Suites définies par une intégrale
Exercices du dossier Suites définies par une intégrale
\(t^n f(t)\) **
16 mars 2024 17:11 — Par Michel Quercia
Soit \(I_n = \int _{t=0}^1 t^n \ln(1+t^2 )\,\mathrm{ \;d}t\). Montrer que \(I_n \to _{n\to \infty } 0\).
[ID: 4015] [Date de publication: 16 mars 2024 17:11] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
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\(t^n f(t)\) **
16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia
Soit \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) continue. Montrer que \(\int _{t=0}^1 t^n f(t)\,\mathrm{ \;d}t = \dfrac{f(1)}n + o(\frac1n)\).
[ID: 4016] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(f(t^n )\) **
16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia
Soit \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) continue. Montrer que \(\int _{t=0}^1 f(t^n )\,\mathrm{ \;d}t \to _{n\to \infty } f(0)\).
Chercher un équivalent pour \(n\to \infty\) de \(\int _{t=0}^1 \dfrac{t^n \,\mathrm{ \;d}t}{1+t^n }\).
Chercher un équivalent pour \(n\to \infty\) de \(-1 + \int _{t=0}^1 \sqrt {1+t^n }\,\mathrm{ \;d}t\).
[ID: 4017] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(f(t^n )\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
TCD
\(=\left[\dfrac{t\ln(1+t^n )}n\right]_{t=0}^1 - \dfrac1n\int _{t=0}^1 \ln(1+t^n )\,\mathrm{ \;d}t \sim \dfrac{\ln 2}n\).
\(\dfrac1n\int _{t=0}^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{\sqrt {1+t}+1} = \dfrac{2\sqrt 2-2+2\ln(2\sqrt 2-2)}n\).
\(f(t^n )\) **
16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia
Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to \infty\) de \(I_n = \int _{t=0}^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{1+t^n }\).
[ID: 4019] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(f(t^n )\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
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\(1-\dfrac{\ln 2}n + o(\frac1n)\).
\(f(t^n )\) **
16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia
Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to \infty\) de \(I_n = \int _{t=0}^1 \sqrt {1+t^n }\,\mathrm{ \;d}t\).
[ID: 4021] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(f(t^n )\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
\(1+\dfrac1n\int _{t=0}^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{\sqrt {1+t}+1} + o(\frac1n) = 1+\dfrac{2\sqrt 2-2+2\ln(2\sqrt 2-2)}n + o(\frac1n)\).
\(f(t^n )\) **
16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia
Chercher un équivalent pour \(n\to \infty\) de \(\int _{t=1}^{1+1/n} \sqrt {1+t^n }\,\mathrm{ \;d}t\).
[ID: 4023] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(f(t^n )\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
\(u=t^n \Rightarrow \sim \dfrac 1n \int _{u=1}^e \dfrac{\sqrt {1+u}}u\,d u\).
Calcul de limite **
16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia
Déterminer \(\lim_{n\to \infty } \int _{x=0}^{\pi /2} \dfrac{\sin^n x}{x+2}\,\mathrm{ \;d}x\).
[ID: 4025] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Calcul de limite **
16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia
Soit \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) continue. Déterminer \(\lim_{n\to \infty }\int _{t=0}^1 nf(t)e^{-nt}\,\mathrm{ \;d}t\).
[ID: 4026] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Calcul de limite
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
\(f(0)\).
\((1-x/n)^n\), Ensi PSI 1998 ** PSI
16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia
Soit \(x\in {[0,n]}\). Montrer que \((1-x/n)^n \leq e^{-x}\). En déduire \(\lim_{n\to \infty } \int _{x=0}^n (1-x/n)^n \,\mathrm{ \;d}x\).
[ID: 4028] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\((1-x/n)^n\), Ensi PSI
1998
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
Soit \(f_n(x) = (1-x/n)^n\) si \(0\leq x\leq n\) et \(f_n(x) = 0\) si \(x>n\). Alors \(f_n(x) \to _{n\to \infty }^{\text{simpl}} e^{-x}\) et il y a convergence dominée.
