Etudes théoriques d'intégrales généralisées

Exercices du dossier Etudes théoriques d'intégrales généralisées

Centrale PC 1999 ** Centrales PC

16 mars 2024 09:18 — Par Michel Quercia

Soit \((a_k)\) une suite de réels telle que \(\sum_{k=0}^n a_k = 0\). Étudier la convergence de \(\int _{t=0}^{+\infty } (\sum_{k=0}^n a_k\cos(a_kt))\,d t/t\).



[ID: 3928] [Date de publication: 16 mars 2024 09:18] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

\(\int _{0} ^\infty\) périodique\(/t\,d t\) **

16 mars 2024 09:18 — Par Michel Quercia

Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) continue, périodique de période \(T > 0\). On note \(m = \frac1T\int _{t=0}^T f(t)\,d t\). Montrer que \(\int _{t=T}^{+\infty } f(t)/t\,d t\) converge si et seulement si \(m=0\).



[ID: 3929] [Date de publication: 16 mars 2024 09:18] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

\(\int _{1}^\infty f(t)/t\,d t\) **

16 mars 2024 09:18 — Par Michel Quercia

Soit \(f\) une application continue de \([1,+\infty [\) dans \(\mathbb{R}\). Montrer que si l’intégrale \(\int _{t=1}^{+\infty } f(t)\,d t\) converge, il en est de même de l’intégrale \(\int _{t=1}^{+\infty } f(t)/t\,d t\). On pourra introduire la fonction \(F(x) = \int _{t=1}^x f(t)\,d t\).



[ID: 3930] [Date de publication: 16 mars 2024 09:18] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Polynôme\(\times e^{-t}\) **

16 mars 2024 09:18 — Par Michel Quercia

Soit \(\varphi : \mathbb{R}_n[X] \rightarrow \mathbb{R}^{n+1}, P \mapsto (a_{0} ,\dots,a_n)\) avec \(a_k = \int _{t=0}^{+\infty } e^{-t}t^kP(t)\,d t\).

  1. Justifier l’existence de \(\varphi\).

  2. Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme d’ev.



[ID: 3931] [Date de publication: 16 mars 2024 09:18] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Sommes de Riemann **

16 mars 2024 09:18 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[a,b[\to \mathbb{R}_{+}\) continue croissante. On pose \(S_n = \dfrac{b-a}n \sum_{k=0}^{n-1} f\Bigl(a+k\dfrac{b-a}n\Bigr)\).

  1. Si \(\int _{t=a}^b f(t)\,d t\) converge, montrer que \(S_n\to _{n\to \infty } \int _{t=a}^b f(t)d t\).

  2. Si \(\int _{t=a}^b f(t)\,d t\) diverge, montrer que \(S_n \to _{n\to \infty } +\infty\).



[ID: 3932] [Date de publication: 16 mars 2024 09:18] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Sommes de Riemann **

16 mars 2024 09:18 — Par Michel Quercia

Calculer \(\lim_{n\to \infty } \dfrac 1{\sqrt {n^2 -1}} + \dfrac 1{\sqrt {n^2 -4}} + \dots+ \dfrac 1{\sqrt {n^2 -(n-1)^2 }}\).



[ID: 3933] [Date de publication: 16 mars 2024 09:18] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Sommes de Riemann
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:18

\(\int _{t=0}^1 d t/\sqrt {1-t^2 } = \frac \pi 2\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Accordéon
Titre
Solution
Texte

Comparaison série-intégrale
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:18
  1. en supposant \(f\) positive décroissante, \(\int _{0} ^{+\infty }f \leq tg(t) \leq tf(0) + \int _{0} ^{+\infty }f\).

  2. \(\int _{u=pt}^{qt}f(u)\,d u - \sum_{n=p}^{q-1}tf(nt) = \int _{u=pt}^{qt}(f(u)-f(t[u/t]))\,d u = \int _{v=pt}^{qt}t(1-\{ v/t\} )f'(v)\,d v\to _{p,q\to \infty }0\).

    Donc la série de terme général \(tf(nt)\) est de Cauchy ; elle converge.

    On a alors \({\int _{0} ^{+\infty }f} - tg(t) = \int _{v=0}^{+\infty }t(1-\{ v/t\} )f'(v)\,d v\to _{t\to 0_{+} }0\).

