercia
Soit \(\zeta (x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac1{n^x}\) et \(\gamma = \lim_{n\to \infty }\left(\frac 11 + \dots+ \frac 1n -\ln(n) \right)\).
Montrer que \(\gamma = 1 + \sum_{n=2}^\infty \left(\frac 1n + \ln\left(1-\frac 1n\right)\right)\) puis que \(\gamma = 1 - \sum_{k=2}^\infty \dfrac{\zeta (k)-1}k\).
[ID: 4222] [Date de publication: 21 mars 2024 14:58] [Catégorie(s): Autour de la fonction $\zeta$ de Riemann ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Fonctions \(\zeta\) et \(\eta\) **
21 mars 2024 14:58 — Par Michel Quercia
Pour \(x>1\) on pose \(\zeta (x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac1{n^x}\) et pour \(x>0\) : \(\eta(x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{n^x}\).
Établir pour \(x>1\) : \(\eta(x) = (1-2^{1-x})\zeta (x)\). En déduire \(\zeta (x) \sim \dfrac 1{x-1}\) pour \(x\to 1_{+}\).
Montrer que \(\zeta (x) = \dfrac 1{x-1} + \gamma + o(1)\). On remarquera que \(\dfrac 1{x-1} = \int _{t=1}^{+\infty } \dfrac{d t}{t^x}\).
En déduire la valeur de \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n \ln n}n\).
[ID: 4223] [Date de publication: 21 mars 2024 14:58] [Catégorie(s): Autour de la fonction $\zeta$ de Riemann ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Fonctions \(\zeta\) et \(\eta\)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:58
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:58
\(\zeta (x) - \dfrac 1{x-1} = \sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac 1{n^x} - \int _{t=n}^{n+1} \dfrac{d t}{t^x} \right)\).
A \(n\) fixé, \(\dfrac 1{n^x} - \int _{t=n}^{n+1} \dfrac{d t}{t^x} \to _{x\to 1_{+} } \dfrac 1n - \int _{t=n}^{n+1} \dfrac{d t}t\) et la convergence est monotone donc
\(\zeta (x) - \dfrac 1{x-1}\to _{x\to 1_{+} } \sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac 1n - \int _{t=n}^{n+1} \dfrac{d t}t\right) = \gamma\).
\(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n \ln n}n = \eta'(1) = \gamma \ln 2 - \dfrac12\ln(2)^2\).