Etude pratique de la convergence d'une série de fonctions

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Etude pratique de la convergence d'une série de fonctions

Fonction définie par une série **

21 mars 2024 14:41 — Par Michel Quercia

  1. Établir la convergence simple sur \(\mathbb{R}\) de la série de fonctions : \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac {(\sin x)^2 }{\mathop{\rm ch}\nolimits nx}\).

  2. Montrer que la convergence est uniforme sur toute partie de la forme \(\mathbb{R}\setminus [-\alpha ,\alpha ]\), \(\alpha > 0\). Que pouvez-vous en déduire pour \(f\) ?


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Solution

Fonction définie par une série **

21 mars 2024 14:41 — Par Michel Quercia

Soit \(u_n(x) = (-1)^n \ln\left(1+\dfrac x{n(1+x)}\right)\) et \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x)\).

  1. Montrer que la série \(f(x)\) converge simplement sur \(\mathbb{R}_{+}\).

  2. Majorer convenablement le reste de la série, et montrer qu’il y a convergence uniforme sur \(\mathbb{R}_{+}\).

  3. Y a-t-il convergence normale ?


[ID: 4169] [Date de publication: 21 mars 2024 14:41] [Catégorie(s): Etude pratique de la convergence d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonction définie par une série
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:41

  1. CSA \(\Rightarrow |R_n(x)| \leq |u_{n+1}(x)| \leq \ln\left(1+\frac1{n+1}\right)\).

  2. Non, \(\left\|u_n\right\|_\infty = \ln\left(1+\frac1n\right)\).


Fonction \(\Gamma\) **

21 mars 2024 14:41 — Par Michel Quercia

Soit \(f_n(x) = \dfrac{n^x}{(1+x)(1+x/2)\dots(1+x/n)}\).

  1. Étudier la convergence simple des fonctions \(f_n\).

  2. On note \(f = \lim f_n\). Calculer \(f(x)\) en fonction de \(f(x-1)\) lorsque ces deux quantités existent.

  3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur son domaine de définition (on calculera \(f_n'(x)/f_n(x)\)).


[ID: 4171] [Date de publication: 21 mars 2024 14:41] [Catégorie(s): Etude pratique de la convergence d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonction \(\Gamma\)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:41

  1. \(\dfrac{f_n(x)}{f_{n+1}(x)} = 1 - \dfrac{x(x+1)}{2n^2 } + o\left(\dfrac1{n^2 }\right)\) donc la série \(\sum\ln f_n(x)\) est convergente pour tout \(x\not\in -\mathbb{N}^*\).

  2. \(\dfrac{f_n'(x)}{f_n(x)} \to _{n\to \infty } -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \dfrac x{k(k+x)}\).


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