  3. \(\int _{0} ^{+\infty }2f - 2tg(t) = \int _{u=0}^{+\infty }2t(1-\{ u/t\} )f'(u)\,d u = tf(0) - \int _{u=0}^{+\infty }t^2 \{ u/t\} (1-\{ u/t\} )f''(u)\,d u\).


Valeur moyenne d’une variable aléatoire à densité **

16 mars 2024 09:18 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[0,+\infty [\to \mathbb{R}_{+}\) continue telle que \(\int _{t=0}^{+\infty } tf(t)\,d t\) converge. On pose \(F(x) = \int _{t=x}^{+\infty } f(t)\,d t\).

  1. Justifier l’existence de \(F(x)\), et montrer que \(F(x)={\rm o}(1/x)\) pour \(x\to +\infty\).

  2. Montrer que \(\int _{t=0}^{+\infty } F(t)\,d t = \int _{t=0}^{+\infty } tf(t) d t\).



[ID: 3938] [Date de publication: 16 mars 2024 09:18] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

\(\int _{0} ^\infty f(t)/t^2 \,d t\) **

16 mars 2024 09:19 — Par Michel Quercia

Soit \(f:\mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}_{+}\) une fonction de classe \(\mathcal C ^1\) vérifiant : \(\exists \alpha > 0 \text{ tq }\forall x \geq 0\), \(f'(x) \geq \alpha\). Montrer que \(\int _{t=1}^{+\infty } f(t)/t^2 \,d t\) diverge.



[ID: 3939] [Date de publication: 16 mars 2024 09:19] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

\(x(f(x)-f(x+1))\) **

16 mars 2024 09:19 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[1,+\infty [\to \mathbb{R}_{+}\) une fonction décroissante telle que \(\int _{t=1}^{+\infty } f(t)\,d t\) converge.

Montrer que \(xf(x) \to _{x\to +\infty } 0\), puis que \(\int _{t=1}^{+\infty } t(f(t)-f(t+1))\,d t\) converge, et calculer la valeur de cette intégrale.



[ID: 3940] [Date de publication: 16 mars 2024 09:19] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

\(x(f(x)-f(x+1))\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:19

\(0 \leq xf(x) \leq 2\int _{t=x/2}^x f(t)\,d t \to _{x\to +\infty } 0\).

\(\int _{t=1}^x t(f(t)-f(t+1))\,d t = \int _{t=1}^2 tf(t)\,d t + \int _{t=2}^x f(t)\,d t - \int _{t=x}^{x+1} (t-1)f(t)\,d t \to _{x\to +\infty } \int _{t=1}^2 tf(t)\,d t + \int _{t=2}^{+\infty } f(t)\,d t\).


\(f(|t-1/t|)\) **

16 mars 2024 09:19 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[0,+\infty [\to \mathbb{R}_{+}\) une fonction continue telle que \(\int _{t=0}^{+\infty } f(t)\,d t\) converge.

Montrer que \(\int _{t=0}^{+\infty } f(t)\,d t = \int _{u=0}^{+\infty } f(|t - 1/t|)\,d t\).



[ID: 3942] [Date de publication: 16 mars 2024 09:19] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

\((f(ax) - f(x))/x\) **

16 mars 2024 09:19 — Par Michel Quercia

  1. Soit \(f:{]0,+\infty [}\to \mathbb{R}\) une fonction continue telle que \(f(x) \to _{x\to 0_{+} } l\) et \(f(x) \to _{x\to +\infty } L\) avec \(l ,L\in \mathbb{R}\).

    Pour \(a > 0\), établir la convergence et calculer la valeur de \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac {f(at) - f(t)}t \,d t\).

  2. Application : Calculer \(\int _{t=0}^1 \dfrac{t-1}{\ln t}\,d t\).



[ID: 3943] [Date de publication: 16 mars 2024 09:19] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

\((f(ax) - f(x))/x\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:19
  1. \(\int _{t=x}^y \dfrac {f(at)}t \,d t = \int _{t=ax}^{ay} \dfrac {f(t)}t \,d t \Rightarrow \int _{t=x}^y \dfrac {f(at)-f(t)}t \,d t = \int _{t=ax}^x \dfrac {f(t)}t \,d t +\int _{t=y}^{ay} \dfrac {f(t)}t \,d t\).

