Autour de la transformée de Laplace

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Autour de la transformée de Laplace

Transformée de Laplace **

16 mars 2024 17:27 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[0,+\infty [\to \mathbb{R}\) continue telle que \(\int _{t=0}^{+\infty }f(t)\,\mathrm{ \;d}t\) converge.

On pose \(\varphi (a) = \int _{t=0}^{+\infty }e^{-at}f(t)\,\mathrm{ \;d}t\).

  1. Montrer que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur \(]0,+\infty [\).

  2. Montrer que \(\varphi\) est continue en \(0\).


[ID: 4100] [Date de publication: 16 mars 2024 17:27] [Catégorie(s): Autour de la transformée de Laplace ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Transformée de Laplace
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:27

  1. Leibniz.

  2. Soit \(F(x) = \int _{t=x}^{+\infty }f(t)\,\mathrm{ \;d}t\). On a \(\varphi (a) = F(0) -a\int _{t=0}^{+\infty } e^{-at}F(t)\,\mathrm{ \;d}t = F(0) - \int _{u=0}^{+\infty }e^{-u}F(u/a)\,d u\).

    Comme \(F\) est continue et \(F(x)\to _{x\to +\infty }0\), la dernière intégrale tend vers zéro quand \(a\to 0_{+}\) par convergence dominée.


X MP\(^*\) 2001 ** Polytechnique MP

16 mars 2024 17:27 — Par Michel Quercia

Étudier \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{e^{-tx}}{1+t^2 }\,\mathrm{ \;d}t\).


[ID: 4102] [Date de publication: 16 mars 2024 17:27] [Catégorie(s): Autour de la transformée de Laplace ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

X MP\(^*\) 2001
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:27

Fonction de \(x\) de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur \(]0,+\infty [\), décroissante de limite \(\pi /2\) en \(0_{+}\) et \(0\) en \(+\infty\). Demi-tangente verticale en \(0_{+}\), Équivalente à \(1/x\) en \(+\infty\) (par IPP). Équation différentielle : \(f(x) + f''(x) = 1/x\).


Ensea MP 2004 ** MP

16 mars 2024 17:27 — Par Michel Quercia

Soit \(\alpha >0\).

  1. Montrer que \(f : x\mapsto e^{-\alpha x}\int _{\theta =0}^\pi \cos(x\sin\theta )\,\mathrm{ \;d}\theta\) est intégrable sur \(\mathbb{R}_{+}\).

  2. Calculer \(I = \int _{x=0}^{+\infty }f(x)\,\mathrm{ \;d}x\). Indication : écrire \(I = \lim_{a\to +\infty }\int _{x=0}^a f(x)\,\mathrm{ \;d}x\).


[ID: 4104] [Date de publication: 16 mars 2024 17:27] [Catégorie(s): Autour de la transformée de Laplace ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Ensea MP 2004
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:27

  1. Thm de Fubini : \(\int _{x=0}^{+\infty } f(x)\,\mathrm{ \;d}x = \int _{\theta =0}^\pi \int _{x=0}^{+\infty }\mathbb{R}e(e^{(-\alpha +i\sin\theta )x})\,\mathrm{ \;d}x\,\mathrm{ \;d}\theta = \int _{\theta =0}^\pi \dfrac{\alpha \,\mathrm{ \;d}\theta}{\alpha ^2 +\sin^2 \theta }=\dfrac\pi {\sqrt {1+\alpha ^2 }}\)

    (couper en \(\theta =\pi /2\) et poser \(u=\tan\theta\)).


X MP\(^*\) 2000 ** Polytechnique MP

16 mars 2024 17:27 — Par Michel Quercia

Étudier la limite en \(0+\) de \(I(x) = \int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{e^{-t}-\cos t}{t}e^{-xt}\, \mathrm{ \;d}t\).


[ID: 4106] [Date de publication: 16 mars 2024 17:27] [Catégorie(s): Autour de la transformée de Laplace ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

X MP\(^*\) 2000
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:27

\(I'(x) = \int _{t=0}^{+\infty }(\cos t-e^{-t})e^{-xt}\, \mathrm{ \;d}t =\dfrac{x}{1+x^2 }-\dfrac1{x+1}\) donc \(I(x) = \ln\Bigl(\dfrac{1+x^2 }{(1+x)^2 }\Bigr) + \text{cste}\) et \(I(x)\to _{x\to +\infty }0\) d’où \(\text{cste}=0\). Alors \(I(x)\to _{x\to 0_{+} }0\).


Transformée de Laplace, ENS 2014 ** ENS

16 mars 2024 17:27 — Par Michel Quercia

Soit \(\varphi\) continue par morceaux bornée sur \(\mathbb{R}_{+}\) à valeurs réelles, et \(F\) définie par \(F(\lambda )=\int _{x=0}^{+\infty }\varphi (x)e^{-\lambda x}\,\mathrm{ \;d}x\). On suppose que \(\varphi\) change \(n\) fois de signe. Montrer que \(F\) change au plus \(n\) fois de signe.


[ID: 4108] [Date de publication: 16 mars 2024 17:27] [Catégorie(s): Autour de la transformée de Laplace ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Transformée de Laplace, ENS 2014
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:27

L’intégrale définissant \(F\) converge absolument car \(\varphi\) est bornée. On remarque qu’il suffirait en fait que \(\varphi\) soit dominée par une fonction polynomiale et on prendra cela comme hypothèse dans la récurrence ci-dessous. Si \(\varphi\) est de signe constant, \(F\) a ce même signe constant. Si \(\varphi\) change de signe en \(a\in {]0,+\infty [}\) alors \(F'(\lambda )+aF(\lambda ) = \int _{x=0}^{+\infty }\varphi (x)(a-x)e^{-\lambda x}\,\mathrm{ \;d}x\) est de signe constant, donc \(\lambda \mapsto e^{a\lambda }F(\lambda )\) est monotone et change au plus une fois de signe. Pour \(n\) quelconque, on procède par récurrence sur \(n\) : si \(a\) un point de changement de signe pour \(f\) alors \(d (e^{a\lambda }F(\lambda ))/d \lambda\) change au plus \(n-1\) fois de signe donc avec le théorème de Rolle, \(e^{a\lambda }F(\lambda )\) change au plus \(n\) fois de signe.


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