Exercices théoriques

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Exercices théoriques

Théorème de division des fonctions \(\mathcal C ^\infty\) **

16 mars 2024 17:24 — Par Michel Quercia

Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal C ^\infty\) et \(g(x) = \dfrac{f(x)-f(0)}x\) si \(x \neq 0\), \(g(0)=f'(0)\).

Vérifier que \(g(x) = \int _{t=0}^1 f'(tx)\,\mathrm{ \;d}t\). En déduire que \(g\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\).

Montrer de même que la fonction \(g_k : x\mapsto \dfrac1{x^k}\left({f(x) - f(0) - xf'(0) - \dots- \dfrac{x^{k-1}}{(k-1)!}f^{(k-1)}(0)}\right)\) se prolonge en une fonction de classe \(\mathcal C ^\infty\) en 0.


[ID: 4082] [Date de publication: 16 mars 2024 17:24] [Catégorie(s): Exercices théoriques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonction définie par une intégrale **

16 mars 2024 17:24 — Par Michel Quercia

Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) continue. On définit pour \(x \in \mathbb{R}^*\) et \(y \in \mathbb{R}\) : \(g(x,y) = \dfrac 1x \int _{t=x}^{xy} f(t)\,\mathrm{ \;d}t\).

  1. Montrer que \(g\) peut être prolongée en une fonction continue sur \(\mathbb{R}^2\).

  2. On suppose de plus \(f\) dérivable en 0. Montrer que \(g\) est de classe \(\mathcal C ^1\).


[ID: 4083] [Date de publication: 16 mars 2024 17:24] [Catégorie(s): Exercices théoriques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonction définie par une intégrale
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:24

  1. \(g(x,y) = \int _{u=1}^y f(ux)\,d u\).

  2. \(\dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac1x \Bigl( yf(xy)-f(x) - \int _{u=1}^y f(ux)\,d u\Bigr) \to _{x\to 0}\dfrac{y^2 -1}2f'(0)\).


Fonction définie par une intégrale, X 1999 ** Polytechnique

16 mars 2024 17:24 — Par Michel Quercia

  1. Calculer \(f(a) = \int _{t=0}^{+\infty } e^{-t^2 }\cos(at)\,\mathrm{ \;d}t\).

  2. Soit \(g(a) = \int _{t=0}^{+\infty } e^{-t^2 }\dfrac{\sin(at)}t\,\mathrm{ \;d}t\) ; calculer \(\lim_{a\to +\infty } g(a)\).


[ID: 4085] [Date de publication: 16 mars 2024 17:24] [Catégorie(s): Exercices théoriques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Fonction définie par une intégrale, X 1999
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:24

  1. \(f'(a) = -\dfrac a2f(a) \Rightarrow f(a) = \frac{\sqrt \pi }2\exp(-a^2 /4)\).

  2. \(g'(a) = f(a) \Rightarrow g(a) \to _{a\to +\infty } \frac\pi 2\).


Lemme de Lebesgue, Centrale MP 2004 ** Centrales MP

16 mars 2024 17:24 — Par Michel Quercia

Soit f continue par morceaux définie sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(\mathbb{C}\).

  1. Soient \(a,b\in \mathbb{R}\). Montrer que \(\int _{t=a}^b f(t) \cos(nt)\,\mathrm{ \;d}t\to _{n\to \infty }0\).

  2. On suppose que \(f\) est intégrable sur \(]0,+\infty [\). Soit \(u_n= \int _{t=0}^{n\pi } \sin^2 (nt) f(t)\,\mathrm{ \;d}t\). Montrer que \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) admet une limite quand \(n\to \infty\) et la préciser.


[ID: 4087] [Date de publication: 16 mars 2024 17:24] [Catégorie(s): Exercices théoriques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Lemme de Lebesgue, Centrale MP 2004
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:24

  1. \(\sin^2 (nt) = \dfrac{1-\cos(2nt)}2\), donc il suffit d’étudier \(I_n = \int _{t=0}^{n\pi }\cos(2nt)f(t)\,\mathrm{ \;d}t\).

    Posons \(I_{n,p} = \int _{t=0}^{\min(n,p)\pi }\cos(2nt)f(t)\,\mathrm{ \;d}t\) : on a \(|I_n-I_{n,p}| \leq \int _{t=p\pi }^{+\infty }|f(t)|\,\mathrm{ \;d}t\), quantité indépendante de \(n\) et tendant vers \(0\) quand \(p\to \infty\) donc le théorème d’interversion des limites s’applique :

    \(\lim_{n\to \infty }I_n = \lim_{n\to \infty }\lim_{p\to \infty }I_{n,p} = \lim_{p\to \infty }\lim_{n\to \infty }I_{n,p} = 0\). On en déduit \(u_n \to _{n\to \infty } \dfrac12\int _{t=0}^{+\infty } f(t)\,\mathrm{ \;d}t\).


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