Etude théorique de la limite d'une suite de fonction

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Etude théorique de la limite d'une suite de fonction

Limite de \(f_n(x_n)\) **

21 mars 2024 14:00 — Par Michel Quercia

Soient \(f_n:D\to \mathbb{R}\) des fonctions continues convergeant vers une fonction continue \(f\) et \((x_n)\) une suite d’éléments de \(D\) convergeant vers \(x\in D\).

  1. Si les fonctions \(f_n\) convergent uniformément, montrer que \(f_n(x_n)\to _{n\to \infty }f(x)\).

  2. Donner un contre-exemple lorsqu’il y a seulement convergence simple (avec quand même \(f_n\) et \(f\) continues).


[ID: 4139] [Date de publication: 21 mars 2024 14:00] [Catégorie(s): Etude théorique de la limite d'une suite de fonction ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Compositon et convergence **

21 mars 2024 14:00 — Par Michel Quercia

Soit \(f_n\) convergeant uniformément vers \(f\), et \(g\) une fonction uniformément continue. Démontrer que \(g\circ f_n \to g\circ f\) uniformément.


[ID: 4140] [Date de publication: 21 mars 2024 14:00] [Catégorie(s): Etude théorique de la limite d'une suite de fonction ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(f_n\circ g_n\) **

21 mars 2024 14:00 — Par Michel Quercia

Soit \(f_n:[a,b]\to [c,d]\) et \(g_n:[c,d]\to \mathbb{R}\) des fonctions continues convergeant uniformément vers les fonctions \(f\) et \(g\). Montrer que \(g_n\circ f_n\) converge uniformément vers \(g\circ f\).


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Solution

\(f_n\circ g_n\)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:00

\(|g_n(f_n(x))-g(f(x))| \leq |g_n(f_n(x))-g(f_n(x))| + |g(f_n(x))-g(f(x))|\) et \(g\) est uniformément continue.


Dérivées bornées **

21 mars 2024 14:00 — Par Michel Quercia

Soit \((f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R})\) une suite de fonctions dérivables convergeant simplement vers une fonction \(g\).

  1. On suppose \(\left\|f_n'\right\|_\infty \leq 1\) pour tout \(n\). Montrer que \(g\) est continue.

  2. Donner un exemple avec \(\left\|f_n'\right\|_\infty =n\) et \(g\) discontinue.

  3. Donner un exemple avec \(\left\|f_n'\right\|_\infty =n\) et \(g\) continue.


[ID: 4143] [Date de publication: 21 mars 2024 14:00] [Catégorie(s): Etude théorique de la limite d'une suite de fonction ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Convergence de \(f^{(n)}\) **

21 mars 2024 14:00 — Par Michel Quercia

Soit \(f\in \mathcal C ^{\infty }(\mathbb{R})\). On définit la suite \((f_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) par \(f_n = {f}^{(n)}\) (dérivée \(n\)-ème). On suppose que \({(f_n)}_{n\geq 1}\) converge uniformément vers \(\varphi\). Que peut-on dire de \(\varphi\) ?


[ID: 4144] [Date de publication: 21 mars 2024 14:00] [Catégorie(s): Etude théorique de la limite d'une suite de fonction ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonctions réciproques (Pugin, MP\(^*\)-2001) ** MP

21 mars 2024 14:01 — Par Michel Quercia

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \([a,b]\to [c,d]\) continues, bijectives, strictement croissantes, convergeant simplement vers une fonction \(f\) : \([a,b]\to [c,d]\) elle aussi continue, bijective strictement croissante.

  1. Montrer qu’il y a convergence uniforme (2ème thm de Dini, considérer une subdivision de \([a,b]\)).

  2. Montrer que les fonctions réciproques \(f_n^{-1}\) convergent simplement vers une fonction \(g\) et que \(g = f^{-1}\).

  3. Montrer que \((f_n^{-1})\) converge uniformément vers \(f^{-1}\).


[ID: 4145] [Date de publication: 21 mars 2024 14:01] [Catégorie(s): Etude théorique de la limite d'une suite de fonction ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonctions réciproques (Pugin, MP\(^*\)-2001)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:01

  1. soit \(y\in {[c,d]}\) et \(x_n = f_n^{-1}(y)\). La suite \((x_n)\) admet au plus une valeur d’adhérence, \(x = f^{-1}(y)\).


Mines MP 2001 ** Mines-Ponts MP

21 mars 2024 14:01 — Par Michel Quercia

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues sur le compact \(K\), à valeurs réelles et convergent uniformément sur \(K\) vers la fonction \(f\). A-t-on \(\sup f_n\to _{n\to \infty }\sup f\) ?


