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Exercices du dossier Divers

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Ulm MP\(^*\) 2000 ** MP

13 mars 2024 22:28 — Par Michel Quercia

Soit \(z_1,\dots,z_p\in \mathbb{C}\), \(p_1,\dots,p_p \in \mathbb{R}_{+}\) tels que \(\sum_{i=1}^p p_i=1\), et \(\omega \in \mathbb{R}\).

Pour \(n>p\) on pose \(z_n=e^{i\omega }\sum_{j=1}^p z_{n-j}p_j\). Étudier la suite \((z_n)\).



[ID: 3646] [Date de publication: 13 mars 2024 22:28] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Ulm MP\(^*\) 2000
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:28

On pose, sous réserve de convergence, \(f(t) = \sum_{n=1}^\infty z_nt^n\). Alors : \[f(t) =\sum_{n=1}^p z_nt^n + \sum_{j=1}^pe^{i\omega }p_j\sum_{n=p+1}^\infty z_{n-j}t^n =\sum_{n=1}^p z_nt^n + \sum_{j=1}^pe^{i\omega }p_jt^j\Bigl(f(t)-\sum_{n=1}^{p-j} z_nt^n \Bigr)\] soit : \[\Bigl(1-\sum_{j=1}^pe^{i\omega }p_jt^j\Bigr)f(t) = P(t)f(t) = \sum_{n=1}^p z_nt^n - \sum_{j=1}^pe^{i\omega }p_jt^j\sum_{n=1}^{p-j} z_nt^n =Q(t),\] donc \(f(t) = Q(t)/P(t)\). Réciproquement, soit \(Q(t)/P(t) = \sum_{n=1}^\infty a_nt^n\) : en remontant les calculs précédents on voit que \((a_n)\) vérifie la même relation de récurrence que \((z_n)\) avec les mêmes premiers termes d’où \(z_n = a_n\) pour tout \(n\). Si \(|t|<1\) alors \(\Bigl|\sum_{j=1}^pe^{i\omega }p_jt^j\Bigr|<1\) donc \(P\) n’a pas de racine dans le disque unité ouvert. Si \(P\) n’a pas non plus de racine sur le cercle unité alors le développement en série entière de \(Q(t)/P(t)\) a un rayon \(>1\) et \(z_n\to _{n\to \infty }0\). Si \(P\) admet des racines dans \(\mathbb U\) on peut déja dire que la suite \((z_n)\) est bornée par \(\max(|z_1|,\dots,|z_p|)\) puis \(\dots\)  ?


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X MP\(^*\) 2001
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:28
  1. Complétude : soit \((f_k)\) une suite d’éléments de \(E\) de Cauchy, \(f_k(z) = \sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}z^n\). On a à \(k\) et \(n\) fixés, par convergence dominée : \[\dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }f_k(e^{i\theta })e^{-in\theta }\,d \theta = \lim_{r\to 1^-}\dfrac1{2\pi r^n }\int _{\theta =0}^{2\pi }f_k(re^{i\theta })e^{-in\theta }\,d \theta = a_{n,k}.\] La suite \((f_k)\) converge uniformément sur \(\overline D\) vers une fonction \(\varphi :{\overline D}\to \mathbb{C}\) continue. On note : \[a_n = \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\varphi (e^{i\theta })e^{-in\theta }\,d \theta = \lim_{k\to \infty } a_{n,k}.\] La suite \((a_n)\) est bornée, donc le rayon de convergence de \(\sum_{n\in \mathbb{N}}a_nz^n\) est supérieur ou égal à \(1\). Pour \(z\in D\) fixé on a alors : \[\begin{aligned} f_k(z) &= \sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}z^n = \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\Bigl(\sum_{n\in \mathbb{N}}f_k(e^{i\theta })e^{-in\theta }z^n \Bigr)\,d \theta = \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f_k(e^{i\theta })}{1-ze^{-i\theta }}\,d \theta \\ &\to _{k\to \infty }\dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{\varphi (e^{i\theta })}{1-ze^{-i\theta }}\,d \theta = \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\Bigl(\sum_{n\in \mathbb{N}}\varphi (e^{i\theta })e^{-in\theta }z^n \Bigr)\,d \theta = \sum_{n\in \mathbb{N}}a_nz^n \end{aligned}\] ce qui prouve que \(\varphi \in E\). Enfin on a \(\left\|f_k-\varphi \right\| \to _{k\to \infty }0\) par convergence uniforme, d’où \(\varphi = \lim_{k\to \infty }f_k\) dans \(E\).

