Réduction par blocs
Exercices du dossier Réduction par blocs
Matrice bloc **
14 mars 2024 22:16 — Par Michel Quercia
Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) non nulle et \(M = \begin{pmatrix}0 &A \\ 0 &0\end{pmatrix} \in \mathcal M _{2n}(\mathbb{K})\). Montrer que \(M\) n’est pas diagonalisable.
[ID: 3842] [Date de publication: 14 mars 2024 22:16] [Catégorie(s): Réduction par blocs ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Matrice bloc **
14 mars 2024 22:16 — Par Michel Quercia
Soit \(\mathbb{K}\) un corps de caractéristique nulle, \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) et \(M = \begin{pmatrix}A &0 \\ A &A\end{pmatrix} \in \mathcal M _{2n}(\mathbb{K})\).
Comparer les valeurs propres de \(A\) et \(M\).
Soit \(P \in \mathbb{K}[X]\) et \(Q = XP'\). Montrer que \(P(M) = \begin{pmatrix}{P(A)}& 0 \\{Q(A)}&{P(A)}\end{pmatrix}\).
A quelle condition sur \(A\), \(M\) est-elle diagonalisable ?
[ID: 3843] [Date de publication: 14 mars 2024 22:16] [Catégorie(s): Réduction par blocs ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Matrice bloc
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:16
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:16
Par récurrence pour \(P = X^k\), puis par linéarité.
Si \(M\) est diagonalisable, on prend \(P=\mu _M\) : donc \(\mu _A\) divise \(P\) et \(XP'\) et \(P\) est scindé à racines simples. La seule racine simple possible est \(0\), d’où \(A=0\).
Ensi P 90 **
14 mars 2024 22:16 — Par Michel Quercia
Soit \(M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) diagonalisable. Soit \(A = \begin{pmatrix}M&M\\ M&M\end{pmatrix} \in \mathcal M _{2n}(\mathbb{C})\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
[ID: 3845] [Date de publication: 14 mars 2024 22:16] [Catégorie(s): Réduction par blocs ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Ensi P 90
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:16
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:16
S’inspirer du cas \(n=1\). Soit \(P = \begin{pmatrix}I&I\\ I&-I\end{pmatrix}\) : \(P^{-1}AP = \begin{pmatrix}2M&0\\ 0&0\end{pmatrix}\) est diagonalisable, donc \(A\) aussi.
Matrice bloc **
14 mars 2024 22:16 — Par Michel Quercia
Soit \(A \in GL_n(\mathbb{C})\) et \(M = \begin{pmatrix}0 &A \\ I &0\end{pmatrix} \in \mathcal M _{2n}(\mathbb{C})\). Montrer que \(M\) est diagonalisable si et seulement si \(A\) l’est (chercher les sous-espaces propres de \(M\) en fonction de ceux de \(A\)).
[ID: 3847] [Date de publication: 14 mars 2024 22:16] [Catégorie(s): Réduction par blocs ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Matrice bloc
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:16
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:16
\(E_\lambda (M) = \left\{ \begin{pmatrix}\lambda Y\\ Y\end{pmatrix} \text{ tq }AY = \lambda ^2 Y \right\}\).
Matrice triangulaire par blocs **
14 mars 2024 22:16 — Par Michel Quercia
Soit \(M = \begin{pmatrix}A &B \\ 0 &C\end{pmatrix}\) avec \(A,C\) carrées. On suppose que \(A\) et \(C\) sont diagonalisables sans valeurs propres communes. Montrer que \(M\) est diagonalisable.
[ID: 3849] [Date de publication: 14 mars 2024 22:16] [Catégorie(s): Réduction par blocs ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Matrice bloc **
14 mars 2024 22:16 — Par Michel Quercia
Soit \(M = \begin{pmatrix}A &B \\ C &D\end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) diagonalisable avec \(A\) carrée d’ordre \(p\).
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(M\) de multiplicité \(m\). Montrer que si \(p > n-m\), alors \(\lambda\) est valeur propre de \(A\).
[ID: 3850] [Date de publication: 14 mars 2024 22:16] [Catégorie(s): Réduction par blocs ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Réduction par blocs, Centrale MP 2003 ** Centrales MP
14 mars 2024 22:16 — Par Michel Quercia
Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) et \(B = \begin{pmatrix}0&A\\ A&2A\end{pmatrix}\in \mathcal M _{2n}(\mathbb{R})\). Déterminer \(\mathop{\rm sp}\nolimits(B)\) et fonction de \(\mathop{\rm sp}\nolimits(A)\).
[ID: 3851] [Date de publication: 14 mars 2024 22:16] [Catégorie(s): Réduction par blocs ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Réduction par blocs, Centrale MP 2003
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:16
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:16
Calcul du polynôme caractéristique de \(B\) par opérations en blocs. On obtient \[\chi_B(x) = \det(x^2 I-2xA-A^2 ) = (-1)^n \chi_A\Bigl(\dfrac x{1+\sqrt 2}\Bigr)\chi_A\Bigl(\dfrac x{1-\sqrt 2}\Bigr)\] donc \[\mathop{\rm sp}\nolimits(B) = \{ (1+\sqrt 2)\lambda ,\ \lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(A)\} \cup \{ (1-\sqrt 2)\lambda ,\ \lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(A)\} .\]
\(A^m\to _{m\to +\infty }0\), Mines MP 2003 ** Mines-Ponts MP
14 mars 2024 22:16 — Par Michel Quercia
Soit \(A=\begin{pmatrix}a^2 &ab &ab &b^2 \\ ab &a^2 &b^2 &ab \\ ab &b^2 &a^2 &ab \\ b^2 &ab &ab &a^2 \\\end{pmatrix}\). Représenter dans un plan l’ensemble des couples \((a,b)\) tels que \(A^m\to _{m\to +\infty }0\).
[ID: 3853] [Date de publication: 14 mars 2024 22:16] [Catégorie(s): Réduction par blocs ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(A^m\to _{m\to +\infty
}0\), Mines MP 2003
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:16
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:16
En prenant \(P=\begin{pmatrix}I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}\) on trouve \(P^{-1}MP = \begin{pmatrix}a^2 -ab &ab-b^2 &0 &0 \\ ab-b^2 &a^2 -ab &0 &0 \\ 0 &0 &a^2 +ab &b^2 +ab \\ 0 &0 &b^2 +ab &a^2 +ab \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}M_{1}&0\\0&M_{2}\end{pmatrix}\).
En prenant \(P_{1}=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\) on a \(P_{1}^{-1}M_{1}P_{1} = \begin{pmatrix}{(a-b)^2 }&0\\0&a^2 -b^2 \end{pmatrix}\) et \(P_{1}^{-1}M_{2}P_{1} = \begin{pmatrix}a^2 -b^2 &0\\0&{(a+b)^2 }\end{pmatrix}\).
Ainsi, \(\mathop{\rm sp}\nolimits(A) = \{ (a+b)^2 ,(a-b)^2 ,(a+b)(a-b)\}\), donc l’ensemble cherché est la boule unité ouverte pour \(\left\|\ \right\|_{1}\).