\(\tan^n t\), Ensi Physique P 94 **
16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia
On pose \(I_n = \int _0^{\pi /4} \tan^n t\,\mathrm{ \;d}t\).
Montrer que \(I_n \to _{n\to \infty } 0\).
Calculer \(I_n\) en fonction de \(n\).
Que peut-on en déduire ?
[ID: 4030] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(\tan^n t\), Ensi Physique P
94
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
\(I_n+I_{n+2} = \frac1{n+1}\).
\(I_{2k} = \frac1{2k-1} - \frac1{2k-3} + \dots+ \frac{(-1)^{k-1}}1 + (-1)^k\frac\pi 4\),
\(I_{2k+1} = \frac1{2k} - \frac1{2k-2} + \dots+ \frac{(-1)^{k-1}}2 - (-1)^k\ln\sqrt 2\).
\(\frac11-\frac13+\frac15 - \dots= \frac\pi 4\) et \(\frac11-\frac12+\frac13-\dots=\ln 2\).
Calcul de limite, École de l’Air 94 **
16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia
Chercher \(\lim_{n\to \infty } \int _0^1 \dfrac{t^n -t^{2n}}{1-t}\,\mathrm{ \;d}t\).
[ID: 4032] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Calcul de limite, École de l’Air 94
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
\(\int _0^1 \dfrac{t^n -t^{2n}}{1-t}\,\mathrm{ \;d}t = \dfrac1{n+1} + \dots+ \dfrac1{2n} \to _{n\to \infty } \ln 2\).
Ensae MP\(^*\) 2000 ** MP
16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia
Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). Trouver la limite de \(u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{\sin (k\alpha )}{n+k}\).
[ID: 4034] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Ensae MP\(^*\)
2000
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
Si \(\alpha \in 2\pi \mathbb{Z}\) alors \(u_n=0\) pour tout \(n\). Sinon,
\(u_n = \mathop{\mathrm{Im}}\Bigl(\int _{t=0}^1 \sum_{k=1}^n t^{n+k-1}e^{ik\alpha }\,\mathrm{ \;d}t\Bigr) =\mathop{\mathrm{Im}}\Bigl(\int _{t=0}^1 \dfrac{t^n e^{i\alpha }-t^{2n}e^{i(n+1)\alpha }}{1-te^{i\alpha }}\,\mathrm{ \;d}t\Bigr) \to _{n\to \infty }0\) par convergence dominée.
Suite d’intégrales, Centrale MP 2004 ** Centrales MP
16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia
Soit \((f_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) une suite de fonctions définie par : \(\forall n\in \mathbb{N}^*,\ \forall x\in {[0,1]},\ f_n(x) = \Bigl(\dfrac{x+x^n }2\Bigr)^n\).
Montrer que \((f_n)\) converge simplement vers une fonction \(\varphi\).
\(\,\)
La convergence est-elle uniforme ?
La convergence est-elle monotone ?
Soit, pour \(n\in \mathbb{N}^*\), \(J_n = \int _{x=0}^1 f_n(x)\,\mathrm{ \;d}x\). Montrer que \(J_n\sim \dfrac2{n^2 }\).
[ID: 4036] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Suite d’intégrales, Centrale MP 2004
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
\(0\leq f_n(x)\leq x^n\) et \(f_n(1) = 1\) donc \(f_n(x)\to _{n\to \infty } \begin{cases}0 &si\)x<1\(\\ 1 &si\)x=1\(.\\\end{cases}\)
Non, la continuité n’est pas conservée.
Oui, il y a décroissance évidente.
Changement de variable \(u=\Bigl(\dfrac{1+x^{n-1}}2\Bigr)^n\) : \(J_n=\dfrac2{n(n-1)}\int _{u=1/2^n }^1 (2u^{1/n}-1)^{2/(n-1)}u^{1/n}\,d u\) et l’intégrale tend vers \(1\) quand \(n\to \infty\) par convergence dominée.