Etude pratique de la somme d'une série de fonctions

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Etude pratique de la somme d'une série de fonctions

Fonction définie par une série **

21 mars 2024 14:44 — Par Michel Quercia

On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{\arccos(\cos nx)}{n!}\).

  1. Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\), continue, paire et \(2\pi\)-périodique.

  2. Calculer \(f(0)\), \(f(\pi )\), \(f(\frac\pi 2)\).


[ID: 4173] [Date de publication: 21 mars 2024 14:44] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonction définie par une série
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:44

  1. \(f(0) = 0\), \(f(\pi ) = \pi \mathop{\rm sh}\nolimits 1\), \(f(\frac\pi 2) = \frac\pi 2(e-\cos 1)\).


Fonction définie par une série (Centrale MP 2003) ** Centrales MP

21 mars 2024 14:44 — Par Michel Quercia

Soit \(f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2 n^2 }\) sous réserve de convergence \((a\in \mathbb{R}\)).

  1. Domaine de définition de \(f\) ?

  2. Limite de \(f(a)\) quand \(a\to +\infty\) ?

  3. Limite de \(af(a)\) quand \(a\to 0\) ?


[ID: 4175] [Date de publication: 21 mars 2024 14:44] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonction définie par une série (Centrale MP 2003)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:44

  1. \(\mathbb{R}^*\).

  2. TCM : \(f(a)\to _{a\to +\infty }1\).

  3. CSI : \(\dfrac{\sqrt \pi }{2a} = \int _{x=0}^\infty e^{-a^2 x^2 }\,d x \leq f(a) \leq \int _{x=0}^\infty e^{-a^2 x^2 }\,d x + 1 = \dfrac{\sqrt \pi }{2a} + 1\). Donc \(af(a)\to _{a\to 0_{+} }\dfrac{\sqrt \pi }2\).


Fonction définie par une série **

21 mars 2024 14:44 — Par Michel Quercia

  1. Étudier la convergence de la série \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac1{1+x^n }\).

  2. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur son domaine de définition.

  3. Tracer la courbe représentative de \(f\) sur \(]1,+\infty [\).


[ID: 4177] [Date de publication: 21 mars 2024 14:44] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonction définie par une série **

21 mars 2024 14:44 — Par Michel Quercia

Soit \(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n }{n!\,(x+n)}\).

  1. Déterminer le domaine, \(D\) de définition de \(g\) et prouver que \(g\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur \(D\).

  2. Montrer que la quantité : \(xg(x) - g(x+1)\) est constante sur \(D\).

  3. Tracer la courbe représentative de \(g\) sur \(]0,+\infty [\).

  4. Donner un équivalent de \(g(x)\) en \(+\infty\) et en \(0_{+}\).


[ID: 4178] [Date de publication: 21 mars 2024 14:44] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonction définie par une série
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:44

  1. \(xg(x) - g(x+1) = \frac1e\).

  2. CSA \(\Rightarrow g' < 0\). \(g(x)\to _{x\to 0_{+} } +\infty\), \(g(x)\to _{x\to +\infty }0\).

  3. \(g(x) \sim 1/x\) en \(0_{+}\) et \(g(x) \sim 1/(ex)\) en \(+\infty\).


Fonction définie par une série **

21 mars 2024 14:44 — Par Michel Quercia

Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac1{x(x+1)\dots(x+n)}\).

  1. Établir l’existence et la continuité de \(f\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\).

  2. Calculer \(f(x+1)\) en fonction de \(f(x)\).

  3. Tracer la courbe de \(f\).


[ID: 4180] [Date de publication: 21 mars 2024 14:44] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonction définie par une série
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

  1. \(f(x+1) = xf(x)-1\).


Fonction définie par une série **

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

  1. Étudier la convergence simple, uniforme, de \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty (\arctan(x+n) - \arctan(n))\).

  2. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur \(\mathbb{R}\).

  3. Chercher une relation simple entre \(f(x)\) et \(f(x+1)\).

  4. Trouver \(\lim_{x\to +\infty } f(x)\).


[ID: 4182] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonction définie par une série
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

  1. CVU sur tout \([a,b]\).

  2. \(f(x+1) = f(x) + \frac\pi 2 - \arctan x\).