[ID: 4147] [Date de publication: 21 mars 2024 14:01] [Catégorie(s): Etude théorique de la limite d'une suite de fonction ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Mines MP 2001
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:01

Oui : \(|\sup f_n - \sup f| \leq \left\|f_n-f\right\|_\infty\).


Centrale MP 2002 ** Centrales MP

21 mars 2024 14:01 — Par Michel Quercia

Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) continue et \(2\pi\)-périodique. Pour \(n\in \mathbb{N}^*\), on pose \(F_n(x)=\dfrac{1}{n}\int _{t=0}^n f(x+t)f(t)\,d t\).

  1. Montrer que la suite \((F_n)\) converge vers une fonction \(F\) que l’on précisera.

  2. Nature de la convergence ?

  3. Prouver \(\left\|F\right\|_{\infty }= |F(0)|\).


[ID: 4149] [Date de publication: 21 mars 2024 14:01] [Catégorie(s): Etude théorique de la limite d'une suite de fonction ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Centrale MP 2002
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:01

  1. Soit \(k=\lfloor n/2\pi \rfloor\).

    On a \(F_n(x) = \dfrac{2k\pi }n\int _{t=0}^{2\pi }f(x+t)f(t)\,d t + \dfrac1n\int _{t=2k\pi }^n f(x+t)f(t)\,d t \to _{n\to \infty }\int _{t=0}^{2\pi }f(x+t)f(t)\,d t\).

  2. uniforme.

  3. Cauchy-Schwarz.


Dérivation multiple, ULM-Lyon-Cachan MP\(^*\) 2005 ** MP

21 mars 2024 14:01 — Par Michel Quercia

  1. Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal C ^1\) sur \([a,b]\) telle que \((f_n')\) converge uniformément vers \(g\) et il existe \(x_1\) tel que \((f_n(x_1))\) converge. Montrer que \((f_n)\) converge uniformément sur \([a,b]\) vers \(f\) telle que \(f'=g\).

  2. Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal C ^p\) sur \([a,b]\) telle que \((f_n^{(p)})\) converge uniformément vers \(g\) et il existe \(x_1,\dots,x_p\) distincts tels que \((f_n(x_i))\) converge. Montrer que \((f_n)\) converge uniformément sur \([a,b]\) vers \(f\) telle que \(f^{(p)}=g\).


[ID: 4151] [Date de publication: 21 mars 2024 14:01] [Catégorie(s): Etude théorique de la limite d'une suite de fonction ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Dérivation multiple, ULM-Lyon-Cachan MP\(^*\) 2005
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:01

  1. Soit \(P_n\) le polynôme de Lagrange défini par \(P_n(x_i) = f_n(x_i)\) et \(\deg P_n < p\). Les coordonnées de \(P_n\) dans la base de Lagrange forment des suites convergentes donc la suite \((P_n)\) est uniformément convergente sur \([a,b]\). Quant à la suite \((P_n^{(p)})\), c’est la suite nulle. Donc on peut remplacer \(f_n\) par \(f_n - P_n\) dans l’énoncé, ce qui revient à supposer que \(f_n(x_i) = 0\) pour tous \(n\) et \(i\). Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x_i) = 0\) et \(f^{(p)} = g\) : \(f\) existe (prendre une primitive \(p\)-ème arbitraire de \(g\) et lui soustraire un polynôme de Lagrange approprié) et est unique (la différence entre deux solutions est polynomiale de degré \(<p\) et s’annule en \(p\) points distincts). On remplace maintenant \(f_n\) par \(f_n-f\), et on est rammené à montrer que : si \(f_n(x_i) = 0\) pour tous \(n\) et \(i\) et si \((f_n^{(p)})\) converge uniformément vers la fonction nulle, alors \((f_n)\) converge uniformément vers la fonction nulle. Ceci résulte du lemme suivant :

    Il existe une fonction \(\varphi _p\) bornée sur \([a,b]^2\), indépendante de \(n\), telle que \(f_n(x) = \int _{t=a}^b \varphi _p(x,t)f_n^{(p)}(t)\,d t\).

