Anneaux

Exercices du dossier Anneaux

Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 1540
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
    • Les deux lois sont internes.

    • L’addition est commutative, associative, admet \((0,0)\) comme élément neutre et \((a,b)\) admet \((-a,-b)\) comme opposé.

    • Associativité de la loi \(\star\) : \(((a,b)\star(c,d))\star (f,g) = (ac,ad+bc)\star (f,g) = (acf,acg+(ad+bc)f) = (acf,acg+adf+bcf)\) et \((a,b)\star((c,d)\star (f,g)) = (a,b)\star (cf,cg+df) = (acf,a(cg+df)+bcf) = (acf,acg+adf+bcf)\), ce qu’il fallait vérifier.

    • La loi \(\star\) est commutative, et admet \((1,0)\) comme élément neutre.

    • Distributivité : \((a,b)\star((c,d)+(f,g)) = (a,b)\star(c+f,d+g) = (a(c+f),a(d+g)+b(c+f))=(ac+af, (ad+bc)+(ag+bf))= (a,b)\star(c,d) + (a,b)\star(g,f)\), ce qu’il fallait vérifier.

    Donc \((\mathbb Z^2,+,\star)\) est un anneau commutatif.

  1. On vérifie facilement que \(A\) est un sous-groupe de \(\left(\mathbb{Z}^2,+\right)\), que \(A\) est stable pour \(\star\) et que \(\left(1,0\right)\in A\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Anneau de Boole
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
  1. Pour tout \(x,y\in A\), on a \(x + y = (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x + xy + yx + y\). En soustrayant \(x+y\) aux deux membres, on a bien \(xy + yx = 0\).
    On prend \(y=x\), on obtient \(x^2 + x^2 = 0\) soit \(x + x = 0\), ceci quel que soit \(x\in A\).
    On a \(xy + yx = 0\), d’où en ajoutant \(xy\) à chaque membre, \(xy + xy + yx = xy\) d’où \(0 + yx = xy\) ce qu’il fallait vérifier.

  2. Réflexive : On a \(x^2 = x\) donc \(x\curlyeqprec x\).
    Antisymétrique : On suppose \(x \curlyeqprec y\) et \(y \curlyeqprec x\). On a donc \(yx = x\) et \(xy = y\). Comme la multiplication est commutative on en déduit \(x = y\).
    Transitive : On suppose \(x \curlyeqprec y\) et \(y \curlyeqprec z\). On a donc \(yx = x\) et \(zy = y\). On en déduit \(zx = z(yx) = (zy)x = yx = x\), soit \(x \curlyeqprec z\).
    Donc \(\curlyeqprec\) est une relation d’ordre.

  3. Soit \(x,y\in A\). On a \(xy(x+y) = x^2y + xy^2 = xy + xy = 0_A\).
    Supposons \(A\) intègre. Soit \(x\) et \(y\) deux éléments non nuls. On a, d’après la question précédente, \(x+y = 0\), donc en additionnant \(x\) à chaque membre, \(x + x + y = x\), et comme \(x+ x = 0_A\), \(y =x\). Il n’y a donc qu’un seul élément non nul au plus. Ce qu’il fallait démontrer.


Exercice 1542 *

18 novembre 2022 16:00 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((A, +, \times)\) un anneau et \[C = \left\{ a \in A~|~ \forall x \in A, xa = ax \right\}\] Montrer que \(C\) est un sous-anneau de \(A\).



[ID: 3327] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 1542
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00

Soient \(a,b\in C\), soit \(x\in A\), on a \(ax = xa\) et \(bx = xb\). On en déduit : \((a+b)x = ax + bx = xa + xb= x(a+b)\) et ce pour tout \(x\in A\). Donc \(a+b\in C\). De même, \((ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab)\) et ce pour tout \(x\in A\). Donc \(ab\in C\). Comme de plus \(1\in C\), \(C\) est bien un sous-anneau de \(A\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 1543
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
  1. Si \(a^n = 0\), alors \((1-a)\left( 1 + a + \ldots + a^{n-1}\right) = \left( 1 + a + \ldots + a^{n-1}\right)(1-a) = 1 - a^n = 1\). Donc \(1 + a + \ldots + a^{n-1}\) est l’inverse de \(1-a\).

  2. Puisque \(a\) et \(b\) commutent, on a \((ab)^n = a^nb^n\). Si \(a^n = 0\), alors on a \((ab)^n = 0\), ce qu’il fallait vérifier.
    Puisque \(a\) et \(b\) commutent, on peut appliquer la formule du binôme : \((a+b)^p = \displaystyle\sum_{k=0}^p \binom{p}{k} a^k b^{p-k}\). Si \(a^n = 0\) et \(b^m = 0\), alors en prenant \(p = n+m\), pour tout entier \(k\) variant de \(0\) à \(p\), on a \(k \geqslant n\) - auquel cas \(a^k =0\) - ou \(p-k \geqslant m\) - et dans ce cas \(b^{p-k}=0\). Tous les termes \(\dbinom{p}{k} a^k b^{p-k}\) sont donc nuls et \((a+b)^p = 0\), ce qu’il fallait vérifier.