  3. \(f(x+1) - f(x) \sim 1/x\) donc la suite \((f(n))\) diverge et \(f\) est croissante \(\Rightarrow \lim = +\infty\).


Ensi PC 1999 ** PC

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

Soit \(f_n(x) = \dfrac{(-1)^n \cos^n x}{n+1}\).

  1. Étudier la convergence de \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty f_n(x)\).

  2. Montrer la convergence de la série de terme général \(u_n = \int _{x=0}^{\pi /2} f_n(x)\,d x\).

  3. En déduire \(\sum_{n=0}^\infty u_n\) sous forme d’une intégrale.


[ID: 4184] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Ensi PC 1999
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

  1. cva si \(|\cos x| < 1\), scv si \(\cos x = 1\), dv si \(\cos x = -1\).

  2. TCM en regroupant les termes deux par deux.

  3. \(\int _{x=0}^{\pi /2} \dfrac{\ln(1+\cos x)}{\cos x}\,d x\).


Développement de \(\coth(x)\) **

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

  1. Décomposer en éléments simples sur \(\mathbb{C}\) la fractions rationnelle : \(F_n(X) = \dfrac1{(1+X/n)^n -1}\).

  2. En déduire pour \(x\in \mathbb{R}^*\) : \(\coth x = \dfrac1{e^{2x}-1} - \dfrac1{e^{-2x}-1} = \dfrac1x + \sum_{k=1}^\infty \dfrac{2x}{x^2 +k^2 \pi ^2 }\).

  3. En déduire la valeur de \(\zeta (2)\).


[ID: 4186] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Développement de \(\coth(x)\)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

  1. \(F_n(X) = \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{e^{2ik\pi /n}}{X+n(1-e^{2ik\pi /n})}\).

  2. \(F_n(2x) - F_n(-2x) = \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{4xe^{2ik\pi /n}}{4x^2 -n^2 (1-e^{2ik\pi /n})^2 } = \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{x}{x^2 e^{-2ik\pi /n}+n^2 \sin(k\pi /n)^2 }\).

    Supposons \(n\) impair, et regroupons les termes conjugués obtenus pour \(k\) et \(n-k\) :

    \(F_n(2x) - F_n(-2x) = \dfrac1x + \sum_{k=1}^{(n-1)/2}\Bigl(\underbrace{ \dfrac{x}{x^2 e^{-2ik\pi /n}+n^2 \sin(k\pi /n)^2 } + \dfrac{x}{x^2 e^{2ik\pi /n}+n^2 \sin(k\pi /n)^2 } }_{=u(k,n,x)}\Bigr)\).

    On transforme la somme en série de \(k=1\) à \(k=\infty\) en posant \(u(k,n,x) = 0\) si \(k>(n-1)/2\), puis on passe à la limite, sous réserve de justification, dans cette série pour \(n\to \infty\), ce qui donne la formule demandée.

    Justification de l’interversion limite-série :

    en utilisant \(\sin(t)\geq \dfrac{2t}{\pi }\) pour \(0\leq t\leq \dfrac{\pi }2\) on a \(|u(k,n,x)| \leq \dfrac{2|x|}{4k^2 -x^2 }\) pour tout \(k\geq |x/2|\), donc il y a convergence normale par rapport à \(n\), à \(x\) fixé.

  3. \(\sum_{k=1}^\infty \dfrac{2}{x^2 +k^2 \pi ^2 } = \dfrac{\coth(x)}x-\dfrac1{x^2 }\) est normalement convergente sur \(\mathbb{R}\), on peut passer à la limite pour \(x\to 0\).


\(\sum\sin(n)/n\) **

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

Pour \(n\in \mathbb{N}^*\) et \(x\in [-1,1]\) on pose \(u_n(x)=\dfrac{x^n \sin(nx)}n\).

  1. Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) converge uniformément sur \([-1,1]\) vers une fonction continue, \(f\).

  2. Justifier la dérivabilité de \(f\) sur \(]-1,1[\) et calculer \(f'(x)\). En déduire \(f(x)\).

  3. En déduire la valeur de \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin n}n\).


[ID: 4188] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(\sum\sin(n)/n\)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

  1. Transformation d’Abel.

  2. \(f(x) = \arctan\left(\dfrac{x\sin x}{1-x\cos x}\right)\).

