Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre

Exercices du dossier Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre

\(\sin(t)/(t+x)\) **

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

  1. Prouver l’existence pour \(x > 0\) de \(I(x) = \int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{\sin t}{t+x}\,\mathrm{ \;d}t\).

  2. Déterminer \(\lim_{x\to +\infty } I(x)\).



[ID: 3999] [Date de publication: 16 mars 2024 16:46] [Catégorie(s): Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(\sin(t)/(t+x)\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:46
  1. \(I(x) = \int _{t=x}^{+\infty } \dfrac{\sin(t-x)}t\,\mathrm{ \;d}t = \cos x \int _{t=x}^{+\infty } \dfrac{\sin t}t\,\mathrm{ \;d}t - \sin x \int _{t=x}^{+\infty } \dfrac{\cos t}t\,\mathrm{ \;d}t \to _{x\to +\infty } 0\).


Calcul de limite **

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) continue. Chercher \(\lim_{x\to 0_{+} } \int _{t=0}^1 \dfrac{xf(t)}{x^2 +t^2 }\,\mathrm{ \;d}t\).



[ID: 4001] [Date de publication: 16 mars 2024 16:46] [Catégorie(s): Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Calcul de limite
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:46

\(\frac\pi 2f(0)\).


Calcul d’équivalent, Mines 1999 ** Mines-Ponts

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Donner un équivalent pour \(x\to +\infty\) de \(\int _{t=0}^{+\infty }\dfrac{\sin t}{x^2 +t^2 }\,\mathrm{ \;d}t\).



[ID: 4003] [Date de publication: 16 mars 2024 16:46] [Catégorie(s): Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Calcul d’équivalent, Mines 1999
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:46

\(t=ux\) puis intégration par parties \(\Rightarrow \sim \dfrac 1{x^2 }\).


Calcul de limite **

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Soit \(a > 0\). Donner le DL en \(x=1\) à l’ordre 3 de \(f(x) = \int _{t=a/x}^{ax} \dfrac{\ln t}{a^2 +t^2 }\,\mathrm{ \;d}t\).



[ID: 4005] [Date de publication: 16 mars 2024 16:46] [Catégorie(s): Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Calcul de limite
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:46

\(f'(x) = \dfrac{2\ln x}{a(1+x^2 )} \Rightarrow f(1+h) = \dfrac1{2a}(h^2 -h^3) + o(h^3)\).


\((\int f^x)^{1/x}\) **

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}_{+}\) continue. On pose \(\varphi (x) = \left({\int _{t=a}^b (f(t))^x\,\mathrm{ \;d}t}\right)^{1/x}\).

  1. Montrer que \(\varphi (x) \to _{x\to +\infty } \max(f)\).

  2. On suppose \(f > 0\) et \(b-a = 1\). Montrer que \(\varphi (x) \to _{x\to 0_{+} } \exp\left({\int _{t=a}^b\ln(f(t))\,\mathrm{ \;d}t}\right)\).



[ID: 4007] [Date de publication: 16 mars 2024 16:46] [Catégorie(s): Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\((\int f^x)^{1/x}\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:46
  1. Soit \(\varepsilon> 0\) : Pour \(x\) assez petit, \(\bigl|f(t)^x-1-x\ln(f(t))\bigr| \leq \varepsilon x\) car \(\ln f\) est borné sur \([a,b]\).

    Donc \(\left|\int _{t=a}^b f(t)^x\mathrm{ \;d}t - 1 - x\int _{t=a}^b\ln(f(t))\,\mathrm{ \;d}t\right| \leq \varepsilon x\), et \(\left|\ln\left({\int _{t=a}^b f(t)^x\mathrm{ \;d}t}\right) - x\int _{t=a}^b\ln(f(t))\,\mathrm{ \;d}t\right| \leq 2\varepsilon x\).


Centrale MP 2000 ** Centrales MP

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Domaine de définition de \(I(\alpha ) = \int _{x=0}^{+\infty }\dfrac{x\ln x}{(1+x^2 )^\alpha }\,\mathrm{ \;d}x\). Calculer \(I(2)\) et \(I(3)\). Déterminer la limite de \(I(\alpha )\) en \(+\infty\).



