Sphères

Exercices du dossier Sphères

Exercice 643 *

4 janvier 2021 22:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer la distance entre la droite \[\mathcal{D}: \begin{cases} x - y + z = 0 \\ x + z = 1 \end{cases}\] et la sphère \[\mathcal{S}:~ x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - 4z = -5\]



[ID: 286] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:54] [Catégorie(s): Sphères ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 643
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:54

En faisant apparaître des carrés, on montre que  \[\mathcal S~:\quad \left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2 +\left(z-2\right)^2=9\] donc le centre de la sphère est \(\Omega \left(3 , -1 , 2\right)\) et son rayon vaut \(R = 3\). Si on fixe \(z=0\) dans l’équation de \(\mathcal D\), on trouve qu’un point de \(\mathcal D\) est \(A\left(1,1,0\right)\). Un vecteur directeur de \(\mathcal D\) est \(\overrightarrow{u}\) de coordonnées \[\underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\-1\\1 \end{matrix}\right.}\wedge \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\0\\1 \end{matrix}\right.}= \underset{}{\left|\begin{matrix} -1\\0\\1 \end{matrix}\right.} .\] Alors \[d(\Omega, \mathcal{D}) = \dfrac{\lVert \overrightarrow{A\Omega} \wedge \overrightarrow{u} \rVert_{ }}{ \lVert \overrightarrow{u} \rVert_{ }}= \dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}}={\sqrt{12}} \quad \textrm{ et} \quad \,\hbox{\rm d}\left(\mathcal S,\mathcal D\right)=\boxed{\sqrt{12}-3}.\]


Exercice 595 *

4 janvier 2021 22:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Montrer que \(x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+5=0\) est l’équation d’une sphère \(\mathscr S\) dont on déterminera le centre et le rayon.

  2. Étudier l’intersection de \(\mathscr S\) avec le plan \(\mathscr P\) d’équation \(x+y+z-1=0\). On précisera les éléments géométriques de cette intersection.



[ID: 288] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:54] [Catégorie(s): Sphères ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 595
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:54
  1. L’équation \(x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+5=0\) s’écrit aussi : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=3^2\). On reconnaît l’équation d’une sphère de centre et de rayon .

  2. On applique le cours : \(d\left(\Omega,\mathscr P\right) = \dfrac{\left|x_\omega + y_\Omega+z_\Omega-1\right|}{\sqrt{3}}={\scriptstyle 5\sqrt 3\over\scriptstyle 3} <3\). \(\mathscr S \cap \mathscr P\) est donc un cercle. Déterminons son centre et son rayon. Soit \(A\) un point de ce cercle et \(B\) le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \(\mathscr P\). Le triangle \(\Omega A B\) est rectangle en \(B\), \(OA\) est un rayon de la sphère \(\mathscr S\) donc \(OA=3\) et de plus : \(OB= {\scriptstyle 5\sqrt 3\over\scriptstyle 3}\). En appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on trouve \(AB={\scriptstyle\sqrt{6}\over\scriptstyle 3}\). Par conséquent, le rayon du cercle intersection de \(\mathscr S\) avec le plan \(\mathscr P\) vaut \(\boxed{{\scriptstyle\sqrt{6}\over\scriptstyle 3}}\). Il reste à déterminer les coordonnées du point \(B\) qui est aussi le centre de ce cercle. La droite \(\left(\Omega B\right)\) est perpendiculaire à \(\mathscr P\) et est donc dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{n} \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right.}\) qui est normal à \(\mathscr P\). Cette droite est donc paramétrée par: \(\begin{cases}x&=1+t\\y&=2+t\\z&=3+t \end{cases},\quad t\in \mathbb{R}\). Les coordonnées de \(B\) sont solutions du système : \(\begin{cases}x=1+t\\y=2+t\\z=3+t\\ x+y+z-1=0\end{cases}\) et donc \(\boxed{B \underset{}{\left|\begin{matrix} -{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}\\{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3} \\ {\scriptstyle 4\over\scriptstyle 3} \end{matrix}\right.}}\).


Exercice 375 *

4 janvier 2021 22:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une droite \(\mathcal{D}\) de l’espace et \(A\), \(B\) deux points distincts tels que les droites \((AB)\) et \(\mathcal{D}\) soient orthogonales et non-coplanaires. Déterminer le lieu des centres des sphères passant par \(A\) et \(B\) et tangentes à \(\mathcal{D}\).



[ID: 290] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:54] [Catégorie(s): Sphères ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 375
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:54

Dans un bon repère, on a  : \[A \underset{}{\left|\begin{matrix} -a\\0\\0 \end{matrix}\right.}, \quad B \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\0\\0 \end{matrix}\right.} \quad \textrm{ et} \quad\mathcal{D}: \begin{cases} z = h \\ x = 0\end{cases}.\] Comme \(\Omega A = \Omega B\), \(\Omega\) est dans le plan médiateur de \([AB]\), \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\y\\z \end{matrix}\right.}\). On traduit que \(\mathcal{D}\) est tangente à la sphère par \(d(\Omega, \mathcal{D} = R = \lVert A\Omega \rVert_{ }\). On trouve alors \(2hz = -y^2 - h^2 + a^2\), c’est une parabole dans le plan médiateur de \([AB]\).


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Exercice 534
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:54
  1. On a : \[x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z-11=0 \Longleftrightarrow\left(x-1\right)^2 + \left(y+2\right)^2 + \left(z+3\right)^2=25\] Par conséquent \(\mathscr S\) est la sphère de centre et de rayon .

  2. Appliquant le cours : \[d\left(\Omega,\mathscr P\right)=\dfrac{\left|3\times 1 + 4\times 3 +19\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}={\scriptstyle 34\over\scriptstyle 5}>5\] L’intersection de \(\mathscr P\) et de \(\mathscr S\) est donc vide.

