Etude de fonctions définies par des intégrales

Exercices du dossier Etude de fonctions définies par des intégrales

Fonction définie par une intégrale **

16 mars 2024 17:18 — Par Michel Quercia

On pose \(\varphi (x) = \int _{t=0}^1 e^{-x/t}\,\mathrm{ \;d}t\).

  1. Montrer que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\).

  2. Vérifier que \(\varphi ''(x) = \dfrac{e^{-x}}x\).



[ID: 4050] [Date de publication: 16 mars 2024 17:18] [Catégorie(s): Etude de fonctions définies par des intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Fonction définie par une intégrale, Mines 1999 ** Mines-Ponts

16 mars 2024 17:18 — Par Michel Quercia

Soit \(I(\alpha ) = \int _{x=0}^{+\infty } \dfrac{x^{\alpha -1}}{1+x}\,\mathrm{ \;d}x\). Montrer que \(I(\alpha )\) existe et définit une fonction de classe \(\mathcal C ^1\) sur \(]0,1[\). Écrire \(I(\alpha )\) comme somme d’une série.



[ID: 4051] [Date de publication: 16 mars 2024 17:18] [Catégorie(s): Etude de fonctions définies par des intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Fonction définie par une intégrale **

16 mars 2024 17:18 — Par Michel Quercia

On pose pour \(x \geq 0\) : \(f(x) = \int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{\ln(x^2 +t^2 )}{1+t^2 }\,\mathrm{ \;d}t\).

Calculer explicitement \(f'(x)\) et en déduire \(f(x)\) (on calculera \(f(0)\) à l’aide du changement de variable \(u = 1/t\)).



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Fonction définie par une intégrale **

16 mars 2024 17:18 — Par Michel Quercia

On pose \(I(x) = \int _{t=0}^{\pi /2} \ln(\cos^2 t + x^2 \sin^2 t)\,\mathrm{ \;d}t\).

  1. Montrer que \(I\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\).

  2. Calculer \(I'(x)\) et en déduire \(I(x)\).



[ID: 4054] [Date de publication: 16 mars 2024 17:18] [Catégorie(s): Etude de fonctions définies par des intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Intégrale de Gauss, Ensi PC 1999 ** PC

16 mars 2024 17:18 — Par Michel Quercia

On donne : \(\int _{t=0}^{+\infty } e^{-t^2 }\,\mathrm{ \;d}t =\dfrac{\sqrt \pi }2\). Existence et valeur de \(\int _{t=0}^{+\infty } e^{-(t^2 +a^2 /t^2 )}\,\mathrm{ \;d}t\).



[ID: 4058] [Date de publication: 16 mars 2024 17:18] [Catégorie(s): Etude de fonctions définies par des intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Fonction définie par une intégrale **

16 mars 2024 17:18 — Par Michel Quercia

  1. Soit \(I(x) = \int _{t=0}^{+\infty } e^{-t^2 }\cos(2xt)\,\mathrm{ \;d}t\). Prouver que \(I\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur \(\mathbb{R}\).

  2. Chercher une relation simple entre \(I\) et \(I'\).

  3. En déduire la valeur de \(I(x)\) (on admet que \(I(0) = \frac{\sqrt \pi }2\)).



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\(y''+y = f\) **

16 mars 2024 17:18 — Par Michel Quercia

Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) continue. On pose \(g(x) = \int _{t=0}^x f(t)\sin(x-t)\,\mathrm{ \;d}t\). Montrer que \(g\) est l’unique solution de l’équation différentielle : \(y''+y = f(x)\) telle que \(y(0) = y'(0) = 0\).



[ID: 4063] [Date de publication: 16 mars 2024 17:18] [Catégorie(s): Etude de fonctions définies par des intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Fonction définie par une intégrale **

16 mars 2024 17:18 — Par Michel Quercia

Montrer qu’il existe un unique réel \(x \in {[0,\pi ]}\) tel que \(\int _{\theta =0}^\pi \cos(x\sin\theta )\,\mathrm{ \;d}\theta = 0\). Calculer une valeur approchée de \(x\) à \(10^{-2}\) près.



[ID: 4066] [Date de publication: 16 mars 2024 17:18] [Catégorie(s): Etude de fonctions définies par des intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Centrale MP 2000 ** Centrales MP

16 mars 2024 17:18 — Par Michel Quercia

On considère \(f(x)=\int _{t=0}^{+\infty }\dfrac{\mathrm{ \;d}t}{t^x(1+t)}\).

  1. Domaine de définition, monotonie, convexité de \(f\) (sans dériver \(f\)).

  2. Continuité, dérivabilité, calcul de \(f^{(k)}(x)\).

  3. Donner un équivalent de \(f(x)\) en \(0\) et en \(1\).

  4. Calculer \(f(1/n)\) pour \(n\in \mathbb{N}\), \(n\geq 2\).



[ID: 4068] [Date de publication: 16 mars 2024 17:18] [Catégorie(s): Etude de fonctions définies par des intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Polytechnique MP\(^*\) 2000 ** Polytechnique MP

16 mars 2024 17:18 — Par Michel Quercia

Existence et continuité de \(f(x) =\int _{t=-\infty }^{+\infty } \dfrac{e^{-|x+t|}\cos(x+t)}{\sqrt {|t|}(1+|t|)}\,\mathrm{ \;d}t\). Montrer que \(f\) est intégrable.



[ID: 4070] [Date de publication: 16 mars 2024 17:18] [Catégorie(s): Etude de fonctions définies par des intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Mines-Ponts MP 2004 ** Mines-Ponts MP

16 mars 2024 17:18 — Par Michel Quercia

Soit \(f(x) = \int _{t=0}^1 \dfrac{1-t}{\ln t}t^x\,\mathrm{ \;d}t\). Étudier le domaine de définition de \(f\), sa dérivabilité, puis calculer \(f(x)\).



[ID: 4074] [Date de publication: 16 mars 2024 17:18] [Catégorie(s): Etude de fonctions définies par des intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Mines-Ponts MP 2004 ** Mines-Ponts MP

16 mars 2024 17:19 — Par Michel Quercia

Soit \(I(a) = \int _{x=0}^{+\infty }\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}xe^{-ax}\,\mathrm{ \;d}x\).

  1. Quel est le domaine de définition de \(I\) ?

  2. Étudier la continuité et la dérivabilité de \(I\).

  3. Calculer \(I(a)\).



[ID: 4076] [Date de publication: 16 mars 2024 17:19] [Catégorie(s): Etude de fonctions définies par des intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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