[ID: 4009] [Date de publication: 16 mars 2024 16:46] [Catégorie(s): Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Centrale MP 2000
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:46

\(I(\alpha )\) est définie pour tout \(\alpha >1\). \(I(2) = (x=e^u) = \int _{u=-\infty }^{+\infty } \dfrac{ue^{2u}}{(1+e^{2u})^2 }\,d u = \int _{u=-\infty }^{+\infty } \dfrac{u}{(e^u+e^{-u})^2 }\,d u = 0\) (parité). \(I(3) = \int _{u=-\infty }^{+\infty } \dfrac{ue^{-u}}{(e^u+e^{-u})^3}\,d u = \int _{u=0}^{+\infty } \dfrac{-u(e^u-e^{-u})}{(e^u+e^{-u})^3}\,d u = \Bigl[\dfrac{u}{2(e^u+e^{-u})^2 }\Bigr]_{u=0}^{+\infty } - \int _{u=0}^{+\infty } \dfrac{d u}{2(e^u+e^{-u})^2 }\) \(\phantom{I(3)} = -\int _{u=0}^{+\infty } \dfrac{e^{2u}\,d u}{2(1+e^{2u})^2 } = \Bigl[\dfrac{1}{4(1+e^{2u})}\Bigr]_{u=0}^{+\infty } = -\dfrac18\). \(I(\alpha )\to _{\alpha \to +\infty }0\) par convergence dominée.


Polytechnique MP 2002 ** Polytechnique MP

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Soit \(\alpha \in {]0,\frac\pi 2[}\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\). Chercher un équivalent pour \(n\to \infty\) de \(I_n = \int _{x=0}^{\alpha }\sin(x)\exp(\lambda n\sin^2 (x))\,\mathrm{ \;d}x\).



[ID: 4011] [Date de publication: 16 mars 2024 16:46] [Catégorie(s): Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Polytechnique MP 2002
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:46

Pour \(\lambda \neq 0\) : \(I_n = \Bigl[\dfrac{\exp(\lambda n\sin^2 (x))}{2\lambda n\cos(x)}\Bigr]_{x=0}^\alpha -\int _{x=0}^{\alpha }\dfrac{\sin(x)}{2\lambda n\cos^2 (x)}\exp(\lambda n\sin^2 (x))\,\mathrm{ \;d}x = \dfrac{\exp(\lambda n\sin^2 (\alpha ))}{2\lambda n\cos(\alpha )} - \dfrac1{2\lambda n} - \dfrac{J_n}{2\lambda n}\) avec \(0\leq J_n\leq \dfrac{I_n}{\cos^2 (\alpha )}\). Donc \(I_n\sim \dfrac{\exp(\lambda n\sin^2 (\alpha ))}{2\lambda n\cos(\alpha )}\) si \(\lambda > 0\) et \(I_n\sim - \dfrac1{2\lambda n}\) si \(\lambda <0\).


Mines MP 2012 ** Mines-Ponts MP

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Déterminer la limite pour \(n\to \infty\) de \(\int _{x=0}^{+\infty }x^{-1/n}(1+x/n)^{-n}\,\mathrm{ \;d}x\).



[ID: 4013] [Date de publication: 16 mars 2024 16:46] [Catégorie(s): Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Mines MP 2012
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:46

L’intégrande tend simplement vers \(e^{-x}\) ; il reste à dominer. Pour \(x\geq 0\) on a \[\Bigl(1+\dfrac xn\Bigr)^n = 1+ x +\Bigl(1-\dfrac1n\Bigr)\dfrac{x^2 }{2!} +\Bigl(1-\dfrac1n\Bigr)\Bigl(1-\dfrac2n\Bigr)\dfrac{x^3}{3!} +\dots\] Cette expression est une fonction croissante de \(n\) à \(x\) fixé. Ainsi, \((1+x/n)^n \geq (1+x/3)^3\) pour \(n\geq 3\), puis \(0\leq x^{-1/n}(1+x/n)^{-n}\leq \max(1,x)(1+x/3)^{-3}\), quantité intégrable. La limite demandée est donc \(\int _{x=0}^{+\infty }e^{-x}\,\mathrm{ \;d}x=1\).


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