    On obtient \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac {f(at) - f(t)}t \,d t = (L-l )\ln a\).

  2. \(I = \int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{e^{-t}-e^{-2t}}t\,d t = \ln 2\).


\(f(t+a)-f(t)\), Ensi PC 1999 ** PC

16 mars 2024 09:19 — Par Michel Quercia

  1. Soit \(f:\mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}_{+}\) continue ayant une limite finie en \(+\infty\). Montrer que \(\int _{t=0}^{+\infty } (f(t+a) - f(t))\,d t\) converge.

  2. Calculer \(\int _{t=0}^{+\infty } (\arctan(t+1) - \arctan(t))\,d t\).



[ID: 3945] [Date de publication: 16 mars 2024 09:19] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

\(f(t+a)-f(t)\), Ensi PC 1999
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:19
  1. \(\frac\pi 4+{1/2}\ln 2\).


Valeur moyenne sur **

16 mars 2024 09:27 — Par Michel Quercia

Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) continue telle que \(\int _{t=-\infty }^{+\infty }|f(t)|\,d t\) converge. On pose \(F(x) = {1/2}\int _{t=x-1}^{x+1}f(t)\,d t\).

Montrer que \(\int _{t=-\infty }^{+\infty }F(t)\,d t = \int _{t=-\infty }^{+\infty }f(t)\,d t\).

Démontrer le même résultat en supposant seulement la convergence de \(\int _{t=-\infty }^{+\infty }f(t)\,d t\)



[ID: 3947] [Date de publication: 16 mars 2024 09:27] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Valeur moyenne sur le segment \(x-1\), \(x+1\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:29

\(\int _{t=a}^b F(t)\,d t = {1/2}\int _{u=a-1}^{a+1} (u-(a-1))f(u)\,d u + \int _{u=a+1}^{b-1} f(u)\,d u + {1/2}\int _{u=b-1}^{b+1} (b+1-u)f(u)\,d u\).

\(\phantom{\int _{t=a}^b F(t)\,d t} = \varphi (a+1) - {1/2}\int _{u=a-1}^{a+1}\varphi (u)\,d u + \int _{u=a+1}^{b-1} f(u)\,d u + {1/2}\int _{u=b-1}^{b+1}\varphi (u)\,d u - \varphi (b-1)\)\(\varphi\) est une primitive de \(f\).


\((\int tf(t)\,d t)/x\) **

16 mars 2024 09:29 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[0,+\infty [\to \mathbb{R}\) continue telle que \(\int _{t=0}^{+\infty } f(t)\,d t\) converge. Montrer que \(\frac1x\int _{t=0}^x tf(t)\,d t \to _{x\to +\infty } 0\).



[ID: 3953] [Date de publication: 16 mars 2024 09:29] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

\((\int tf(t)\,d t)/x\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:29

Soit \(F(x) = \int _{t=0}^x f(t)\,d t\) : \(\frac1x\int _{t=0}^x tf(t)\,d t = F(x) - \frac1x\int _{t=0}^x F(t)\,d t\).


\(f\) uniformément continue **

16 mars 2024 09:29 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[0,+\infty [\to \mathbb{R}\) uniformément continue telle que \(\int _{t=0}^{+\infty } f(t)\,d t\) converge.

  1. Montrer que \(f(t) \to _{t\to +\infty } 0\) (raisonner par l’absurde).

  2. Si \(f\) est positive, montrer que \(\int _{t=0}^{+\infty } f^2 (t)\,d t\) converge.

  3. Donner un contre-exemple si \(f\) n’est pas de signe constant.



[ID: 3955] [Date de publication: 16 mars 2024 09:29] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

\(f\) décroissante \(\Rightarrow xf(x)\to 0\) **

16 mars 2024 09:29 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[0,+\infty [\to \mathbb{R}\) continue telle que \(\int _{t=0}^{+\infty } f(t)\,d t\) converge.

