Approximation des fonctions
Exercices du dossier Approximation des fonctions
Approximation de la racine carrée par la méthode de Newton **
21 mars 2024 14:23 — Par Michel Quercia
On définit une suite de fonctions \(f_n:\mathbb{R}^{+*}\to \mathbb{R}^{+*}\) par : \(f_{n+1}(x) = {1/2}(f_n(x) + x/f_n(x))\), \(f_0(x) = x\). Étudier la convergence simple, puis uniforme des \(f_n\). On pourra considérer \(g_n(x)= \dfrac {f_n(x) - \sqrt x}{f_n(x) + \sqrt x}\).
[ID: 4155] [Date de publication: 21 mars 2024 14:23] [Catégorie(s): Approximation des fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Approximation polynomiale de la racine carrée **
21 mars 2024 14:24 — Par Michel Quercia
On considère la suite \((f_n)\) de fonctions sur \([0,1]\) définie par les relations : \(f_{n+1}(t) = f_n(t) + {1/2}(t-f_n^2 (t))\), \(f_0 = 0\). Étudier la convergence simple, uniforme, des fonctions \(f_n\).
[ID: 4156] [Date de publication: 21 mars 2024 14:24] [Catégorie(s): Approximation des fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Approximation polynomiale de la racine carrée
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:24
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:24
\(f_n(t)\to \sqrt t\) par valeurs croisantes, il y a convergence uniforme.
Fonction orthogonale à \(\mathbb R[X]\) ** Polytechnique
21 mars 2024 14:39 — Par Michel Quercia
Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) continue telle que pour tout entier \(k\) on a \(\int _{t=a}^b f(t)t^k\,d t = 0\). Que peut-on dire de \(f\) ?
[ID: 4158] [Date de publication: 21 mars 2024 14:39] [Catégorie(s): Approximation des fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Approximation de \(f\) et \(f'\) **
21 mars 2024 14:39 — Par Michel Quercia
Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal C ^1\).
Montrer qu’il existe une suite de polynômes \((P_n)\) telle que \(P_n\) converge uniformément vers \(f\) et \(P_n'\) converge uniformément vers \(f'\).
Si \(f\) est \(\mathcal C ^\infty\), peut-on trouver une suite de polynômes \((P_n)\) telle que pour tout \(k\) la suite \((P_n^{(k)})\) converge uniformément vers \(f^{(k)}\) ?
[ID: 4159] [Date de publication: 21 mars 2024 14:39] [Catégorie(s): Approximation des fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Suite ayant deux limites **
21 mars 2024 14:40 — Par Michel Quercia
Trouver une suite de polynômes \((P_n)\) convergeant simplement (resp. uniformément) vers la fonction nulle sur \([0,1]\) et vers la fonction constante égale à 1 sur \([2,3]\).
Remarque : une telle suite a donc des limites distinctes dans \(\mathbb{R}[x]\) pour les normes de la convergence uniforme sur \([0,1]\) et sur \([2,3]\).
[ID: 4160] [Date de publication: 21 mars 2024 14:40] [Catégorie(s): Approximation des fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Suite ayant deux limites
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:40
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:40
Prolonger en une fonction continue sur \([0,3]\) et utiliser Stone-Weierstrass.
Polynômes à coefficients entiers, ENS Lyon MP\(^*\) 2005 ** ENS MP
21 mars 2024 14:40 — Par Michel Quercia
On considère \(f:x\mapsto 2x(1-x)\) définie sur \([0,1]\).
Étude de la suite de fonction \(g_{n}\), avec \(g_{n}=f^{n}=f\circ \dots\circ f\).
Soit \([a,b]\subset {]0,1[}\) et \(h\) continue sur \([a,b]\). Montrer que \(h\) est limite uniforme sur \([a,b]\) d’une suite de polynômes à coefficients entiers.
[ID: 4162] [Date de publication: 21 mars 2024 14:40] [Catégorie(s): Approximation des fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Polynômes à coefficients entiers, ENS Lyon MP\(^*\) 2005
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:40
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:40
Il y a convergence simple vers la fonction nulle en \(0\) et \(1\) et égale à \(1/2\) ailleurs. La convergence est uniforme sur tout \([a,b]\subset {]0,1[}\).
La question précédente donne le résultat pour \(1/2\), il suffit alors d’utiliser le théorème de Weierstrass et les nombres dyadiques.
Approximation par des fractions rationnelles **
21 mars 2024 14:40 — Par Michel Quercia
Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) continue, ayant même limite finie \(l\) en \(\pm \infty\). Montrer que \(f\) est limite uniforme sur \(\mathbb{R}\) de fractions rationnelles.
