Trigonalisation
Exercices du dossier Trigonalisation
\(AB=0\) **
14 mars 2024 22:20 — Par Michel Quercia
Soient \(A,B\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) telles que \(AB = 0\). Montrer que \(A\) et \(B\) sont simultanément trigonalisables.
[ID: 3880] [Date de publication: 14 mars 2024 22:20] [Catégorie(s): Trigonalisation ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Produit de matrices nilpotentes **
14 mars 2024 22:20 — Par Michel Quercia
Soient \(A_{1},\dots,A_n\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) nilpotentes et commutant deux à deux. Montrer que \(A_{1}\dots A_n = 0\).
[ID: 3881] [Date de publication: 14 mars 2024 22:20] [Catégorie(s): Trigonalisation ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
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Matrices nilpotentes **
14 mars 2024 22:20 — Par Michel Quercia
Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\). Montrer que \(A\) est nilpotente si et seulement si pour tout \(k\in \mathbb{N}^*\) on a \(\mathop{\rm tr}\nolimits(A^k)=0\).
[ID: 3882] [Date de publication: 14 mars 2024 22:20] [Catégorie(s): Trigonalisation ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Matrices nilpotentes
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:20
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:20
\(0\) est valeur propre, se placer dans un hyperplan stable et récurer.
Mines MP 2003 ** Mines-Ponts MP
14 mars 2024 22:20 — Par Michel Quercia
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((u_n)\) une suite d’endomorphismes diagonalisables convergeant vers un endomorphisme \(u\). \(u\) est-il diagonalisable ?
[ID: 3884] [Date de publication: 14 mars 2024 22:20] [Catégorie(s): Trigonalisation ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Mines MP 2003
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:20
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:20
Non. Prendre \(\mathop{\rm Mat}\nolimits(u_n) = \begin{pmatrix}0&1\\0&1/n\end{pmatrix}\).
Mines-Ponts MP 2005 ** Mines-Ponts MP
14 mars 2024 22:20 — Par Michel Quercia
On donne une matrice carrée réelle \(M\) d’ordre \(n\) non inversible. Soient \(\alpha ,\beta\) les multiplicités de zéro dans \(\chi_M\) et \(\mu _M\). Montrer que \(\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits M) = \alpha\) si et seulement si \(\beta = 1\).
[ID: 3886] [Date de publication: 14 mars 2024 22:20] [Catégorie(s): Trigonalisation ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Mines-Ponts MP 2005
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:20
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:20
Trigonaliser fortement \(M\).
ENS 2014 ** ENS
14 mars 2024 22:21 — Par Michel Quercia
Soit \(\mathbb{K}\) un corps fini. Les matrices de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) sont-elles toutes diagonalisables ? Sinon, trigonalisables ?
[ID: 3888] [Date de publication: 14 mars 2024 22:21] [Catégorie(s): Trigonalisation ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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ENS 2014
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:21
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:21
Non, il existe une matrice ayant pour polynôme caractéristique \(1+\prod _{a\in \mathbb{K}}(X-a)\), non scindé.
\(\left\|g - \mathop{\rm id}\nolimits\right\| < 1\), Ulm MP 2012 ** MP
14 mars 2024 22:21 — Par Michel Quercia
Soit \(\left\|\ \right\|\) une norme d’algèbre sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\). Soit \(G\) un sous-groupe de \(GL_n(\mathbb{R})\) tel que pour tout \(g\in G\) : \(\left\|g - \mathop{\rm id}\nolimits\right\| < 1\). Montrer que \(G\) est réduit à \(\{ \mathop{\rm id}\nolimits\}\).
[ID: 3890] [Date de publication: 14 mars 2024 22:21] [Catégorie(s): Trigonalisation ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(\left\|g - \mathop{\rm
id}\nolimits\right\| < 1\), Ulm MP 2012
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:21
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:21
Soit \(g\in G\) et \(\lambda \in \mathbb{C}\) une valeur propre de \(g\) où \(g\) est considérée comme une matrice complexe. La suite \((g^k)_{k\in \mathbb{Z}}\) est à valeurs dans \(G\), donc est bornée dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) et dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\). Il en résulte que la suite \((\lambda ^k)_{k\in \mathbb{Z}}\) est bornée dans \(\mathbb{C}\), soit : \(|\lambda |=1\). De même, \((g-\mathop{\rm id}\nolimits)^k\to 0\) quand \(k\to +\infty\) dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) puis dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\), donc \((\lambda -1)^k\to 0\), soit : \(|\lambda -1|<1\) et plus généralement \(|\lambda ^p-1|<1\) pour tout \(p\in \mathbb{N}\). Ceci implique \(\lambda =1\). Ainsi \(1\) est l’unique valeur propre de \(g\). On écrit alors \(g=\mathop{\rm id}\nolimits+h\) avec \(h\) nilpotente, d’où \(g^k=\mathop{\rm id}\nolimits+kh+\binom{k}{2}h^2 +\dots+\binom{k}{n-1}h^{n-1}\) est un polynôme en \(k\) à valeurs bornées quand \(k\) décrit \(\mathbb{N}\). Ceci implique \(h=0\) et finalement \(g=\mathop{\rm id}\nolimits\).