  3. \(\dfrac{\pi -1}2\).


Centrale MP 2000 ** Centrales MP

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

Pour \(y\in \mathbb{R}\) et \(n\in \mathbb{N}^*\), on pose \(a_n(y) = \dfrac{\cos(ny)}{\sqrt n}\).

  1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_n(y)x^n\).

  2. Soit \(D=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 ,\ |x|<1\}\) et \(F(x,y) = \sum_{n=1}^{+\infty } a_n(y)x^n\). Montrer que \(F\), \(\partial F/\partial x\) et \(\partial F/\partial y\) existent en tout point de \(D\).


[ID: 4190] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Mines MP 2001 ** Mines-Ponts MP

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

Pour \(x\in \mathbb{R}_{+}\) et \(n\in \mathbb{N}\), \(n\geq 2\) on pose \(f_n(x) = \dfrac{xe^{-nx}}{\ln n}\) et \(S(x) = \sum_{n=2}^\infty f_n(x)\) sous réserve de convergence.

  1. Étudier la convergence simple, normale, uniforme de la série \(\sum f_n\) sur \(\mathbb{R}_{+}\).

  2. Montrer que \(S\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\).

  3. Montrer que \(S\) n’est pas dérivable à droite en \(0\).

  4. Montrer que \(x^kS(x)\) tend vers \(0\) en \(+\infty\) pour tout \(k\in \mathbb{N}\).


[ID: 4191] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Mines MP 2001
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

  1. Il y a convergence normale sur tout intervalle \([a,+\infty [\) avec \(a>0\). Il n’y a pas convergence normale au voisinage de \(0\) car \(\sup\Bigl\{ \dfrac{xe^{-nx}}{\ln n},\ x\geq 0\Bigr\} = \dfrac1{en\ln n}\) atteint pour \(x=\dfrac1n\) et \(\sum\dfrac1{n\ln n}\) diverge (série de Bertrand). Par contre il y a convergence uniforme sur \([0,+\infty [\) car \[0\leq \sum_{k=n}^\infty f_k(x) \leq \dfrac1{\ln n}\sum_{k=n}^\infty xe^{-kx} = \dfrac{xe^{-nx}}{\ln n(1-e^{-x})} \leq \dfrac{\sup\{ t/(1-e^{-t}),\ t\geq 0\} }{\ln n}.\]

  2. \(\dfrac{S(x)-S(0)}x = \sum_{n=2}^\infty \dfrac{e^{-nx}}{\ln n} \to _{x\to 0_{+} }\sum_{n=2}^\infty \dfrac1{\ln n} = +\infty\) par convergence monotone.


Centrale MP 2001 ** Centrales MP

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

Convergence et limite en \(1^-\) de \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(1-x)x^n }{1+x^n }\).


[ID: 4193] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Centrale MP 2001
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

Comparaison série-intégrale, \(f(x)\to _{x\to 1^-}\ln(2)\).


Centrale MP 2001 ** Centrales MP

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{t^n }{1-t^n }\).

  1. Pour quelles valeurs de \(t\), \(S\) est-elle définie ? Est-elle continue ?

  2. Montrer qu’au voisinage de \(1^-\) on a \(S(t) = -\dfrac{\ln(1-t)}{1-t} + O\Bigl(\dfrac1{1-t}\Bigr)\). On pourra développer \(\ln(1-t)\) en série entière.


[ID: 4195] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Centrale MP 2001
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

  1. \(-1<t<1\).

  2. Pour \(0\leq t<1\) et \(n\geq 2\) on a : \[\begin{aligned} (1-t)\dfrac{t^n }{1-t^n } &= \dfrac{t^n }{1+t+\dots+t^{n-1}}\\ &= \dfrac{t^n }{n} + \dfrac{t^n ((1-t) + (1-t^2 ) + \dots+ (1-t^{n-1}))}{n(1+t+\dots+t^{n-1})}\\ &= \dfrac{t^n }{n} + \dfrac{(t^n -t^{n+1})((n-1) + (n-2)t + \dots+ t^{n-2})}{n(1+t+\dots+t^{n-1})} \end{aligned}\] d’où \(0 \leq (1-t)\dfrac{t^n }{1-t^n } - \dfrac{t^n }{n} \leq \dfrac{n-1}{n}(t^n -t^{n+1}) \leq t^n -t^{n+1}\) (vrai aussi si \(n=1\)) et en sommant : \[0\leq (1-t)S(t) + \ln(1-t) \leq 1.\]


Centrale MP 2002 ** Centrales MP

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

On pose \(\varphi (x)= d(x,\mathbb{Z})=\inf\{ |x-n| \text{ tq }n\in \mathbb{Z}\}\).