  3. Montrer par récurrence que \[\forall x\in A, \quad u^p(x)= \sum_{k=0}^p \dbinom{p}{k} (-1)^k a^{p-k}xa^k.\]

  4. Si l’on choisit alors \(p\geqslant 2n-1\), pour \(k\geqslant n\), \(a^{p-k}xa^k=0\), et si \(k\leqslant n-1\), alors \(p-k \geqslant p-n+1 \geqslant n\) et alors on a également \(a^{p-k}xa^k =0\). Finalement, tous les termes de la somme sont nuls, et ceci quel que soit \(x\in A\). Donc \(u^p=0\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 1544
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
  1. On a \((1-ab)^{-1}=1+ab+abab+\dots + \underbrace{abab\dots ab}_{n-1 \textrm{ facteurs } ab}\) si \(ab\) est nilpotent d’indice \(n\);

  2. On a aussi \((1-ba)^{-1}=1+ba+baba+\dots + \underbrace{baba\dots ba }_{p-1 \textrm{ facteurs } ba}\) si \(ba\) est nilpotent d’indice \(p\). Donc, si \(ab\) est nilpotent d’indice \(n\) et si \(ba\) est nilpotent d’indice \(p\), on peut écrire les formules précédentes pour \(q=\max(n,p)\) : \[(1-ba)^{-1}=1+b(1+ ab+abab+\dots +abab\dots ab)a = 1+b(1-ab)^{-1}a\]

  3. Posons \(c=(1-ab)^{-1}\). Montrons que \((1-ba)\) est inversible et que \(\boxed{ (1-ba)^{-1}=1+bca}\). Pour cela, calculons \[(1-ba)(1+bca)=1-ba+bca-babca = 1+b[-1+(1-ab)c]a=1+b\times 0 \times a = 1\] \[(1+bca)(1-ba)=1-ba+bca-bcaba = 1+b[-1+c(1-ab)]a = 1\]


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Algorithme d’exponentiation rapide
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
  1. Il faut en calculer \(n-1\).

  2. Il faut en calculer \(3\) : une pour \(b\), une pour \(c\) une pour \(d\).

  3. On a \(T(n) = T\left( \left\lfloor {\scriptstyle n\over\scriptstyle 2} \right\rfloor\right)+1\) si \(n\) est pair et \(T(n) = T\left( \left\lfloor {\scriptstyle n\over\scriptstyle 2} \right\rfloor\right)+2\) si \(n\) est impair.

  4. On vérifie que \(T(2^p) = p\).

  5. Un peu moins de \(0,1\) seconde avec 1. Avec 3. on écrit en binaire \(100 000 = (11000011010100000)_2\) autrement dit \(10^5 = 2^5+2^7+2^9+2^{10}+2^{15}+2^{16}\). On a donc \(16+6-1=21\) opérations donc \(2,1\times10^{-5}\) seconde avec 3.


Sous-anneaux et morphismes de \((\mathbb{Z} , + , \times)\) **

18 novembre 2022 16:00 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Trouver tous les sous-anneaux de \((\mathbb{Z} , + , \times)\).

  2. Trouver tous les morphismes d’anneaux de \(\mathbb{Z}\) vers \(\mathbb{Z}\).



[ID: 3335] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Sous-anneaux et morphismes de \((\mathbb{Z} , + , \times)\)
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
  1. Soit \(A'\) un sous-anneau de \(\mathbb{Z}\). Si \(1\in A'\), montrer par récurrence que \(\forall n\in \mathbb N\), \(n\in A'\). Ensuite que \(A'=\mathbb{Z}\).

  2. De même, soit \(f\) un morphisme de \(\mathbb{Z}\). Si \(f(1)=1\), montrer par récurrence que \(\forall n\in \mathbb N\), \(f(n)=n\) puis que \(f=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 2\right]\)
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00

La clé de la solution réside dans la notation \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\). Soit \(A = \left\lbrace x\in\mathbb{R},\,\exists (a,b)\in\mathbb{Z}^2, x = a + b\sqrt2 \right\rbrace\). On a l’unicité de la notation \(x = a + b\sqrt2\) pour \(x\in A\) et \((a,b)\in\mathbb{Z}^2\) puisque \(\sqrt2 \notin\mathbb{Q}\). Donc \(\Phi~: x = a + b\sqrt2 \in A \longmapsto (a,b)\in\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) est une bijection qui vérifie \(\Phi(zz') = \Phi(z)\times\Phi(z')\). Donnons une démonstration indépendante de cette remarque :

  1. Vérifions que la loi \(\times\) est associative. Elle est interne, c’est évident, et commutative. On a \(((a,a')\times (b,b'))\times (c,c')=(ab+2a'b',ab'+a'b)\times (c,c') = ((ab+2a'b')c+(ab'+a'b)c' , (ab+2a'b')c'+(ab'+a'b)c ) = (abc + 2a'b'c + 2a'bc'+2ab'c',abc'+ab'c+a'bc + 2a'b'c')\). Sous cette forme on voit bien que la loi \(\times\) est associative. \((1,0)\) est élément neutre pour \(\times\). Distributivité : \(((a,a')+(b,b'))\times (c,c') = (a+b,a'+b')\times (c,c') = ((a+b)c + 2(a'+b')c', (a+b)c'+(a'+b')c) = ((ac+2a'c') + (bc+2b'c') , (ac'+a'c) + (bc'+bc')) = (a,a')\times (c,c')+(b,b')\times (c,c')\).