  3. Un vecteur directeur à \(\Delta\) est un vecteur normal à \(\mathscr P\). Par conséquent le vecteur \(\overrightarrow{n} \underset{}{\left|\begin{matrix} 3\\ 0\\-4 \end{matrix}\right.}\) dirige \(\Delta\). Une équation paramétrique de \(\Delta\) est donc : \[\boxed{\begin{cases} x=1+3t\\ y=-2 \\ z=-3-4t\end{cases}}\]

  4. Les points de \(\mathscr S\) à distance maximale et minimale de \(\mathscr P\) sont les solutions du système : \[\begin{cases} \left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z+3\right)^2 = 25\\x=1+3t\\y=2\\z=3-4t\end{cases}\] et sont donc : \(\boxed{M \underset{}{\left|\begin{matrix} -2\\-2 \\1 \end{matrix}\right.}}\) et \(\boxed{N \underset{}{\left|\begin{matrix} 4\\-2 \\-7 \end{matrix}\right.}}\). Par suite : \[d\left(M,\mathscr P\right)=\dfrac{\left|3\times (-2) -4 \times 1+19\right|}{5}=\boxed{{\scriptstyle 9\over\scriptstyle 5}} \quad \textrm{ et} \quad d\left(N,\mathscr P\right)=\dfrac{\left|3\times 4 -4 \times -7+19\right|}{5}=\boxed{{\scriptstyle 59\over\scriptstyle 5}}\] Le point le plus près de \(\mathscr P\) est donc \(M\) et le plus loin est \(N\).


Exercice 75 *

4 janvier 2021 22:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer qu’il existe une et une seule sphère, dont on déterminera le rayon et le centre, intersectant les plans \(x=1\) et \(z=-1\) suivant les cercles d’équations cartésiennes : \[\mathcal C_1: \begin{cases} x=1\\ y^2-2y+z^2+6z+2 = 0\end{cases} \quad \textrm{ et} \quad\mathcal C_2: \begin{cases} z=-1\\ x^2-4x+y^2-2y= 0\end{cases}.\]



[ID: 294] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:55] [Catégorie(s): Sphères ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 75
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:55

On a : \[y^2-2y+z^2+6z +2=(y-1)^2+(z+3)^2-8 \quad \textrm{ et} \quad x^2-4x+y^2-2y=(x-2)^2+(y-1)^2-5\] donc \(\mathcal C_1\) est le cercle de centre \(\Omega_1\left(1,1,-3\right)\) et de rayon \(2\sqrt 2\), \(\mathcal C_2\) est le cercle de centre \(\Omega_2\left(2,1,-1\right)\) et de rayon \(\sqrt 5\). Le centre \(\Omega\) de la sphère \(\mathcal S\) se trouve à l’intersection de la droite perpendiculaire au plan \(x=1\) et passant par \(\Omega_1\) et de la droite perpendiculaire au plan \(z=-1\) et passant par \(\Omega_2\), donc \(\Omega\left(2,1,-3\right)\). Calculons maintenant son rayon. Le point \(A\left(0,0,-1\right)\) est élément de \(\mathcal C_2\) et donc de \(\mathcal S\). Calculons \(\left\|\overrightarrow{A\Omega}\right\|=\sqrt{9}=3\) et le rayon de \(\mathcal S\) est \(3\).


Exercice 184 **

4 janvier 2021 22:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer qu’il existe une et une seule sphère \(\mathcal S\) tangente en \(A\left(1,2,1\right)\) à la droite \(\mathcal D~:\begin{cases}x+y-2z&=1\\2x-y-3z&=-3 \end{cases}\) et tangente en \(A'\left(1,-1-2\right)\) à la droite \(\mathcal D'~:\begin{cases} 2x+y+2z&=-3\\x-y-z&=4\end{cases}\). On déterminera son centre et son rayon.



[ID: 296] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:55] [Catégorie(s): Sphères ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 184
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:55

Supposons qu’une telle sphère \(\mathcal S\) existe. Notons \(\Omega\left(x_\Omega,y_\Omega,z_\Omega\right)\) son centre. En utilisant les équations cartésiennes de \(\mathcal D\) et \(\mathcal D'\), on calcule \(\overrightarrow{u}=\left(-5,-1,-3\right)\) un vecteur directeur de \(\mathcal D\) et \(\overrightarrow{u}'=\left(1,4,-3\right)\) un vecteur directeur de \(\mathcal D'\). Comme les deux droites sont tangentes à la sphère, on doit avoir \(\overrightarrow{\Omega A}\cdot \overrightarrow{u}=0\) et \(\overrightarrow{\Omega A'}\cdot \overrightarrow{u'}=0\) ce qui amène les deux équations : \(5x_\Omega+y_\Omega+3z_\Omega=10\) et \(x_\Omega+4y_\Omega-3z_\Omega=3\). Comme \(A,A'\in \mathcal S\), on doit aussi avoir \(\left\|\overrightarrow{\Omega A}\right\|=\left\|\overrightarrow{\Omega A'}\right\|\) ce qui amène l’équation : \(y_\Omega+z_\Omega=0\). On résout alors le système : \[\begin{cases}5x_\Omega+y_\Omega+3z_\Omega&=10 \\ x_\Omega+4y_\Omega-3z_\Omega&=3\\ y_\Omega+z_\Omega&=0\end{cases}\] et on trouve \(\Omega\left(76/37,5/37,-5/37\right)\). On en déduit que le rayon de \(\mathcal S\) est \({\scriptstyle 3\over\scriptstyle 37}\sqrt{894}\). Réciproquement, on vérifie que cette sphère convient.


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