Calculs d'intégrales généralisées

Exercices du dossier Calculs d'intégrales généralisées

Accordéon
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Calcul, fractions rationnelles
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:08
  1. \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{d t}{(1+t^2 )^2 }\) \(\frac\pi 4\)

  2. \(\int _{t=-\infty }^{+\infty } \dfrac{d t}{t^2 +2t+2}\) \(\pi\)

  3. \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{d t}{(1+t^2 )^4 }\) \(\frac{5\pi }{32}\)

  4. \(\int _{t=-\infty }^{+\infty } \dfrac{d t}{(t^2 +1)(t^2 -2t\cos\alpha +1)}\) \(\frac{\pi }{2|\sin\alpha |}\)

  5. \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{2t^2 +1}{(t^2 +1)^2 }\,d t\) \(\frac{3\pi }4\)

  6. \(\int _{t=-\infty }^{+\infty } \dfrac{t^2 \,d t}{(t^2 +1)(t^2 +a^2 )}\) \(\frac{\pi }{1+|a|}\)

  7. \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{d t}{1+t^4 }\) \(\frac{\pi }{2\sqrt 2}\)

  8. \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{t^2 \,d t}{1+t^4 }\) \(\frac\pi {2\sqrt 2}\)

  9. \(\int _{t=1}^{+\infty } \dfrac{d t}{t^6(1+t^{10})}\) \(\frac{4-\pi }{20}\)


Accordéon
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Calcul, fonctions trigonométriques
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:08
  1. \(\int _{t=0}^{2\pi } \dfrac{d t}{2+\sin t}\) \(\frac{2\pi }{\sqrt 3}\)

  2. \(\int _{t=-\pi }^\pi \dfrac{2d t}{2+\sin t+\cos t}\) \(2\pi \sqrt 2\)

  3. \(\int _{t=0}^{\pi /2} \sqrt {\tan t}\,d t\) \(=\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{2t^2 \,d t}{1+t^4 } = \frac\pi {\sqrt 2}\)

  4. \(\int _{t=0}^{\pi /2} \dfrac{d t}{3\tan t+2}\) \(\dfrac{\pi +3\ln(3/2)}{13}\)

  5. \(\int _{t=0}^\pi \dfrac{d t}{(a\sin^2 t+b\cos^2 t)^2 }\) \(\dfrac{\pi (a+b)}{2\sqrt {ab}^3}\)

  6. \(\int _{t=0}^{\pi /4} \cos t\ln(\tan t)\,d t\) \(-\ln(1+\sqrt 2)\)


Accordéon
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Calcul, radicaux
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:08
  1. \(\int _{t=0}^1 \sqrt {\dfrac{t}{1-t}}\,d t\) \(\frac\pi 2\)

  2. \(\int _{t=1}^{10} \dfrac{d t}{\root3\of{t-2}}\) \(\frac92\)

  3. \(\int _{t=a}^b \dfrac{d t}{\sqrt {(t-a)(b-t)}}\) \(\pi\)

  4. \(\int _{t=0}^1 \dfrac{t^5\,d t}{\sqrt {1-t^2 }}\) \(\frac8{15}\)

  5. \(\int _{t=-1}^1 \dfrac{d t}{(1+t^2 )\sqrt {1-t^2 }}\) \(\frac\pi {\sqrt 2}\)

  6. \(\int _{t=0}^1 \dfrac{d t}{(4-t^2 )\sqrt {1-t^2 }}\) \(\frac\pi {4\sqrt 3}\)

  7. \(\int _{t=0}^1 \dfrac{t\,d t}{\sqrt {(1-t)(1+3t)}}\) \(\frac{2\pi }{9\sqrt 3} + \frac13\)

  8. \(\int _{t=0}^1 \dfrac{d t}{(1+t)\root3\of{t^2 -t^3}}\) \(\frac{\pi \root3\of4}{\sqrt 3}\)

  9. \(\int _{t=0}^1 \arctan\sqrt {1-t^2 }\,d t\) \(\frac{\pi (\sqrt 2-1)}2\)

  10. \(\int _{t=1}^{+\infty } \dfrac{d t}{t\sqrt {t^{10}+t^5+1}}\) \(\frac15\ln(1+\frac2{\sqrt 3})\)

  11. \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{d t}{(1+t^2 )\sqrt t}\) \(\frac\pi {\sqrt 2}\)