  1. Montrer que \(f\) : \(\mathbb{R}\ni x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty } (\frac34)^n \varphi (4^n x)\) est définie et continue.

  2. Montrer que \(\varphi\) est lipschitzienne. Que peut-on en déduire pour \(f\) ?

  3. Montrer que \(f\) n’est dérivable en aucun point.


[ID: 4197] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Centrale MP 2002
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

  1. La série converge normalement et \(\varphi\) est continue.

  2. \(\varphi\) est \(1\)-lipschitzienne, mais on ne peut rien en déduire pour \(f\) :

    pour \(N\) fixé et \(0<h\leq \dfrac1{2.4^n }\), on a \(|f(h)-f(0)| = f(h)\geq \sum_{n=1}^n 3^n h = \dfrac{3^{N+1}-3}2h\) donc \(f\) n’est pas lipschitzienne au voisinage de \(0\).

  3. D’après ce qui précède, le taux d’accroissement de \(f\) en \(0\) est arbitrairement grand, donc \(f\) n’est pas dérivable en \(0\). On montre de même que \(f\) n’est pas dérivable en \(x\in \mathbb{R}\).


ENS Lyon-Cachan MP 2002 ** ENS MP

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

Soin \((a_n)_{n\geq 1}\) une suite complexe telle que la série \(\sum a_n\) converge. On pose : \(f(h) = \sum_{n=1}^\infty a_n\dfrac{\sin^2 (nh)}{(nh)^2 }\) si \(h\neq 0\) et \(f(0) = \sum_{n=1}^\infty a_n\). Étudier le domaine de définition et la continuité de \(f\).


[ID: 4199] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

ENS Lyon-Cachan MP 2002
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

On suppose \(h\) réel. La série converge localement normalement sur \(\mathbb{R}^*\) donc \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et continue sur \(\mathbb{R}^*\). Continuité en \(0\) : on pose \(A_n = \sum_{k=n}^\infty a_k\) et \(\varphi (t) = \dfrac{\sin^2 (t)}{t^2 }\) si \(t\neq 0\), \(\varphi (0) = 1\) (\(\varphi\) est \(\mathcal C ^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) comme somme d’une série entière de rayon infini). Pour \(h\neq 0\) on a : \[f(h) = \sum_{n=1}^\infty (A_n-A_{n+1})\varphi (nh) = A_1\varphi (h) + \sum_{n=2}^\infty A_n(\varphi (nh)-\varphi ((n-1)h)) = A_1\varphi (h) + \sum_{n=2}^\infty A_n\int _{t=(n-1)h}^{nh}\varphi '(t)\,d t.\] Cette dernière série est uniformément convergente sur \(\mathbb{R}\) car \(A_n\to _{n\to \infty }0\) et \(\int _{t=0}^{+\infty }|\varphi '(t)|\,d t\) est convergente.


Fonction définie par une série **

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

On pose pour \(x\in \mathbb{R}\) : \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{\sqrt {n^2 +x^2 }}\).

  1. Déterminer \(\lim_{x\to \infty }f(x)\).

  2. Chercher un équivalent de \(f(x)\) en \(+\infty\).


[ID: 4201] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonction définie par une série
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

  1. CSA : \(0\leq f(x)\leq \dfrac1{\sqrt {1+x^2 }}\) donc \(f(x)\to _{x\to +\infty }0\).

  2. \[\begin{aligned} xf(x) &= \sum_{p=0}^\infty \dfrac{x}{\sqrt {(2p+1)^2 +x^2 }} - \dfrac{x}{\sqrt {(2p+2)^2 +x^2 }}\\ &= \sum_{p=0}^\infty \int _{t=2p+1}^{2p+2}\dfrac{xt}{(t^2 +x^2 )^{3/2}}\,d t\\ &= \sum_{p=0}^\infty \int _{u=(2p+1)/x}^{(2p+2)/x}\dfrac{u}{(u^2 +1)^{3/2}}\,d u. \end{aligned}\]

