Corps

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Corps

Exercice 1536 *

18 novembre 2022 15:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On définit sur \(\mathbb{R}\) les deux lois \(\oplus\) et \(\otimes\) par \(x \oplus y = x + y-1\) et \(x \otimes y = x + y-xy\). Montrer que \((\mathbb{R}, \oplus, \otimes)\) est un corps.


[ID: 3315] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:49] [Catégorie(s): Corps ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 1536
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:49

On pose \(f(u) = 1 - u\). On a \(f(x \oplus y) = f(x) + f(y)\) et \(f(x \otimes y) = f(x) + f(y)\). De ce fait \((\mathbb{R},\oplus,\otimes)\) est un corps et \(f\) réalise un isomorphisme de corps entre \((\mathbb{R},\oplus,\otimes)\) et \((\mathbb{R},+,\times)\).


Exercice 1537 *

18 novembre 2022 15:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour \(\left(a,b\right)\in \mathbb{R}^2\), on pose : \[a\top b=a+b-1 \quad \textrm{ et} \quad a\star b = ab-a-b+2\] Montrer que \(\left(\mathbb{R},\top,\star\right)\) est un corps.


[ID: 3317] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:49] [Catégorie(s): Corps ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 1537
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:49

On pose \(g(x) = x - 1\) donc \(g^{-1}(y) = y+1\). On a \(a\top b=a+b-1=(a-1)+(b-1)+1 = g^{-1}(g(a)+g(b))\) et \(a\star b = (a-1)(b-1)+1 = g^{-1}(g(a).g(b))\).


Exercice 1538

18 novembre 2022 15:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\mathbb K\) et \(\mathbb L\) deux corps et \(f\! : \mathbb K \mapsto \mathbb L\) un morphisme de corps. Démontrer que \(f\) est injectif.


[ID: 3319] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:49] [Catégorie(s): Corps ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 1538
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:49

Soit \(x\neq0_{\mathbb K}\). On a \(f(x).f(x^{-1}) = f(1_{\mathbb K}) = 1_{\mathbb L}\). L’élément \(f(x)\) est inversible dans \(\mathbb L\), donc il est différent de \(0_{\mathbb L}\). Par contraposée, si \(f(x) = 0_{\mathbb L}\) alors \(x = 0_{\mathbb K}\). Le noyau de \(f\) est réduit à \(0_{\mathbb K}\). Donc \(f\) est injectif.


Corps à \(4\) éléments ***

18 novembre 2022 15:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On se propose de construire un corps \((\mathbb F_4,+,\times)\) sur un ensemble à quatre éléments :\(\{0,1,x,y\}\).

  1. En calculant \(1\times x\times y\) de deux façons différentes, démontrer que \(x^3 = 1\).

  2. Démontrer que nécessairement \(x^2 = y\) et que \(y^2 = x\).

  3. En déduire la table du groupe \((\mathbb F_4^\star,\times)\).

  4. Démontrer que nécessairement \(1+1+1+1 = 0\).

  5. En déduire que \(1+1 = x+x = y+y = 0\).

  6. En déduire la table du groupe \((\mathbb F_4,+)\).

  7. Démontrer que l’on a bien construit un corps à quatre éléments.


[ID: 3321] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:49] [Catégorie(s): Corps ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Corps à \(4\) éléments
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:49

  1. Comme l’application \(\tau_x\) de \(\mathbb F_4^\star\) dans lui-même, définie par \(\tau_x(t) = x\times t\) est une bijection, de bijection réciproque \(\tau_{x^{-1}}\) on a \[1\times x\times y = \tau_x(1)\times \tau_x(x)\times \tau_x(y) = (x\times 1)\times (x\times x)\times (x\times y) = x^3\times(1\times x\times y),\] on en déduit, en simplifiant par \(1\times x\times y\), que \(x^3 = 1\).

  2. Comme \(x\neq 0\), on a \(x^\neq 0\) puisqu’un corps est intègre. On a aussi \(x^2\neq x\). En effet, sinon on aurait \((x-1)\times x = 0\) d’où \(x=1\) ou \(x=0\), absurde. Supposons \(x^2 = 1\). On aurait alors \(x^3 = x\) en contradiction avec la question précédente. Donc \(x^2=y\). Pour les mêmes raisons, \(y^2 = x\).

  3. \(\times\) \(1\) \(x\) \(y\)
    \(1\) \(1\) \(x\) \(y\)
    \(x\) \(x\) \(y\) \(1\)
    \(y\) \(y\) \(1\) \(x\)

    Remarque : Un argument plus savant aurait été : il n’existe qu’une seule loi de groupe possible sur un ensemble à trois éléments.