Accordéon
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Calcul, divers
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:08
  1. \(\int _{t=2}^{+\infty } \dfrac{e^t\,d t}{(e^{2t}-5e^t+6)(e^t-1)}\) \(\ln(\frac{e^2 -2}{\sqrt {e^4 -4e^2 +3}})\)

  2. \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{d t}{\mathop{\rm ch}\nolimits^4 t+\mathop{\rm sh}\nolimits^4 t}\) \(\frac1{\sqrt 2}\ln(\sqrt 2+1)\)

  3. \(\int _{t=0}^{+\infty } te^{-\sqrt t} \,d t\) \(12\)

  4. \(\int _{t=0}^1 \arcsin t \,d t\) \(\frac\pi 2 - 1\)

  5. \(\int _{t=0}^1 \dfrac{\ln(1-t^2 )}{t^2 }\,d t\) \(-2\ln 2\)

  6. \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{t^3\ln t}{(1+t^4 )^3}\,d t\) \(-\frac1{32}\)

  7. \(\int _{t=0}^{\pi /2} \ln\sin t\,d t\) \(-\frac{\pi \ln2}2\)

  8. \(\int _{t=0}^1 \dfrac{\ln t}{\sqrt {1-t}}\,d t\) \(4\ln2 - 4\) (\(u = \sqrt {1-t}\))

  9. \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{\ln t}{1+t^2 }\,d t\) \(0\) (\(u = 1/t\))

  10. \(\int _{t=0}^1 \dfrac{\ln t}{(1+t)\sqrt {1-t^2 }}\,d t\) \(\ln2 - \frac\pi 2\) (\(u=\sqrt {(1-t)/(1+t)}\))

  11. \(\int _{t=0}^1 \dfrac{d t}{\sqrt {1+t}+\sqrt {1-t}}\) \(\sqrt 2 + \ln(\sqrt 2 - 1)\)

  12. \(\int _{t=0}^{+\infty } \ln\Bigl(1+\dfrac{a^2 }{t^2 }\Bigr)\,d t\) \(\pi |a|\)

  13. \(\int _{t=0}^{+\infty }\ln\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|\dfrac{t\,d t}{(a^2 +t^2 )^2 }\) \(\dfrac{\pi }{2|a|(a^2 +1)}\)


Chimie P 91 **

15 mars 2024 22:08 — Par Michel Quercia

Existence et calcul de \(f(x) = \int _{0} ^\pi d t/(1-x\cos t)\).



[ID: 3906] [Date de publication: 15 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Calculs d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
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Chimie P 91
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:08

\(f(x) = \pi /\sqrt {1-x^2 }\) pour \(-1 < x < 1\).


Chimie P 1996 **

15 mars 2024 22:08 — Par Michel Quercia

Convergence et calcul de \(\int _{t=0}^{+\infty }t\,d t/\mathop{\rm sh}\nolimits t\) (on pourra décomposer l’intégrande en somme d’une série de fonctions).



[ID: 3908] [Date de publication: 15 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Calculs d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
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Chimie P 1996
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:08

\(\frac{\pi ^2 }4\).


Accordéon
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Calcul de \(\int _{0} ^\infty \sin t/t\,d t\)
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:08
  1. \(A_n+A_{n+2} - 2A_{n+1} = 0 \Rightarrow A_n = \dfrac{n\pi }2\), \(A_n - B_n = \dfrac{\pi }4 \Rightarrow B_n = \dfrac{n\pi }2 - \dfrac{\pi }4\) pour \(n \geq 1\).

  2. \(J = \frac{\pi }2\).


Constante d’Euler **

15 mars 2024 22:08 — Par Michel Quercia

Calculer \(\int _{t=1}^{+\infty } \dfrac{t-[t]}{t^2 } \,d t\) en fonction de la constante d’Euler.



[ID: 3912] [Date de publication: 15 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Calculs d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Constante d’Euler
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:09

\(1-\gamma\).


Constante d’Euler ***

15 mars 2024 22:09 — Par Michel Quercia

Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que :

  1. \(\int _{t=0}^{+\infty } e^{-t}\ln t\,d t = -\gamma\).

  2. \(\int _{t=0}^1 \dfrac{1-e^{-t}-e^{-1/t}}t\,d t = \gamma\).

  3. \(\int _{t=0}^1 \Bigl(\dfrac 1t + \dfrac 1{\ln(1-t)}\Bigr)d t = \gamma\).