    On a \(\int _{u=0}^\infty \dfrac u{(u^2 +1)^{3/2}}\,d u = 1 = a + b\) avec :

    \(a = \sum_{p=0}^\infty \int _{u=(2p)/x}^{(2p+1)/x}\dfrac{u}{(u^2 +1)^{3/2}}\,d u\) et \(b = \sum_{p=0}^\infty \int _{u=(2p+1)/x}^{(2p+2)/x}\dfrac{u}{(u^2 +1)^{3/2}}\,d u = xf(x)\).

    \(h\) : \(u\mapsto \dfrac{u}{(u^2 +1)^{3/2}}\) est croissante sur \(\left[0,\sqrt {{1/2}}\right]\) et décroissante sur \(\left[\sqrt {{1/2}},+\infty \right[\) donc \(|a-b| \leq \dfrac{3\left\|h\right\|_\infty }x\), et \(xf(x)\to _{x\to +\infty }{1/2}\).


Recherche d’équivalents, Centrale MP 2006 ** Centrales MP

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

Déterminer un équivalent au voisinage de \(0\) de \(S_{1}(x) = \sum_{n=1}^{\infty }{\dfrac{1}{\mathop{\rm sh}\nolimits{(nx)}}}\) et \(S_{2}(x) = \sum_{n=1}^{\infty }{\dfrac{1}{\mathop{\rm sh}\nolimits^{2}{(nx)}}}\).


[ID: 4203] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Recherche d’équivalents, Centrale MP 2006
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

On a \(\int _{t=x}^{+\infty }\dfrac{d t}{\mathop{\rm sh}\nolimits t} \leq xS_1(x) \leq \dfrac x{\mathop{\rm sh}\nolimits x} + \int _{t=x}^{+\infty }\dfrac{d t}{\mathop{\rm sh}\nolimits t}\) et \(\dfrac1{\mathop{\rm sh}\nolimits t}=\dfrac1t +O(t)\) donc \(\int _{t=x}^{+\infty }\dfrac{d t}{\mathop{\rm sh}\nolimits t}=-\ln(x)+O(1)\). On en déduit \(S_1(x)\sim-\dfrac{\ln x}x\).

La même méthode ne marche pas pour \(S_2\) car le terme résiduel, \(\dfrac x{\mathop{\rm sh}\nolimits^2 (x)}\) n’est pas négligeable devant \(\int _{t=x}^{+\infty }\dfrac{d t}{\mathop{\rm sh}\nolimits^2 (t)}\). Par contre, on peut remarquer que la série \(\sum_{n=1}^{\infty }{\dfrac{x^2 }{\mathop{\rm sh}\nolimits^{2}{(nx)}}}\) est normalement convergente sur \(\mathbb{R}\), d’où \(S_2(x)\sim\dfrac{\zeta (2)}{x^2 }\).


Étude de \(\sum t^{p-1}\sin(px)\) pour \(x\in {]0,\pi [}\), TPE MP 2005 ** MP

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

  1. Calculer \(S_n(t) = \sum_{p=1}^n t^{p-1}\sin(px)\) puis \(S(t) = \lim_{n\to \infty } S_n(t)\).

  2. Calculer \(\int _{t=0}^1 S_n(t)\,d t\) et \(\int _{t=0}^1 S(t)\,d t\).

  3. En déduire que \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin nx}n\) converge et donner sa valeur.


[ID: 4205] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Étude de \(\sum t^{p-1}\sin(px)\) pour \(x\in {]0,\pi [}\), TPE MP 2005
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

  1. \(S_n(t) = \mathop{\mathrm{Im}}\Bigl(\dfrac{e^{ix}-t^{n}e^{i(n+1)x}}{1-te^{ix}}\Bigr) \to _{n\to \infty } \mathop{\mathrm{Im}}\Bigl(\dfrac{e^{ix}}{1-te^{ix}}\Bigr) = \dfrac{\sin x}{1-2t\cos x + t^2 }\) pour \(-1<t<1\).

  2. \(\int _{t=0}^1 S_n(t)\,d t = \sum_{p=1}^n \dfrac{\sin(px)}{p}\).