  2. Soit \(f\in E\) et \(f_n(z) = f\Bigl(\dfrac{nz}{n+1}\Bigr)\). Comme \(f\) est uniformément continue, \(f_n\) converge uniformément vers \(f\) sur \(\overline D\). Soit \(\varepsilon>0\) et \(n\) tel que \(\left\|f-f_n\right\|_\infty \leq \varepsilon\). Comme \(f_n\) est développable en série entière avec un rayon au moins égal à \(1+\dfrac1n\), son développement converge uniformément vers \(f_n\) sur \(\overline D\) donc il existe \(P\in \mathbb{C}[X]\) tel que \(\left\|f_n-P\right\|_\infty \leq \varepsilon\).


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Polynômes, Centrale 2013
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:28
  1. \(\int _{\theta =0}^{2\pi }f(re^{i\theta })e^{-in\theta }\,d \theta =\int _{\theta =0}^{2\pi }\sum_{k=0}^\infty a_kr^ne^{i(k-n)\theta }\,d \theta\). Pour tout \(\theta \in [0,2\pi ]\), \(|a_kr^n e^{i(k-n)\theta }|\leq |a_n|r^n\) qui est le terme général d’une série convergente. La série de fonctions (de la variable \(\theta\)) converge donc normalement sur \([0,2\pi ]\). On a donc \(\int _{\theta =0}^{2\pi }f(re^{i\theta })e^{-in\theta }\,d \theta =\sum_{k=0}^\infty a_kr^k\int _{\theta =0}^{2\pi }e^{i(k-n)\theta }\,d \theta =2\pi a_nr^n\).

    1. On a, pour tout \(n\), \(2\pi |a_n|r^n\leq \int _{\theta =0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|\,d \theta \leq 2\pi \left\|f\right\|_\infty\). On divise par \(r^n\) et on fait tendre \(r\) vers l’infini. Il vient \(a_n=0\) pour tout \(n\geq 1\) donc \(f\) est constante.

    2. On pose \(P(z)=\sum_{k=0}^db_kz^k\). On a, pour tous \(r\) et \(n\), \(|a_n|r^n\leq \sum_{k=0}^d|b_k|r^k\). Pour \(n\geq d+1\) on divise par \(r^n\) et on fait tendre \(r\) vers \(+\infty\). Il vient \(a_n=0\) et \(f\) est un polynôme.

    1. \(\int _{\theta =0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^2 d \theta =\int _{\theta =0}^{2\pi }\sum_{n,p\in \mathbb{N}}a_n\overline{a_p}r^{n+p}e^{i(n-p)\theta }\,d \theta =2\pi \sum_{n\in \mathbb{N}}|a_n|^2 r^{2n}\).

    2. Soit \(M\) tel que, pour tout \(|z|<1\), \(|f(z)|\leq M\).

      Pour tout \(n\), pour tout \(r<1\) on a \(\sum_{k=0}^n a_k^2 r^{2k}\leq \sum_{k=0}^\infty a_k^2 r^{2k}\leq M^2\). On peut faire tendre \(r\) vers \(1\) et en déduire que, pour tout \(n\), \(\sum_{k=0}^na_k^2 \leq M^2\). On en déduit que la série \(\sum a_k^2\) converge. En particulier la suite \(a_k\) converge vers \(0\). Or c’est une suite d’entiers donc elle est nulle à partir d’un certain rang, ce qui montre que \(f\) est un polynôme.


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