  1. Si \(f(x) \to _{x\to +\infty }L\), combien vaut \(L\) ?

  2. Donner un exemple où \(f\) n’a pas de limite en \(+\infty\).

  3. Si \(f\) est décroissante, montrer que \(xf(x)\to _{x\to +\infty }0\).



[ID: 3956] [Date de publication: 16 mars 2024 09:29] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

\(\cos(P(t))\) **

16 mars 2024 09:29 — Par Michel Quercia

Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels de degré supérieur ou égal à 2. Montrer que \(\int _{t=0}^{+\infty } \cos(P(t))\,d t\) converge.



[ID: 3957] [Date de publication: 16 mars 2024 09:29] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

\(\cos(P(t))\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:29

\(\int ^x \cos(P(t))\,d t = \left[\dfrac{\sin(P(t))}{P'(t)}\right]^x -\int ^x \sin(P(t))\dfrac{d }{d t}\left(\dfrac{1}{P'(t)}\right)d t\).


\(f' \leq 1\), Ulm 1999 **

16 mars 2024 09:29 — Par Michel Quercia

Soit \(f:\mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}_{+}\) de classe \(\mathcal C ^1\), intégrable.

  1. On suppose \(f' \leq 1\). Montrer que \(f(x)\to _{x\to +\infty }0\).

  2. Est-ce encore vrai si on suppose seulement \(f'\leq 1+g\) avec \(g\) intégrable ?



[ID: 3959] [Date de publication: 16 mars 2024 09:29] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Comparaison série-intégrale, Mines 2013 ** Mines-Ponts

16 mars 2024 09:29 — Par Michel Quercia

A partir du développement de Taylor avec reste intégral de \(f(x) = \int _{t=1}^x\dfrac{\sin\sqrt t}t\,d t\), étudier la convergence de \(\sum\dfrac{\sin\sqrt n}n\). Même question pour \(\sum\dfrac{\cos\sqrt n}{\sqrt n}\).



[ID: 3960] [Date de publication: 16 mars 2024 09:29] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Comparaison série-intégrale, Mines 2013
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:29

Indication peu claire…

On écrit \(f(n+1)=f(n)+f'(n)+\int _{t=n}^{n+1}(n+1-t)f''(t)\,d t\) et \(f''(t) = \dfrac{\cos\sqrt t}{2t^{3/2}}-\dfrac{\sin\sqrt t}{t^2 } = O(1/t^{3/2})\) avec une constante indépendante de \(t\) pour \(t\geq 1\). Ainsi, \(\dfrac{\sin\sqrt n}n = f(n+1)-f(n)+O(1/n^{3/2})\).

L’intégrale généralisée \(\int _{t=1}^{+\infty }\dfrac{\sin\sqrt t}t\,d t\) est convergente  : écrire \(\dfrac{\sin\sqrt t}{\sqrt t}\times\dfrac1{\sqrt t}\) puis intégrer par parties, donc la série de terme général \(f(n+1)-f(n)\) est convergente et par addition, la série \(\sum\dfrac{\sin\sqrt n}n\) converge.

Considérons à présent \(g(x) = \int _{t=1}^x\dfrac{\cos\sqrt t}{\sqrt t}\,d t= \int _{u=1}^x\frac12\cos u\,d u=\frac12(\sin\sqrt x-\sin1)\).

On a \(g'(x)=\dfrac{\cos\sqrt x}{\sqrt x}\), \(g''(x)=-\dfrac{\sin\sqrt x}{2x}+O(1/x^{3/2})\) et \(g'''(x)=O(1/x ^{3/2})\),

d’où \(\dfrac{\cos\sqrt n}{\sqrt n}=g(n+1)-g(n)+\dfrac{\sin\sqrt n}{4n}+O(1/n^{3/2})\). Ainsi, les séries \(\sum(g(n+1)-g(n))\) et \(\sum\dfrac{\cos\sqrt n}{\sqrt n}\) ont même nature. Si elles convergent, alors la suite \((g(n))\) admet une limite finie et donc aussi la fonction \(g\) en \(+\infty\) car \(g(x)=g(n)+O(1/\sqrt n)\) pour \(n\leq x<n+1\), vu \(g'\). Or \(g\) n’a pas de limite en \(+\infty\), donc la série \(\sum\dfrac{\cos\sqrt n}{\sqrt n}\) est divergente.


;
Success message!