    \(\int _{t=0}^1 S(t)\,d t = (t-\cos x = u\sin x) = \int _{u=-\cot x}^{\tan x/2} \dfrac{d u}{1+ u^2 } = \dfrac{\pi -x}2\).

  3. TCD : \(|S_n(t)|\leq \dfrac2{\sin x}\) intégrable par rapport à \(t\) sur \([0,1]\). On en déduit \(\sum_{p=1}^\infty \dfrac{\sin(px)}{p} = \dfrac{\pi -x}2\).


Fonction définie par une série, CCP 2015 ** CCP

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

Soient \(n\in \mathbb{N}^*\) et \(x\in \mathbb{R}\). On pose \(f_n(x)=\dfrac1{n^3}\ln(1+n^2 x^2 )\) et \(S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\).

  1. Montrer que \(S\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

  2. Montrer que \(S\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur \(\mathbb{R}\).

  3. Montrer que \(S\) est deux fois dérivable sur \(]0,+\infty [\).


[ID: 4207] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonction définie par une série, CCP 2015
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

  1. A \(x\) fixé, \(f_n(x)=o(1/n^{2,5})\).

  2. \(|f_n'(x)| = \dfrac{2|x|}{n(1+n^2 x^2 )} \leq \dfrac1{n^2 }\). Il y a convergence normale de \(\sum f_n'\) donc on peut dériver terme à terme.

  3. \(f_n'(x) = \dfrac1{n^2 }{g(nx)}\) avec \(g(t)=\dfrac{2t}{1+t^2 }\) donc \(f_n''(x)=\dfrac1ng'(nx)\). Par étude de fonction, \(g'\) est croissante sur \([\sqrt 3,+\infty [\) de limite nulle en \(+\infty\) d’où \(|f_n''(x)|\leq \dfrac1n|g'(na)|=O(1/n^3)\) pour \(x\geq a>0\).


Développement en série de \(\mathop{\rm cotan}\nolimits\), Centrale MP 2011 ** Centrales MP

21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia

Soit \(f: x\mapsto \lim_{n\to \infty }\Bigl(\sum_{k=-n}^n\dfrac{1}{k+x}\Bigr)\).

  1. Quel est le domaine de définition de \(f\) ?

  2. Montrer que, pour tout \(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\)  :

    1. \(f(-x)=-f(x)\).

    2. \(f(x+1)=f(x)\).

    3. \(f(2x)={1/2}(f(x+{1/2})+f(x))\).

  3. Montrer que \(x\mapsto f(x)-\pi \mathop{\rm cotan}\nolimits(\pi x)\) admet un prolongement par continuité à \(\mathbb{R}\) entier.

  4. Montrer que pour tout \(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\), \(f(x)=\pi \mathop{\rm cotan}\nolimits(\pi x)\).


[ID: 4209] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Développement en série de \(\mathop{\rm cotan}\nolimits\), Centrale MP 2011
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:46

  1. \(D_f=\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\) et \(f(x)=\dfrac1x + \sum_{k=1}^\infty \dfrac{2x}{x^2 -k^2 }\).

    1. La formule ne marche que si \(2x\) n’est pas entier.

  3. \(f(x)-1/x\) et \(\pi \mathop{\rm cotan}\nolimits(\pi x)-1/x\) se prolongent par continuité en \(0\) (avec des limites nulles), donc la différence aussi. Par \(1\)-périodicité, cette différence se prolonge par continuité à \(\mathbb{R}\) entier.

  4. Soit \(g(x)=f(x)-\pi \mathop{\rm cotan}\nolimits(\pi x)\) pour \(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\) et \(g(x)=0\) pour \(x\in \mathbb{Z}\) : \(g\) est continue, vérifie la relation fonctionnelle \(g(2x)={1/2}(g(x+{1/2})+g(x))\) pour \(x\in \mathbb{R}\setminus {1/2}\mathbb{Z}\), et donc aussi pour tout \(x\in \mathbb{R}\) par continuité. On en déduit \(g(x)=0\) pour \(x\in {1/2}\mathbb{Z}\), puis pour tout \(x\in \mathbb{Z}[{1/2}]\) et enfin pour tout \(x\in \mathbb{R}\) par densité.


Les-Mathematiques.net Mathématiques vivantes

Thématiques

;
Success message!