Produits scalaire, vectoriel et mixte

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Produits scalaire, vectoriel et mixte

Exercice 804 **

4 janvier 2021 22:46 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de l’espace. Montrer que : \[\overrightarrow{u} \wedge \left(\overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{w}\right) = \left(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{w}\right)\overrightarrow{v} - \left(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v}\right)\overrightarrow{w}\]


[ID: 238] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:46] [Catégorie(s): Produits scalaire, vectoriel et mixte ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 804
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 22:46

Considérons un repère orthonormal direct \(\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) dans lequel les coordonnées de \(\overrightarrow{u}\) sont \(\left(a,0,0\right)\), celles de \(\overrightarrow{v}\) sont \(\left(a',b',0\right)\) (il suffit pour cela que \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\) engendrent un plan contenant \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\)) et celles de \(\overrightarrow{w}\) sont \(\left(a'',b'',c''\right)\). On a alors : \[\overrightarrow{u} \wedge \left(\overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{w}\right) = \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\0 \\0 \end{matrix}\right.}\wedge \left( \underset{}{\left|\begin{matrix} a'\\b' \\0 \end{matrix}\right.}\wedge \underset{}{\left|\begin{matrix} a''\\b'' \\c'' \end{matrix}\right.}\right) = \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\0 \\0 \end{matrix}\right.} \wedge \underset{}{\left|\begin{matrix} b'c''\\-a'c'' \\a'b''-b'a'' \end{matrix}\right.} = \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\aa''b'-aa'b''\\-aa'c'' \end{matrix}\right.}\] et : \[\left(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{w}\right)\overrightarrow{v} - \left(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v}\right)\overrightarrow{w} = aa'' \underset{}{\left|\begin{matrix} a'\\b'\\0 \end{matrix}\right.} -aa' \underset{}{\left|\begin{matrix} a''\\b''\\c'' \end{matrix}\right.}= \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\aa''b'-aa'b''\\-aa'c'' \end{matrix}\right.}\] d’où l’égalité.


Exercice 666 **

4 janvier 2021 22:46 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Dans l’espace, on considère un vecteur \(\overrightarrow{u}\) unitaire et une base orthonormale directe \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\).

  1. Calculer \(\alpha = \lVert \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{i} \rVert_{ }^2 + \lVert \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{j} \rVert_{ }^2 + \lVert \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{k} \rVert_{ }^2\).

  2. En déduire que l’une de ces trois normes est supérieure ou égale à \(\sqrt{2/3}\).


[ID: 240] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:46] [Catégorie(s): Produits scalaire, vectoriel et mixte ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 666
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 22:46

  1. Notons \(\overrightarrow{u} \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y\\z \end{matrix}\right.}\). Alors \(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{i} \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ z \\ -y \end{matrix}\right.}\), \(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{j} \underset{}{\left|\begin{matrix} -z \\ 0 \\ x \end{matrix}\right.}\), \(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{k} \underset{}{\left|\begin{matrix} y \\ -x \\ 0 \end{matrix}\right.}\). Par conséquent, \(\alpha = 2(x^2+y^2+z^2) = 2\) puisque \(\lVert u \rVert_{ }^2 = 1\).

  2. Par l’absurde, si les trois normes étaient toutes strictement inférieures à \(\sqrt{2/3}\), on aurait \(2 = \alpha < 2/3 + 2/3 + 2/3 = 2\), ce qui est absurde.


Identité de Jacobi **

4 janvier 2021 22:46 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

On rapporte l’espace à une base orthonormale directe. Soient quatre vecteurs \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{d}\) de l’espace.

  1. Montrer l’identité de Jacobi : \[\overrightarrow{a} \wedge (\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{c}) + \overrightarrow{b} \wedge (\overrightarrow{c} \wedge \overrightarrow{a}) + \overrightarrow{c} \wedge (\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{0}\]

  2. Montrer que \[(\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}) . (\overrightarrow{c} \wedge \overrightarrow{d}) = \begin{vmatrix} \overrightarrow{a} . \overrightarrow{c} & \overrightarrow{a} . \overrightarrow{d} \\ \overrightarrow{b} . \overrightarrow{c} & \overrightarrow{b} . \overrightarrow{d} \end{vmatrix}\]

  3. Montrer que \[(\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b})\wedge(\overrightarrow{c} \wedge \overrightarrow{d})=\mathop{\rm det}(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b},\overrightarrow{d})\overrightarrow{c}-\mathop{\rm det}(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b},\overrightarrow{c})\overrightarrow{d}\]


[ID: 242] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:46] [Catégorie(s): Produits scalaire, vectoriel et mixte ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Identité de Jacobi
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 22:46

Exercice 500 **

4 janvier 2021 22:46 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

On considère deux vecteurs \((\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})\) de l’espace. Résoudre l’équation vectorielle \[\overrightarrow{x}+\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{x} =\overrightarrow{b}\]


[ID: 244] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:46] [Catégorie(s): Produits scalaire, vectoriel et mixte ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 500
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 22:46

Soit \(\overrightarrow{x}\) une solution. En prenant le produit scalaire avec \(\overrightarrow{a}\), on trouve que \[\overrightarrow{a} . \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}\] En prenant le produit vectoriel avec \(\overrightarrow{a}\), et en utilisant la formule du double produit vectoriel, on obtient \[\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{x} + (\overrightarrow{a}.\overrightarrow{x})\overrightarrow{a} - \lVert \overrightarrow{a} \rVert_{ }^2 \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}\] d’où l’on tire (remplacer \(\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{x}\) par \(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{x}\) et \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{x}\) par \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)) que : \[\boxed{ \overrightarrow{x} = \dfrac{1}{1+\lVert \overrightarrow{a} \rVert_{ }^2}\bigl[\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b} + (\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}) \overrightarrow{a}\bigr] }\] On vérifie réciproquement en utilisant la formule du double produit vectoriel que ce vecteur est solution.


