Intégration et structure euclidienne
Exercices du dossier Intégration et structure euclidienne
\(f\) et \(f''\) de carrés sommables **
16 mars 2024 09:38 — Par Michel Quercia
Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal C ^2\) telle que \(\int _{t=0}^{+\infty }f^2 (t)\,d t\) et \(\int _{t=0}^{+\infty }f''^2(t)\,d t\) convergent. Montrer que \(\int _{t=0}^{+\infty }f'^2(t)\,d t\) converge.
[ID: 3962] [Date de publication: 16 mars 2024 09:38] [Catégorie(s): Intégration et structure euclidienne ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Centrale MP 2001 ** Centrales MP
16 mars 2024 09:38 — Par Michel Quercia
Soit \(f\) de classe \(\mathcal C ^2\) sur \(\mathbb{R}_{+}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) telle que \(f^2\) et \(f''^2\) sont intégrables sur \(\mathbb{R}_{+}\). Montrer que \(ff''\) et \(f'^2\) sont intégrables sur \(\mathbb{R}_{+}\), que \(f\) est uniformément continue et qu’elle tend vers zéro en \(+\infty\).
[ID: 3963] [Date de publication: 16 mars 2024 09:38] [Catégorie(s): Intégration et structure euclidienne ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Centrale MP 2001
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:38
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:38
\(2|ff''| \leq f^2 + f''^2\) donc \(ff''\) est intégrable. On en déduit que \(f'^2\) admet une limite finie en \(+\infty\), et cette limite est nulle sans quoi \(f^2\) ne serait pas intégrable (si \(f'(x)\to _{x\to +\infty }l\) alors \(f(x)/x\to _{x\to +\infty }l\)). Ainsi \(f'\) est bornée sur \(\mathbb{R}_{+}\), \(f\) est lipschitzienne et donc uniformément continue. De plus, \[\int _{t=0}^X f'^2(t)\,d t = f(X)f'(X) - f(0)f'(0) - \int _{t=0}^X f(t)f''(t)\,d t\] donc \(f(X)f'(X)\) admet en \(+\infty\) une limite finie ou \(+\infty\), et le cas \(f(X)f'(X) = \frac12(f^2 )'(X) \to _{x\to +\infty }+\infty\) contredit l’intégrabilité de \(f^2\) donc ce cas est impossible, ce qui prouve que \(f'^2\) est intégrable sur \(\mathbb{R}_{+}\). Enfin, \(ff'\) est intégrable (produit de deux fonctions de carrés intégrables) donc \(f^2\) admet une limite finie en \(+\infty\) et cette limite vaut zéro par intégrabilité de \(f^2\).
Centrale MP 2010 ** Centrales MP
16 mars 2024 09:38 — Par Michel Quercia
Soit \(f:{\mathbb{R}_{+} }\to \mathbb{R}\) continue de carré intégrable. On définit la fonction \(g\) telle que \(g(x) = \dfrac1x\int _{t=0}^xf(t)\,d t\).
Prolonger par continuité la fonction \(g\) en \(0\).
Montrer que, pour \(a,b\in \mathbb{R}_{+}\), \(\int _{t=a}^bg^2 (t)\,d t = ag^2 (a)-bg^2 (b)+2\int _{t=a}^bf(t)g(t)\,d t\).
Montrer que \(\int _{t=a}^bg^2 (t)\,d t\leq ag^2 (a)+2\left(\int _0^{+\infty }f^2 \right)^{\frac12} \left(\int _a^bg^2 \right)^{\frac12}\).
En déduire que \(\left(\int _a^bg^2 \right)^{\frac12}\leq \left(\int _0^{+\infty }f^2 \right)^{\frac12} +\left(\int _0^{+\infty }f^2 +ag^2 (a)\right)^{\frac12}\).
Montrer que \(g\) est de carré intégrable et que \(fg\) est intégrable.
[ID: 3965] [Date de publication: 16 mars 2024 09:38] [Catégorie(s): Intégration et structure euclidienne ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
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Centrale MP 2010
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:38
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:38
\(g(0)=f(0)\).
\(\dfrac{d (xg(x))}{d x}=f(x)\), soit \(xg'(x)=f(x)-g(x)\) et \(\dfrac{d (xg^2 (x))}{d x}=g^2 (x)+2xg'(x)g(x)=f(x)g(x)-g^2 (x)\).
On pose \(\alpha =ag^2 (a)\), \(\beta =\left(\int _0^{+\infty }f^2 \right)^{\frac12}\) et \(\gamma =\left(\int _a^bg^2 \right)^{\frac12}\).
Donc \(\gamma ^2 \leq \alpha +2\beta \gamma\), soit \((\gamma -\beta )^2 \leq \alpha +\beta ^2\), ce qui donne l’inégalité demandée.
\(\int _0^bg^2\) est majorée indépendamment de \(b\), donc \(\int _0^{+\infty }g^2\) converge. \(f\) et \(g\) étant de carrés intégrables, \(fg\) est intégrable d’après l’inégalité \(2|fg|\leq f^2 +g^2\).