Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions

Exercices du dossier Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions

Étude de convergence **

21 mars 2024 13:41 — Par Michel Quercia

Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(f_n(x) = n^\alpha x(1-x)^n\) pour \(x\in {[0,1]}\).

  1. Trouver la limite simple des fonctions \(f_n\).

  2. Y a-t-il convergence uniforme ?



[ID: 4112] [Date de publication: 21 mars 2024 13:41] [Catégorie(s): Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Étude de convergence
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 13:41
  1. \(\left\|f_n\right\|_\infty = f_n(\frac1{n+1}) \sim en^{\alpha -1}\).


Étude de convergence **

21 mars 2024 13:41 — Par Michel Quercia

On pose \(f_n(x) = x^n (1-x)\) et \(g_n(x) = x^n \sin(\pi x)\).

  1. Montrer que la suite \((f_n)\) converge uniformément vers la fonction nulle sur \([0,1]\).

  2. En déduire qu’il en est de même pour la suite \((g_n)\) (on utilisera la concavité de sin sur \([0,\pi ]\)).



[ID: 4114] [Date de publication: 21 mars 2024 13:41] [Catégorie(s): Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Étude de convergence
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 13:41
  1. Déterminer la limite simple, \(f\), des fonctions \(f_n\). \(e^{-x}\).


Étude de convergence **

21 mars 2024 13:41 — Par Michel Quercia

Étudier la convergence simple, uniforme, de la suite de fonctions : \(f_n : x \mapsto (1+x/n)^{-n}\).



[ID: 4117] [Date de publication: 21 mars 2024 13:41] [Catégorie(s): Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Étude de convergence
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 13:41

CVU sur tout compact par encadrement du logarithme.


Étude de convergence **

21 mars 2024 13:41 — Par Michel Quercia

Soit \(f_n(x) = \dfrac {nx}{1+n^2 x^2 }\). Étudier la convergence simple, puis uniforme des \(f_n\) sur \(\mathbb{R}_{+}\) puis sur \([\alpha ,+\infty [\), pour \(\alpha > 0\).



[ID: 4119] [Date de publication: 21 mars 2024 13:41] [Catégorie(s): Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Ensi Chimie P’ 93 **

21 mars 2024 13:41 — Par Michel Quercia

Étudier la convergence de la suite de fonctions définies par : \(f_n(x) = \dfrac{n(n+1)}{x^{n+1}}\int _0^x (x-t)^{n-1}\sin t\,d t\).



[ID: 4120] [Date de publication: 21 mars 2024 13:41] [Catégorie(s): Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Ensi Chimie P’ 93
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 13:41

Poser \(t = xu\) puis intégrer deux fois par parties : \(f_n(x) = 1 - \int _{u=0}^1 (1-u)^{n+1}x\sin(xu)\,d u\) donc \((f_n)\) converge simplement vers la fonction constante \(1\), et la convergence est uniforme sur tout intervalle borné.


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Équation différentielle dépendant d’un paramètre
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 13:52
  1. \(y_n = (n+1)(e^x - e^{nx/(n+1)})\).

  2. \(y = xe^x\).


\(f\circ f\circ \dots\circ f\) et convergence simple **

21 mars 2024 13:52 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[-1,1]\to [-1,1]\) une fonction continue vérifiant : \(\forall x \neq 0\), \(|f(x)| < |x|\).

On pose \(f_0(x) = x\), puis \(f_{n+1}(x) = f(f_n(x))\). Étudier la convergence simple des \(f_n\).



[ID: 4125] [Date de publication: 21 mars 2024 13:52] [Catégorie(s): Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(f\circ f\circ \dots\circ f\) et convergence simple
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 13:52

\((|f_n(x)|)\) décroît donc tend vers \(L\). On extrait une sous suite \((f_{\varphi (n)})\) convergeant vers \(l \Rightarrow |l | = L\).

La sous suite \((f_{\varphi (n)+1})\) converge vers \(f(l ) \Rightarrow |f(l )| = L \Rightarrow L = 0\).


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Étude de convergence
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 13:52
  1. \(l (t) = \dfrac {1+\sqrt {1+4t}}2\) et \(l (0)=0\).

  2. Accroissements finis.


Limite simple de polynômes de degrés bornés **

21 mars 2024 13:52 — Par Michel Quercia

Soit \(p\in \mathbb{N}\) fixé et \((P_n)\) une suite de fonctions polynomiales de degrés inférieurs ou égaux à \(p\) convergeant simplement vers \(f\) sur un intervalle \([a,b]\).

  1. Démontrer que \(f\) est polynomiale de degré inférieur ou égal à \(p\), et que les coefficients des \(P_n\) convergent vers ceux de \(f\).

  2. Montrer que la convergence est uniforme.



[ID: 4129] [Date de publication: 21 mars 2024 13:52] [Catégorie(s): Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Limite simple de polynômes de degrés bornés
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 13:52
  1. Polynôme de Lagrange.


Théorèmes de Dini **

21 mars 2024 13:52 — Par Michel Quercia

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions numériques continues sur \([a,b]\). convergeant simplement vers une fonction continue \(f\).

  1. On suppose que chaque fonction \(f_n\) est croissante. Montrer qu’il y a convergence uniforme.

  2. On suppose qu’à \(x\) fixé la suite \((f_n(x))\) est croissante. Montrer qu’il y a convergence uniforme.



[ID: 4131] [Date de publication: 21 mars 2024 13:52] [Catégorie(s): Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Équicontinuité **

21 mars 2024 13:52 — Par Michel Quercia

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues sur \(D \subset \mathbb{R}\) convergeant uniformément vers une fonction \(f\). Montrer que les fonctions \(f_n\) sont équi-continues c’est à dire : \[\forall x\in D,\ \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta > 0 \text{ tq }\forall n\in \mathbb{N},\ \forall y\in {]x-\delta ,x+\delta [}\cap D,\ |f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon.\]



[ID: 4133] [Date de publication: 21 mars 2024 13:52] [Catégorie(s): Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Limite simple de fonctions convexes **

21 mars 2024 13:52 — Par Michel Quercia

Soit \(f_n:[a,b]\to \mathbb{R}\) des fonctions continues convexes convergeant simplement vers une fonction continue \(f\). Montrer que la convergence est uniforme.



[ID: 4134] [Date de publication: 21 mars 2024 13:52] [Catégorie(s): Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Limite simple de fonctions convexes
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 13:52

Prendre une subdivision régulière de \([a,b]\) et encadrer \(f_n\) par les cordes associées.


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