[ID: 3914] [Date de publication: 15 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Calculs d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
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Constante d’Euler
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:09
  1. On pose \(I_n=\int _{t=0}^n (1-t/n)^n \ln t\,d t\) :

    en intégrant par parties, on obtient \(I_n=\dfrac n{n+1}\Bigl(\ln n - \sum_{k=0}^n \dfrac1{k+1}\Bigr) \to _{n\to \infty }-\gamma\).

  2. \[\begin{aligned} \int _{t=0}^1 \dfrac{1-e^{-t}-e^{-1/t}}t\,d t &= \int _{t=0}^1 \dfrac{1-e^{-t}}t\,d t - \int _{t=1}^{+\infty }\dfrac{e^{-t}}t\,d t\\ &= \lim_{x\to 0_{+} }\left(-\ln x - \int _{t=x}^{+\infty }\dfrac{e^{-t}}t\,d t\right)\\ &= \lim_{x\to 0_{+} }\left((e^{-x}-1)\ln x - \int _{t=x}^{+\infty }e^{-t}\ln t\,d t\right)\\ &= -\int _{t=0}^{+\infty } e^{-t}\ln t\,d t. \end{aligned}\]

  3. \(\int _{t=x}^{+\infty }\dfrac{e^{-t}}t\,d t = (t=-\ln(1-u)) = \int _{u=1-e^{-x}}^1 \dfrac{-d u}{\ln(1-u)}\).


Accordéon
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Intégrale de Gauss
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:09
  1. \(I_n = \sqrt nK_{2n+1}\), \(J_n = \sqrt nK_{2n-1}\).

  2. \(\frac{\sqrt \pi }2\).


Intégrales de Gauss **

15 mars 2024 22:09 — Par Michel Quercia

On admet que \(\int _{t=0}^{+\infty } e^{-t^2 }\,d t =\frac{\sqrt \pi }2\). Calculer les intégrales : \(I_n = \int _{t=0}^{+\infty } e^{-t^2 }t^{2n}\,d t\) pour \(n \in \mathbb{N}\).



[ID: 3918] [Date de publication: 15 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Calculs d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
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Intégrales de Gauss
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:09

\(I_n = \dfrac{(2n)!\sqrt \pi }{2^{2n+1}n!}\).


Mines-Ponts MP 2005 ** Mines-Ponts MP

15 mars 2024 22:09 — Par Michel Quercia

Nature et calcul de \(\int _{x=0}^{+\infty } \exp(-(x-1/x)^2 )\,d x\) ?



[ID: 3920] [Date de publication: 15 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Calculs d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Mines-Ponts MP 2005
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:09

Intégrale trivialement convergente. Couper en \(\int _{0} ^1\) et \(\int _1^{+\infty }\), changer \(x\) en \(1/x\) dans l’une des intégrales, regrouper et poser \(u=x-1/x\). On obtient \(I=\int _{u=0}^{+\infty }e^{-u^2 }\,d u = \frac{\sqrt \pi }2\).


Exercice 1899 **

15 mars 2024 22:09 — Par Michel Quercia

Existence de \(\int _{x=0}^{+\infty } \sin(x^4 +x^2 +x)\,d x\).



[ID: 3922] [Date de publication: 15 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Calculs d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Exercice 1899
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:09

L’intégrale converge par parties.


Intégrales emboitées **

15 mars 2024 22:09 — Par Michel Quercia

Établir la convergence et calculer la valeur de \(\int _{x=0}^{+\infty }\int _{t=x}^{+\infty }\sin(t)/t\,d t\,d x\).



[ID: 3924] [Date de publication: 15 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Calculs d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
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Intégrales emboitées
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:09

\[\begin{aligned} \int _{x=0}^{X}\int _{t=x}^{+\infty }\dfrac{\sin t}t\,d t\,d x &=\Bigl[x\int _{t=x}^{+\infty }\dfrac{\sin t}t\,d t\Bigr]_{x=0}^{X} +\int _{x=0}^{X}\sin x\,d x\\ &=X\int _{t=X}^{+\infty }\dfrac{\sin t}t\,d t + 1 - \cos X\\ &=X\Bigl[\dfrac{-\cos t}t\Bigr]_{t=X}^{+\infty } - X\int _{t=X}^{+\infty }\dfrac{\cos t}{t^2 }\,d t + 1 - \cos X\\ &=-X\Bigl[\dfrac{\sin t}{t^2 }\Bigr]_{t=X}^{+\infty } - X\int _{t=X}^{+\infty }\dfrac{2\sin t}{t^3}\,d t + 1\\ &\to _{x\to +\infty } 1 \end{aligned}\]


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