[ID: 4164] [Date de publication: 21 mars 2024 14:40] [Catégorie(s): Approximation des fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Approximation par des fractions rationnelles
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:40
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:40
\(g = x\mapsto f(\tan(x/2))\) est limite uniforme de polynômes trigonométriques.
Fraction rationnelle de meilleure approximation (Ens Ulm-Lyon-Cachan MP\(^*\) 2003) ** MP
21 mars 2024 14:40 — Par Michel Quercia
On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et pour \(m,n\in \mathbb{N}\) :
\(R_{m,n} = \{ f\in R\text{ tq }\exists P,Q\in \mathbb{R}[X]\text{ tq }\deg(P)\leq m,\ \deg(Q)\leq n\text{ et }f=P/Q\}\).
\(R\) est-il un ev ? Si oui en trouver une base. Même question pour \(R_{m,n}\).
Soient \(m,n\) fixés. On note \(d = \inf\{ \left\|g-f\right\|,\ f\in R_{m,n}\}\) où \(g\) désigne une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbb{R}\) et \(\left\|h\right\| = \sup\{ |h(x)|,\ x\in [0,1]\}\). Montrer qu’il existe \(r_0\in R_{m,n}\) tel que \(\left\|g-r_0\right\| = d\).
[ID: 4166] [Date de publication: 21 mars 2024 14:40] [Catégorie(s): Approximation des fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Fraction rationnelle de meilleure approximation (Ens
Ulm-Lyon-Cachan MP\(^*\)
2003)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:40
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:40
\(R\) est trivialement un \(\mathbb{R}\)-ev. Le théorème de décomposition en éléments simples donne une base de \(R\) en se limitant aux éléments simples n’ayant pas de pôle dans \([0,1]\).
\(R_{m,n}\) n’est pas un ev. Par exemple \(\dfrac1{X+1}\) et \(\dfrac1{X+2}\) appartiennent à \(R_{0,1}\) mais pas leur somme.
Soit \((f_k)\) une suite d’éléments de \(R_{m,n}\) telle que \(\left\|g-f_k\right\|\to _{k\to \infty }d\). On note \(f_k=P_k/Q_k\) avec \(P_k\in \mathbb{R}_m[X]\), \(Q_k\in \mathbb{R}_n[X]\) et \(\left\|Q_k\right\|=1\). On a \(\left\|P_k\right\| \leq \left\|g-f_k\right\| + \left\|g\right\|\) donc les suites \((P_k)\) et \((Q_k)\) sont bornées dans \(\mathbb{R}_m[X]\) et \(\mathbb{R}_n[X]\). Quitte à prendre une sous-suite, on se ramène au cas \(P_k\to _{k\to \infty }P\in \mathbb{R}_m[X]\) et \(Q_k\to _{k\to \infty }Q\in \mathbb{R}_n[X]\) avec de plus \(\left\|Q\right\|=1\).
Si \(Q\) n’a pas de racine dans \([0,1]\), il existe \(\alpha >0\) tel que \(|Q(x)|\geq \alpha\) pour tout \(x\in [0,1]\), donc \(|Q_k(x)|\geq {1/2}\alpha\) pour tout \(x\in [0,1]\) et tout \(k\) assez grand. On en déduit que la suite \((P_k/Q_k)\) converge uniformément vers \(P/Q\) sur \([0,1]\) et que \(r_0=P/Q\) convient.
Si \(Q\) admet dans \([0,1]\) des racines \(a_1,\dots,a_p\) de multiplicités \(\alpha _1,\dots,\alpha _p\), on note \(Q^0 = \prod _i(X-a_i)^{\alpha _i}\) et \(Q^1 = Q/Q^0\). Soit \(M = \max\{ \left\|g-f_k\right\|,\ k\in \mathbb{N}\}\). Pour tous \(x\in [0,1]\) et \(k\in \mathbb{N}\) on a \(|g(x)Q_k(x)-P_k(x)|\leq M|Q_k(x)|\) donc à la limite, \(|g(x)Q(x)-P(x)|\leq M|Q(x)|\) pour tout \(x\in [0,1]\). Ceci implique que \(Q^0\) divise \(P\), on note \(P^1 =P/Q^0\). Alors pour tout \(x\in [0,1]\) et \(k\in \mathbb{N}\) on a \(|g(x)Q^0(x)-P_k(x)Q^0(x)/Q_k(x)|\leq \left\|g-f_k\right\||Q^0(x)|\), d’où \(|g(x)Q^0(x)-P^1 (x)Q^0(x)/Q^1 (x)|\leq d|Q^0(x)|\) et finalement \(r_0=P^1 /Q^1\) convient.