Analycité

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Analycité

Série à valeurs réelles **

13 mars 2024 22:31 — Par Michel Quercia

Soit \(f(z) = \sum a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\) telle que pour tout \(z\in \overset{\circ}{D} (0,R)\) on a \(f(z)\in \mathbb{R}\). Montrer que \(f\) est constante.


[ID: 3652] [Date de publication: 13 mars 2024 22:31] [Catégorie(s): Analycité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Formules de Cauchy **

13 mars 2024 22:31 — Par Michel Quercia

Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{C}\) contenant \(0\) et \(f:U\to \mathbb{C}\) analytique. On note \(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) le développement en série entière de \(f\) en \(0\), \(R\) son rayon et \(d\) la distance de \(0\) à \(\mathop{\rm fr}\nolimits(U)\) (\(d=+\infty\) si \(U=\mathbb{C}\)).

  1. Montrer, pour \(0<r<\min(R,d)\) et \(n\in \mathbb{N}\) : \(a_n = \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{r^n e^{in\theta }}\,d \theta\).

  3. Pour \(0<r<d\) et \(|z|<r\) on pose \(g(z)= \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{re^{i\theta }-z}re^{i\theta }\,d \theta\). Montrer que \(g\) est la somme d’une série entière de rayon supérieur ou égal à \(r\) et que \(g\) coïncide avec \(f\) sur \(\overset{\circ}{D} (0,r)\).

    Applications :

  4. \(R\geq d\).

  5. Si \(U=\mathbb{C}\) et \(f\) est bornée alors \(f\) est constante (thm de Liouville).

  6. Si \(P\in \mathbb{C}[X]\) ne s’annule pas alors \(P\) est constant (thm de d’Alembert-Gauss).

  7. Si \((f_n)\) est une suite de fonctions analytiques convergeant uniformément sur \(U\) vers une fonction \(f\) alors \(f\) est analytique sur \(U\) (thm de Weierstrass, comparer avec le cas réel).

  8. La composée de deux fonctions analytiques est analytique.



[ID: 3653] [Date de publication: 13 mars 2024 22:31] [Catégorie(s): Analycité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Formules de Cauchy
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:31

  1. calcul.

  2. Soit \(0<r_0<d\) et \(R(\theta )\) le rayon de la série de Taylor de \(f\) en \(r_0e^{i\theta }\). Le cercle de centre \(0\) et de rayon \(r_0\) est recouvert par les disques ouverts \(D(r_0e^{i\theta }, \frac12R(\theta ))\), \(\theta\) variant de \(0\) à \(2\pi\), donc on peut en extraire un recouvrement fini ; soit \(\rho\) le rayon minimum des disques extraits. Alors pour \(0\leq \theta \leq 2\pi\) on a \(R(\theta ) \geq \rho\) (cf. analycité de la somme d’une série entière dans le disque ouvert de convergence). D’après la première question on a : \(\Bigl|\dfrac{f^{(n)}(r_0e^{i\theta })}{n!}\Bigr| \leq \dfrac M{\rho ^n }\) où \(M\) majore \(|f|\) sur \(\overline D(0,r_0+\rho )\) d’où pour \(|r-r_0|<\rho\) : \[\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{e^{in\theta }}\,d \theta = \int _{\theta =0}^{2\pi } \sum_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(r_0e^{i\theta })}{k!} (r-r_0)^k e^{i(k-n)\theta }\,d \theta = \sum_{k=0}^\infty (r-r_0)^k \int _{\theta =0}^{2\pi } \dfrac{f^{(k)}(r_0e^{i\theta })}{k!} e^{i(k-n)\theta }\,d \theta .\] ce qui démontre l’analycité de \(\varphi = r\mapsto \int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{e^{in\theta }}\,d \theta\) sur \(]0,d[\). Enfin, \(\varphi (r) = a_nr^n\) au voisinage de \(0\) d’où \(\varphi (r) = a_nr^n\) sur \([0,d[\) par prolongement analytique.

  3. \(g(z)= \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{re^{i\theta }-z}re^{i\theta }\,d \theta = \sum_{k=0}^\infty \dfrac{z^k}{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{r^ke^{ik\theta }}\,d \theta = \sum_{k=0}^\infty a_kz^k\).

    Le rayon est au moins égal à \(r\) car \(f\) est bornée sur \(\overline D(0,r)\).

    Applications :

  4. \(R\geq d\).résulte de 3.

  5. D’après 1, \(|a_n| \leq \left\|f\right\|_\infty /r^n\) pour tout \(r>0\) donc \(a_n = 0\) si \(n\geq 1\).

  6. \(1/P\) est analytique bornée sur \(\mathbb{C}\).

  7. On peut passer à la limite uniforme (ou dominée) dans 3.

  8. \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n \Rightarrow f\circ g(z) = \sum_{n=0}^\infty a_ng^n (z)\) et il y a convergence localement uniforme.