  4. Cette fois on calcule \[S = 0+1+x+y = (0+1)+(1+1)+(1+x)+(1+y) = 1+1+1+1 + S,\] d’où \(1+1+1+1 = 0\).

  5. On a \(1+1\neq 1\). Supposons \(1+1 = x\), en élevant au carré, on aurait \(1+1+1+1 = x^2 = y\) soit \(y=0\), absurde. De même \(1+1 = y\) n’est pas possible. Il ne reste qu’une seule possibilité : \(1+1=0\). En multipliant cette égalité par \(x\) puis par \(y\), on obtient \(x+x = 0\) et \(y+y = 0\).

  6. On a \(1+0 = 1\) donc \(1+x\neq 1\), on a \(1+1 = 0\) donc \(1+x\neq 0\) on a \(1\neq 0\) donc \(1+x\neq x\). Il reste une seule possibilité pour \(1+x\), donc on a nécessairement \(1+x = y\) et en ajoutant \(1\) aux deux membres, \(x = 1+y\). On a donc la table du groupe \((\mathbb F_4,+)\).

    \(+\) \(0\) \(1\) \(x\) \(y\)
    \(0\) \(0\) \(1\) \(x\) \(y\)
    \(1\) \(1\) \(0\) \(y\) \(x\)
    \(x\) \(x\) \(y\) \(0\) \(1\)
    \(y\) \(y\) \(x\) \(1\) \(0\)

  7. Il reste à vérifier la distributivité, \((a+b)\times c = a\times c + b\times c\), ce qui donne a priori \(4^3 = 64\) vérifications. Les cas où \(c=0\) ou \(c=1\) sont évidents, même chose si \(a=0\) ou \(b=0\) ou \(a=b\). Il reste donc trois possibilités pour \(a\), deux pour \(b\) donc six pour \((a,b)\). La commutativité de \(+\) divise le nombre de cas par deux. Comme il y a deux choix pour \(c\), il y a au total six vérifications à effectuer.

    • \((1+x)\times x = y \times x = 1\) et \(1 \times x + x \times x = x + y = 1\).

    • \((1+x)\times y = y \times y = x\) et \(1 \times y + x \times y = y + 1 = x\).

    • \((1+y)\times x = x \times x = y\) et \(1 \times x + y \times x = x + 1 = y\).

    • \((1+y)\times y = x \times y = 1\) et \(1 \times y + y \times y = y + x = 1\).

    • \((x+y)\times x = 1 \times x = x\) et \(x \times x + y \times x = y + 1 = x\).

    • \((x+y)\times y = 1 \times y = y\) et \(x \times y + y \times y = 1 + x = y\).


Corps \(\mathbb F_4\) **

12 mars 2024 09:19 — Par Michel Quercia

Chercher les structures de corps à quatre éléments.


[ID: 3454] [Date de publication: 12 mars 2024 09:19] [Catégorie(s): Corps ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Corps \(\mathbb F_4\)
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 09:19

\(\mathbb{K}= \{ 0,1,a,b\}\) et \(\{ 1,a,b\}\) est un groupe multiplicatif d’où \(b=a^2\), \(a^3=1\).

\(\begin{array}{c|cccc} + &0 &1 &a &a^2 \\\hline 0 &0 &1 &a &a^2 \\ 1 &1 &0 &a^2 &a \\ a &a &a^2 &0 &1 \\ a^2 &a^2 &a &1 &0 \\ \end{array}\) \(\begin{array}{c|ccc} \times &1 &a &a^2 \\\hline 1 &1 &a &a^2 \\ a &a &a^2 &1 \\ a^2 &a^2 &1 &a \\ \end{array}\)


Groupe multiplicatif d’un corps fini **

12 mars 2024 09:19 — Par Michel Quercia

Soit \(\mathbb{K}\) un corps fini. Pour \(x\in \mathbb{K}^*\) on note \(O(x)\) l’ordre multiplicatif de \(x\) et \(n\) le ppcm des ordres des éléments de \(\mathbb{K}^*\).

  1. Soient \(a,b\in \mathbb{N}^*\). Montrer qu’il existe \(a',b'\in \mathbb{N}^*\) tels que \(a'|a\), \(b'|b\), \(a'\wedge b' = 1\) et \(a'b' = a\vee b\).

  2. Soient \(x,y\in \mathbb{K}^*\) d’ordres \(a\) et \(b\). Montrer qu’il existe \(u,v\) entiers tels que \(O(x^uy^v) = a\vee b\). En déduire qu’il existe \(z\in \mathbb{K}^*\) d’ordre \(n\).

  3. Montrer que \(n=\mathop{\rm card}\nolimits(\mathbb{K}^*)\) (ceci prouve que \(\mathbb{K}^*\) est cyclique).


[ID: 3456] [Date de publication: 12 mars 2024 09:19] [Catégorie(s): Corps ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Groupe multiplicatif d’un corps fini **

12 mars 2024 09:19 — Par Michel Quercia

Soit \(\mathbb{K}\) un corps fini de cardinal \(n\). Si \(a,b\in \mathbb{N}\) sont tels que \(ab = n-1\), on considère l’application \[f_a : \mathbb{K}^* \rightarrow \mathbb{K}^*, x \mapsto x^a\] (remarquer que \(f_a\) est un morphisme de groupe). On note \(N_a = \mathop{\rm card}\nolimits(\mathop{\rm Ker}\nolimits f_a)\).

