Image et noyau

Exercices du dossier Image et noyau

Chimie P 1996 **

14 mars 2024 22:17 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(n\) et \(f\) un endomorphisme de \(E\).

Est-il vrai que : \(f\) est diagonalisable \(\Leftrightarrow\) \(\mathop{\rm Ker}\nolimits f + \mathop{\rm Im}\nolimits f = E\) ?



[ID: 3855] [Date de publication: 14 mars 2024 22:17] [Catégorie(s): Image et noyau ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(\mathop{\rm Ker}\nolimits f \oplus \mathop{\rm Im}\nolimits f\) **

14 mars 2024 22:17 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension finie et \(f \in \mathcal L (E)\). On suppose qu’il existe \(P\in \mathbb{K}[X]\) tel que \(P(f) = 0\) et \(P'(0)\neq 0\). Montrer que \(\mathop{\rm Ker}\nolimits f \oplus \mathop{\rm Im}\nolimits f = E\).



[ID: 3857] [Date de publication: 14 mars 2024 22:17] [Catégorie(s): Image et noyau ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(\mathop{\rm Ker}\nolimits f \oplus \mathop{\rm Im}\nolimits f\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:17

Si \(P(0)\neq 0\) alors \(f\) est bijective. Si \(P(0) = 0\) alors \(f^2 \circ \text{qqch} = -P'(0)f\Rightarrow \mathop{\rm Ker}\nolimits f^2 = \mathop{\rm Ker}\nolimits f\).


\(rg(f-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits)\) **

14 mars 2024 22:18 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un \(\mathbb{C}\)-ev de dimension finie et \(f\in \mathcal L (E)\). Montrer que \(f\) est diagonalisable si et seulement si pour tout \(\lambda \in \mathbb{C}\) on a \(\mathop{\rm rg}\nolimits(f-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits) = \mathop{\rm rg}\nolimits(f-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits)^2\).



[ID: 3859] [Date de publication: 14 mars 2024 22:18] [Catégorie(s): Image et noyau ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Nombre de noyaux et d’images **

14 mars 2024 22:18 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension finie et \(u\in \mathcal L (E)\). Montrer que les ensembles \(\mathcal K = \{ \mathop{\rm Ker}\nolimits(P(u))\), \(P\in \mathbb{K}[X]\}\) et \(\mathcal I = \{ \mathop{\rm Im}\nolimits(P(u))\), \(P\in \mathbb{K}[X]\}\) sont finis et ont même cardinal.



[ID: 3860] [Date de publication: 14 mars 2024 22:18] [Catégorie(s): Image et noyau ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Nombre de noyaux et d’images
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:18

Soit \(\mu\) le polynôme minimal de \(u\) et \(\mathcal D\) l’ensemble des diviseurs unitaires de \(\mu\). Pour \(P\in \mathbb{K}[X]\) et \(d=P\wedge \mu\) on a facilement \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(P(u)) = \mathop{\rm Ker}\nolimits(d(u))\) et \(\mathop{\rm Im}\nolimits(P(u)) = \mathop{\rm Im}\nolimits(d(u))\). Ceci montre déjà que \(\mathcal K\) et \(\mathcal I\) sont finis.

De plus, si \(d\in \mathcal D\) alors l’annulateur minimal de \(u_{|\mathop{\rm Im}\nolimits(d(u))}\) est \(\mu /d\) donc l’application \(d\mapsto \mathop{\rm Im}\nolimits(d(u))\) est injective sur \(\mathcal D\) et \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal I ) = \mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal D )\). De même, l’annulateur minimal de \(u_{|\mathop{\rm Ker}\nolimits(d(u))}\) est \(d\) car \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(d(u)) \supset \mathop{\rm Im}\nolimits(\frac\mu d(u))\) et \(d\) est l’annulateur minimal de \(u_{|\mathop{\rm Im}\nolimits(\frac\mu d(u))}\) donc l’application \(d\mapsto \mathop{\rm Ker}\nolimits(d(u))\) est injective sur \(\mathcal D\) et \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal K ) = \mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal D )\).


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\(\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits f^2 ) = 2\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits f)\), Mines-Ponts MP 2005
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:18

En appliquant le théorème du rang à \(f_{|\mathop{\rm Ker}\nolimits f^2 }\), on a : \(\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits f^2 ) = \dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits f) + \dim(f(\mathop{\rm Ker}\nolimits f^2 ))\), et \(f(\mathop{\rm Ker}\nolimits f^2 )\subset \mathop{\rm Ker}\nolimits f\), donc \(f(\mathop{\rm Ker}\nolimits f^2 )= \mathop{\rm Ker}\nolimits f\). Soit \(G_i = \mathop{\rm Ker}\nolimits g^i\). Montrons que \(g(G_{i+1}) = G_i\) pour tout \(i\in \textlbrackdbl 0,k\textlbrackdbl\) : si \(x\in G_{i+1}\) alors \(g^i(g(x)) = g^{i+1}(x) = 0\) donc \(g(x)\in G_i\). Réciproquement, si \(y\in G_i\) alors \(y\in G_k = f(G_{2k})\), donc \(y\) a un antécédant \(x\) par \(f\), cet antécédant appartient à \(G_{i+k}\), et \(y = g(g^{k-1}(x)) \in g(G_{i+1})\).

On en déduit, avec le théorème du rang appliqué à \(g_{|G_{i+1}}\), que \(\dim(G_{i+1}) = \dim(G_i) + \dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits g)\) pour tout \(i\in {\textlbrackdbl 0,k\textlbrackdbl }\), d’où \(d = \dim(G_k) = \dim(G_{0} ) + k\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits g) = k\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits g)\).


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