Exercice 860 ***

4 janvier 2021 22:46 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{b}\) non-nuls et orthogonaux. Résoudre l’équation vectorielle : \[\begin{cases} \overrightarrow{x}\wedge \overrightarrow{a} &= \overrightarrow{b} \\ \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{x} &= \overrightarrow{a} \end{cases}\]


[ID: 246] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:46] [Catégorie(s): Produits scalaire, vectoriel et mixte ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 860
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 22:46

Soit \(\overrightarrow{x}\) un vecteur solution. On calcule \(\overrightarrow{b}\wedge(\overrightarrow{x}\wedge \overrightarrow{a}) = \overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}\) d’où en utilisant la formule du double produit vectoriel, \((\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a})\overrightarrow{x} - (\overrightarrow{b}.\overrightarrow{x})\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}\). Mais puisque \(\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = 0\) et que \(\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}\), on en tire que \(\boxed{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{x} = 0}\). De la même façon, en calculant \(\overrightarrow{a}\wedge(\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{x})\), on trouve que \(\boxed{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{x} = 0}\). Puisque le vecteur \(\overrightarrow{x}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{a}\) et à \(\overrightarrow{b}\), il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{x} = \lambda \overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}\). Alors en calculant \[\lambda (\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b})\wedge{a} = \lambda\lVert \overrightarrow{a} \rVert_{ }^2\overrightarrow{b}\] on doit avoir \(\lambda = \dfrac{1}{\lVert \overrightarrow{a} \rVert_{ }^2}\). De même, en calculant \[\overrightarrow{b}\wedge(\lambda \overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}) = \lambda \lVert b \rVert_{ }^2\overrightarrow{a}\] on doit avoir \(\lambda = \dfrac{1}{\lVert \overrightarrow{b} \rVert_{ }^2}\). Par conséquent,

  • Si \(\lVert a \rVert_{ }\neq \lVert b \rVert_{ }\), \(\mathcal{S} = \varnothing\).

  • Si \(\lVert a \rVert_{ } = \lVert b \rVert_{ }\), \(\mathcal{S} = \Bigl\{\dfrac{\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}}{\lVert \overrightarrow{a} \rVert_{ }^2} \Bigr\}\).

où \(\mathcal{S}\) est l’ensemble solution du système étudié.


Exercice 2 **

4 janvier 2021 22:46 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Soient quatre vecteurs \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{d}\) de l’espace. Montrer que \[(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}) \times (\overrightarrow{b} . \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{c}) . ( \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}) \times \lVert c \rVert_{ }^2\]


[ID: 248] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:46] [Catégorie(s): Produits scalaire, vectoriel et mixte ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 2
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 22:46

Calculons \[\begin{aligned} \left(\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{c}\right)\times \left( \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c}\right)&= \mathop{\rm det}(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c}) \\ &= \mathop{\rm det}(\overrightarrow{c}, \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c}, \overrightarrow{a}) \\ &= \bigl[\overrightarrow{c} \wedge (\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{c})\bigr] . \overrightarrow{a} \\ &= \bigl[\lVert \overrightarrow{c} \rVert_{ }^2 \overrightarrow{b} - (\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c})\overrightarrow{c}\bigr] . \overrightarrow{a} \\ &= \lVert \overrightarrow{c} \rVert_{ }^2 \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}) \end{aligned}\]


Exercice 258 **

4 janvier 2021 22:46 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Soit \(n \geqslant 3\) et \(n\) vecteurs de l’espace \(\overrightarrow{a_i}\) vérifiant \(\sum_{i=1}^n \overrightarrow{a_i} = \overrightarrow{0}\). Montrer que \[\sum_{1\leqslant i < j \leqslant n } \overrightarrow{a_i}\wedge \overrightarrow{a_j} = \sum_{1\leqslant i < j \leqslant n - 1} \overrightarrow{a_i} \wedge \overrightarrow{a_j}\]


[ID: 250] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:46] [Catégorie(s): Produits scalaire, vectoriel et mixte ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 258
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 22:46

Puisque la première somme vaut \[\sum_{j=1}^n \Bigl(\sum_{i=1}^{j-1} \overrightarrow{a_i}\wedge \overrightarrow{a_j}\Bigr) = \sum_{j=1}^{n-1} \Bigl(\sum_{i=1}^{j-1}\overrightarrow{a_i}\wedge \overrightarrow{a_j}\Bigr) + \sum_{i=1}^{n-1} \overrightarrow{a_i}\wedge \overrightarrow{a_n}\] et que \[\sum_{i=1}^{n-1} \overrightarrow{a_i}\wedge \overrightarrow{a_n} = \Bigl(\sum_{i=1}^{n-1} \overrightarrow{a_i}\Bigr) \wedge \overrightarrow{a_n} = -\overrightarrow{a_n}\wedge \overrightarrow{a_n} = \overrightarrow{0}\] on en déduit le résultat.


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