  1. Expliquer pourquoi \(N_a \leq a\).

  2. Montrer que \(\mathop{\rm Im}\nolimits(f_a) \subset \mathop{\rm Ker}\nolimits f_b\). En déduire que \(N_a = a\) et \(N_b=b\).

  3. Soit \(\varphi\) l’indicateur d’Euler. Montrer par récurrence sur \(a\), diviseur de \(n-1\), que le nombre d’éléments de \(\mathbb{K}^*\) d’ordre \(a\) est égal à \(\varphi (a)\) (ceci prouve que \(\mathbb{K}^*\) est cyclique).


[ID: 3457] [Date de publication: 12 mars 2024 09:19] [Catégorie(s): Corps ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Théorème de Wedderburn **

12 mars 2024 09:19 — Par Michel Quercia

On dit qu’un anneau \(A\) est un anneau à division si \(A^*=A\setminus \{ 0\}\). L’objet de l’exercice est de démontrer le théorème de Wedderburn : tout anneau à division fini est commutatif (c’est donc un corps fini).

  1. Polynômes cyclotomiques

    Pour \(n\in \mathbb{N}^*\), soit \(\mathcal P _n\) l’ensemble des racines primitives \(n\)-èmes de l’unité dans \(\mathbb{C}\) et \(\Phi_n(X)=\prod _{\zeta \in \mathcal P _n}(X-\zeta )\) (\(\mathcal P _{1}=\{ 1\}\), \(\Phi_{1}(X)=X-1\))

    1. Démontrer : \(X^n -1 = \prod _{d|n} \Phi_d(X)\). En déduire que \(\Phi_n\in \mathbb{Z}[X]\).

    2. Montrer que si \(m\) divise \(n\) et \(m<n\) alors \(\Phi_n(X)\) divise \((X^n -1)/(X^m-1)\) dans \(\mathbb{Z}[X]\).

    3. Justifier : \(\forall p\in \mathbb{N}^*\), \(|\Phi_n(p)|\geq (p-1)^{\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal P _n)}\) avec égalité si et seulement si \(n=1\).

  2. Cardinal d’un anneau à division

    Soient \(A\) un anneau fini à division et \(B\) un sous-anneau de \(A\). On note \(\alpha ,\beta\) les cardinaux de \(A,B\).

    1. Montrer que \(B\) est aussi un anneau à division.

    2. Pour \(x\in A\), on note \(Bx=\{ bx \text{ tq }b\in B\}\) et on considère une famille \((x_{1},\dots,x_n)\) de cardinal minimal telle que \(A=Bx_{1}+\dots+Bx_n\). Justifier l’existence d’une telle famille et montrer que l’application \[\Phi : Bx_{1}\times \dots\times Bx_n \rightarrow A, (y_{1},\dots,y_n) \mapsto y_{1}+\dots+y_n\] est une bijection.

    3. En déduire que \(\alpha\) est une puissance de \(\beta\).

  3. Théorème de Wedderburn

    Soit \(A\) un anneau à division, \(B\) son centre et \(\alpha ,\beta\) les cardinaux de \(A,B\). Pour \(a\in A^*\), on note \(\mathcal C _a\) le commutant de \(a\) et \(\mathcal O _a=\{ xax^{-1} \text{ tq }x\in A^*\}\).

    1. Montrer que \(\mathcal C _a\) est un anneau à division et qu’il existe des entiers \(m,n\) tels que : \(\alpha =\beta ^n\), \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal C _a)=\beta ^m\) et \(m\) divise \(n\).

    2. Montrer que \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal O _a)=\mathop{\rm card}\nolimits(A^*)/\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal C _a^*)\). En déduire que si \(a\not\in B\) alors \(\Phi_n(\beta )\) divise \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal O _a)\).

    3. Pour \(a,b\in A\), montrer que \(\mathcal O _a\) et \(\mathcal O _b\) sont soit disjoints, soit égaux. En déduire qu’il existe une partition de \(A^*\) de la forme \(A^*=\mathcal O _{a_{1}}\sqcup \dots\sqcup \mathcal O _{a_k}\).

    4. Montrer que \(\Phi_n(\beta )\) divise \(\mathop{\rm card}\nolimits(B^*)=\beta -1\) puis que \(n=1\) (et donc \(A=B\), ce qui prouve la commutativité de \(A\)).


[ID: 3458] [Date de publication: 12 mars 2024 09:19] [Catégorie(s): Corps ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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