Endomorphismes de composition

Exercices du dossier Endomorphismes de composition

Équation \(AM = \lambda M\) **

14 mars 2024 22:09 — Par Michel Quercia

Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). Déterminer les scalaires \(\lambda\) et les matrices \(M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) telles que \(AM = \lambda M\).



[ID: 3792] [Date de publication: 14 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Endomorphismes de composition ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(v\mapsto v\circ u\), Centrale MP 2003
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:09
    1. Pour \(p\in \mathbb{K}[X]\) on a \(P(\Phi_u) = v\mapsto v\circ P(u)\) donc \(u\) et \(\Phi_u\) ont mêmes polynômes annulateurs.

    2. \((\lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(\Phi_u)) \Leftrightarrow (\exists v\neq 0\text{ tq }v\circ (u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits_E) = 0) \Leftrightarrow (u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits_E\) n’est pas surjectif\() \Leftrightarrow (\lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(u))\). Ainsi \(\Phi_u\) et \(u\) ont même spectre. Si \(\lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(u)\) et \(v\in \mathcal L (E)\) on a : \[(\Phi_u(v) = \lambda v) \Leftrightarrow (\mathop{\rm Im}\nolimits(u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits_E) \subset \mathop{\rm Ker}\nolimits v)\] donc \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(\Phi_u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits_{\mathcal L (E)})\) est isomorphe à \(\mathcal L (H,E)\)\(H\) est un supplémentaire de \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits_E)\). On en déduit : \(\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits(\Phi_u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits_{\mathcal L (E)})) = \dim(E)\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits_E)\).


\(f \mapsto p\circ f\circ p\) **

14 mars 2024 22:09 — Par Michel Quercia

Soit \(p \in \mathcal L (E)\) une projection et \(\Phi : \mathcal L (E) \rightarrow \mathcal L (E), f \mapsto p\circ f\circ p.\) Déterminer les éléments propres de \(\Phi\).



[ID: 3795] [Date de publication: 14 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Endomorphismes de composition ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(f \mapsto p\circ f\circ p\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:09

\(\lambda = 1\) : \(\mathop{\rm Dir}\nolimits(p) \subset \mathop{\rm Ker}\nolimits f\), \(\mathop{\rm Im}\nolimits f \subset \mathop{\rm Base}\nolimits(p)\).

\(\lambda = 0\) : \(f(\mathop{\rm Base}\nolimits(p)) \subset \mathop{\rm Dir}\nolimits(p)\).


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\(u\circ v - v\circ u = \mathop{\rm id}\nolimits\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:10
  1. Pour \(P\in \mathbb{K}[X]\) on a \(P(u)\circ v - v\circ P(u) = P'(u)\).


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\(f\circ g - g\circ f = \alpha f\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:10
  1. \(\mathbb{K}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), \(\mathop{\rm Mat}\nolimits(f)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\), \(\mathop{\rm Mat}\nolimits(g)=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\).


X MP\(^*\) 2001 ** Polytechnique MP

14 mars 2024 22:10 — Par Michel Quercia

Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) (ev de dimension finie sur \(\mathbb{K}\)) tel que \(\chi_f\) soit irréductible. Montrez que pour aucun endomorphisme \(g\) le crochet de Lie \([f,g] = f\circ g - g\circ f\) n’est de rang un.



[ID: 3802] [Date de publication: 14 mars 2024 22:10] [Catégorie(s): Endomorphismes de composition ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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X MP\(^*\) 2001
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:10

Supposons qu’il existe \(g\in \mathcal L (E)\) tel que \(\mathop{\rm rg}\nolimits(f\circ g - g\circ f) = 1\). Alors il existe \(l \in E^*\) et \(a\in E\) tous deux non nuls tels que : \[\forall x\in E,\ f(g(x)) - g(f(x)) = l (x)a.\] D’où par récurrence sur \(k\) : \[\forall x\in E,\ f^k(g(x)) - g(f^k(x)) = l (x)f^{k-1}(a) + l (f(x))f^{k-2}(a) +\dots+ l (f^{k-1}(x))a.\]

Comme \(\chi_f\) est irréductible, le sous-espace \(f\)-monogène engendré par \(a\) est égal à \(E\), soit : \((a,\dots,f^{n-1}(a))\) est une base de \(E\) avec \(n=\dim E\) et \(f^n (a) = \alpha _{0} a +\dots+ \alpha _{n-1}f^{n-1}(a)\).

Alors \(\mu _f(f) = f^n -\alpha _{n-1}f^{n-1} - \dots- \alpha _{0} f^0 = 0\) et : \[\forall x\in E,\ 0 = \mu _f(f)(g(x)) - g(\mu _f(f)(x)) = l (x)f^{n-1}(a) +\dots+ l (f^{n-1}(x) - \dots- \alpha _{1}x)a.\] Ceci implique \(l (x) = 0\) pour tout \(x\), en contradiction avec l’hypothèse \(\mathop{\rm rg}\nolimits(f\circ g - g\circ f) = 1\).


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