Formule des résidus **

13 mars 2024 22:33 — Par Michel Quercia

Soit \(P\in \mathbb{C}[X]\) ayant pour racines \(z_1,\dots,z_k\) de multiplicités \(m_1,\dots,m_k\) et \(r\in \mathbb{R}^{+*}\setminus \{ |z_1|,\dots,|z_k|\}\).

Montrer : \(\dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{P'(re^{i\theta })}{P(re^{i\theta })}re^{i\theta }\,d \theta = \sum_{|z_j|<r} m_j\).


[ID: 3655] [Date de publication: 13 mars 2024 22:33] [Catégorie(s): Analycité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Croissance de \(f\) en fonction des coefficients **

13 mars 2024 22:33 — Par Michel Quercia


[ID: 3656] [Date de publication: 13 mars 2024 22:33] [Catégorie(s): Analycité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Croissance de \(f\) en fonction des coefficients
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:33

\(2\Rightarrow 1\) : évident.

\(1\Rightarrow 2\) : Soit \(a > 0\) et \(M = \sup(|f(z)|e^{-a|z|})\).

\(a_n = \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi } \dfrac{f(Re^{i\theta })}{R^n e^{in\theta }}\,d\theta \Rightarrow |a_n| \leq M\dfrac{e^{aR}}{R^n } \leq M\inf\limits_{R>0}\dfrac{e^{aR}}{R^n } = M\left(\dfrac{ea}n\right)^n\).

Donc \(\root n\of{n!\,\left\|a_n\right\|}\leq \root n\of{n!}\dfrac{ea}n \to _{n\to \infty }a\). CQFD


Centrale MP 2002 ** Centrales MP

13 mars 2024 22:38 — Par Michel Quercia

  1. Développer en série entière \(f\) : \(z\mapsto z(1-z)^{-2}\). Montrer que \(f\) est injective sur \(\overset{\circ}{D} (0,1)\).

  2. Soit \(f(z)=z+\sum_{n=2}^{+\infty } a_nz^n\) la somme d’une série entière de rayon de convergence au moins \(1\) à coefficients réels. On suppose \(f\) injective sur \(\overset{\circ}{D} (0,1)\) et on veut prouver : \(\forall n\geq 1\), \(|a_n|\leq n\).

    1. Montrer pour \(|z|<1\) que \(f(z)\in \mathbb{R}\Leftrightarrow z\in \mathbb{R}\) et en déduire : \(\mathop{\rm Im}\nolimits(z)\geq 0 \Rightarrow \mathop{\rm Im}\nolimits(f(z))\geq 0\).

    2. Pour \(0<r<1\) calculer \(\int _{t=0}^{\pi }\mathop{\rm Im}\nolimits(f(re^{it}))\sin nt\,d t\). En déduire \(|a_n|r^n \leq n|a_1|r\) et conclure.


[ID: 3658] [Date de publication: 13 mars 2024 22:38] [Catégorie(s): Analycité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Centrale MP 2002
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:38

  1. \(\dfrac z{(1-z)^2 } = \sum_{n=1}^\infty nz^n\) (\(R=1\)).

    Pour \(z,t\in \overset{\circ}{D} (0,1)\) on a \(\dfrac{z}{(1-z)^2 } - \dfrac{t}{(1-t)^2 } = \dfrac{(z-t)(1-zt)}{(1-z)^2 (1-t)^2 }\), quantité nulle si et seulement si \(z=t\), d’où l’injectivité de \(z\mapsto \dfrac z{(1-z)^2 }\).

    1. \(f(z)\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(z) = \overline{f(z)} = f(\overline z) \Leftrightarrow z=\overline z \Leftrightarrow z\in \mathbb{R}\).

      Par injectivité, on en déduit que \(\mathop{\rm Im}\nolimits(f(z))\) garde un signe constant sur chaque demi-disque limité par \(]-1,1[\), et comme \(f(z) = z + o_{z\to 0}(z)\), ce signe est celui de \(\mathop{\rm Im}\nolimits z\).

    2. \(\int _{t=0}^{\pi }\mathop{\rm Im}\nolimits(f(re^{it}))\sin nt\,d t = \dfrac{\pi a_nr^n }2\). On a \(|\sin(nt)|\leq n\sin(t)\) pour \(0\leq t\leq \pi\) par récurrence, donc \(\dfrac{\pi |a_n|r^n }2 \leq n\int _{t=0}^{\pi }\mathop{\rm Im}\nolimits(f(re^{it}))\sin t\,d t = \dfrac{n\pi a_1r}2\). On en déduit \(|a_n|r^n \leq n|a_1|r\) et on conclut \(|a_n|\leq n\) en faisant tendre \(r\) vers \(1\).


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