Intégration terme à terme

Fonction définie par une série **

21 mars 2024 14:57 — Par Michel Quercia

1. Étudier la convergence simple, uniforme, de la série de fonctions : \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty ne^{-nx}\).

2. Calculer \(f(x)\) lorsque la série converge (intégrer terme à terme).

[ID: 4215] [Date de publication: 21 mars 2024 14:57] [Catégorie(s): Intégration terme à terme ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Conversion série-intégrale **

21 mars 2024 14:57 — Par Michel Quercia

Montrer, pour \(x > 0\) : \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n }{n+x} = \int _{t=0}^1 \dfrac{t^{x-1}}{t+1}\,d t\).

[ID: 4217] [Date de publication: 21 mars 2024 14:57] [Catégorie(s): Intégration terme à terme ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Noyau de Dirichlet, X 2014 ** Polytechnique

21 mars 2024 14:57 — Par Michel Quercia

1. Calculer \(D_n(x)=\sum_{k=1}^n\sin(kx)\) et \(\tilde D_n(x) = D_n(x) -\frac12\sin(nx)\), puis montrer que \(\tilde D_n(x)\geq 0\) pour \(x\in [0,\pi ]\).

2. Montrer qu’il existe deux constantes \(c_{1}\) et \(c_{2}\) telles que \(\forall n\geq 2\), \(c_{1}\ln(n)\leq \int _{x=0}^\pi \tilde D_n(x)\,d x\leq c_{2}\ln(n)\).

3. Soit \((b_n)\) une suite de réels positifs telle que \(\sum_{k=1}^\infty b_k\) converge. Montrer l’équivalence entre :

   (i) \(g(x)=\sum_{k=1}^\infty b_kD_k(x)\) est intégrable sur \([0,\pi ]\).

   (ii)i \(\tilde g(x)=\sum_{k=1}^\infty b_k\tilde D_k(x)\) est intégrable sur \([0,\pi ]\).

   (iii) \(\sum_{k=1}^\infty b_k\ln(k)\) converge.

[ID: 4219] [Date de publication: 21 mars 2024 14:57] [Catégorie(s): Intégration terme à terme ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]