    Démonstration. On écrit la formule de Taylor-intégrale pour \(f_n\) entre \(x\) et \(y\) : \[f_n(y) = f_n(x) + (y-x)f_n'(x) + \dots+ \dfrac{(y-x)^{p-1}}{(p-1)!}f_n^{(p-1)}(x) + \int _{t=x}^y \dfrac{(y-t)^{p-1}}{(p-1)!}f_n^{(p)}(t)\,d t.\] L’intégrale peut être étendue à l’intervalle \([a,b]\) sous la forme \(\int _{t=a}^b u_p(x,y,t)f_n^{(p)}(t)\,d t\) en posant \[u_p(x,y,t) = \begin{cases}(y-t)^{p-1}/(p-1)! &\text{ si $x < t < y$~;}\\ -(y-t)^{p-1}/(p-1)! &\text{si $y < t < x$~;}\\ 0 &\text{sinon.}\\\end{cases}\] En prenant successivement \(y=x_1, \dots, y=x_n\), on obtient un système linéaire en \(f_n(x), \dots, f_n^{(p-1)}(x)\) de la forme : \[\left\{ \begin{array}{ccc} f_n(x) + (x_1-x)f_n'(x) + \dots+ \dfrac{(x_1-x)^{p-1}}{(p-1)!}f_n^{(p-1)}(x) &= &-\int _{t=a}^b u_p(x,x_1,t)f_n^{(p)}(t)\,d t\\ \smallskip\vdots\\ f_n(x) + (x_p-x)f_n'(x) + \dots+ \dfrac{(x_p-x)^{p-1}}{(p-1)!}f_n^{(p-1)}(x) &= &-\int _{t=a}^b u_p(x,x_p,t)f_n^{(p)}(t)\,d t\\\end{array}\right.\] La matrice \(M\) de ce système est la matrice de Vandermonde de \(x_1-x,\dots,x_p-x\), inversible. On en déduit, avec les formules de Cramer, une expression de \(f_n(x)\) à l’aide des intégrales du second membre, de la forme voulue. Le facteur \(\varphi _p\) est borné car le dénominateur est \(\det(M) = \prod _{i<j}(x_j-x_i)\), indépendant de \(x\).


\(f(2x)=2f(x)-2f^2 (x)\), Centrale 2014 ** Centrales

21 mars 2024 14:01 — Par Michel Quercia

On étudie l’équation fonctionnelle \((E)\) : \(f(2x)=2f(x)-2f^2 (x)\).

  1. Quelles sont les solutions constantes sur \(\mathbb{R}\) ?

  2. Pour \(h : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\), on pose \(f(x) = xh(x)\). A quelle condition sur \(h\), \(f\) est-elle solution de \((E)\) ?

  3. On définit les fonctions \(h_n\) par \(h_{0} (x)=1\) et \(h_{n+1}(x)=h_n(x/2)-(x/2)h_n^2 (x/2)\).

    Pour \(x,y\in [0,1]\) on pose \(T_x(y)=y-xy^2 /2\).

    1. Montrer que \(T_x\) est \(1\)-lipschitzienne sur \([0,1]\) et \(T_x([0,1])\subset [0,1]\).

    2. Montrer que la suite \((h_n)\) converge uniformément sur \([0,1]\).

    3. Montrer que \((E)\) admet une solution continue non constante sur \([0,1]\).

    4. Montrer que \((E)\) admet une solution continue non constante sur \(\mathbb{R}_{+}\).


[ID: 4153] [Date de publication: 21 mars 2024 14:01] [Catégorie(s): Etude théorique de la limite d'une suite de fonction ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(f(2x)=2f(x)-2f^2 (x)\), Centrale 2014
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:01

  1. La fonction nulle.

  2. \(h(2x)=h(x)-xh^2 (x)\) pour \(x\neq 0\).

    1. \(0\leq T_x'(y)=1-xy\leq 1\).

    2. \(|h_{n+1}(x)-h_n(x)|=|T_x(h_n(x/2))-T_x(h_{n-1}(x/2))| \leq |h_n(x/2)-h_{n-1}(x/2)|\) et par récurrence \(|h_{n+1}(x)-h_n(x)|\leq |h_{1}(x/2^n)-h_{0} (x/2^n)|\leq 1/2^{n+1}\) : la série télescopique est normalement convergente.

    3. Soit \(h=\lim(h_n)\). C’est une fonction continue non nulle car \(h(0)=1\), et qui vérifie 2). La fonction \(f=x\mapsto xh(x)\) est solution de \((E)\) sur \([0,1]\), continue non identiquement nulle et donc non constante.

    4. On note \(f_{0}\) la fonction précédente et on pose pour \(x\in [0,1]\) : \(f_{1}(2x) = 2f_{0} (x)-2f_{0} ^2 (x)\), ce qui définit \(f_{1}\) sur \([0,2]\), continue, coïncidant avec \(f_{0}\) sur \([0,1]\) et solution de \((E)\) sur \([0,2]\). On définit de même \(f_{2}\) sur \([0,4]\) à partir de \(f_{1}\), etc et on pose enfin pour \(x\geq 0\) \(f(x)=f_n(x)\) où \(n\) est choisi tel que \(x\leq 2^n\). Le résultat ne dépend pas de \(n\) et \(f\) convient. On peut encore prolonger \(f\) à \(\mathbb{R}\) par parité pour obtenir une solution sur \(\mathbb{R}\) continue et non constante.


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