  2. \(\mathbb{Z}{'}\) est stable pour l’addition, la multiplication et contient l’élément neutre \((1,0)\).

  3. On a \((a,a') = (a,0)+(0,a') = a + (0,a') = a + a'(0,1)\).

  4. La remarque prélimininaire nous incite à considérer \(x_1 = (0,1)\) et \(x_2 = (0,-1)\). Ce sont deux racines de \(X^2=2\).


Exercice 1548 **

18 novembre 2022 16:00 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((A,+,\times)\) un anneau commutatif et \(f:A\to \mathbb{R}_{+}\) une application vérifiant: \(\forall (x,y)\in A^{2}\), \[f(x+y)\leqslant\sup( f(x),f(y))\] \[f(x\times y)=f(x)f(y)\] \[f(x)=0 \Longleftrightarrow x=0_A\] Montrer que \(B=f^{-1}([0,1])\) est un sous-anneau de \(A\).



[ID: 3339] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 1548
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
  1. \(B\) est non-vide puisque \(0_A\in B\).

  2. Puisque \(f(1_A^2)=f(1_A)^2\) et que \(f\) est à valeurs dans \(\mathbb{R}_+\), on en déduit que \(f(1_A)=1\).

  3. Puisque \(1=f((-1_A)\times (-1_A))=f(-1_A)^2\), on en déduit que \(f(-1_A)=1\).

  4. Soient \((x,y)\in B^2\). Puisque \(f(x,y)\leqslant\sup(f(x),f(y))\leqslant 1\), \((x+y)\in B\). Donc \(B\) est stable pour \(+\).

  5. Soit \(x\in B\). Puisque \(f(-x)=f(-1_A\times x)=f(x)\), on en déduit que \(x\in B\Rightarrow -x\in B\). On a donc montré que \((B,+)\) était un sous-groupe de \((A,+)\).

  6. Soit \((x,y)\in B^2\). Alors \(f(x\times y)=f(x)f(y)\leqslant 1\) et donc \(x\times y\in B\). Donc \(B\) est stable pour \(\times\).

Donc \(B\) est un sous-anneau de \(A\).


Exercice 1549 **

18 novembre 2022 16:00 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((A,+,\times)\) un anneau. Soient \((a,b)\in A^2\) tels que \[ab+ba=1 \textrm{ et } a^2b+ba^2=a\]

  1. Montrer que \(a^2b=ba^2\) et que \(aba+aba=a\).

  2. Montrer que \(a\) est inversible et que son inverse est \(b+b\).



[ID: 3341] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 1549
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
  1. En multipliant \(ab+ba=1\) à gauche par \(a\) : \(aab+aba=a=aab+baa\) d’où \(aba = baa\). De même en multipliant à droite cette fois : \(aba+baa = a= aab+baa\) d’où \(aba=aab\). On en déduit \(baa = aba = aab\) et donc l’égalité \(a^2b+ba^2=a\) peut s’écrire \(aba+aba=a\).

  2. En multipliant \(a^2b+ba^2=a\) à gauche par \(b\) : \(ab = aabb+baab = (baa)b+baab = b(aab)+b(aab)=b(aba)+b(aba)=b(aba+aba)=ba\). On déduit de \(ab+ba=1\) que \(ab+ab = a(b+b)=1\) et que \(ba+ba=(b+b)a=1\) ce qu’il fallait vérifier.


Exercice 1550 **

18 novembre 2022 16:00 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((A, +, \times)\) un anneau. On pose \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} A & \longrightarrow & A \\ a & \longmapsto & a^2 \end{array} \right.\] Montrer que si \(\varphi\) est un morphisme d’anneaux surjectif, alors \(A\) est commutatif.



[ID: 3343] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 1550
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00

L’application \(\varphi\) est un morphisme d’anneaux donc \(\varphi(a+b) = \varphi(a)+\varphi(b)\) ou encore \((a+b)^2 = a^2+b^2\) soit \(ab+ba=0\) et ce pour tous \(a,b\in A\). On a aussi \(\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)\) soit \((xy)^2 = x^2y^2\) autrement dit \(x^2y^2 = xyxy = x(-xy)y = -x^2y^2 = y^2x^2\). Soit \(a,b\in A\). Comme \(\varphi\) est surjectif, \(\exists x,y\in A, a = \varphi(x)\) et \(b = \varphi(y)\). La dernière égalité s’écrit \(ab = ba\) ce qu’il fallait vérifier.


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 1551
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
  1.  

    1. soit \(u \in A\). Si \(u = 0\), il suffit de prendre \(x = 0\). Si \(u\neq 0\), \(u\) est inversible. Posons alors \(x = u^{-1}\). On a bien \(u = uxu\).

    2. soit \(u \in A\), tel que \(u \neq 0\). Comme \(A\) est régulier, il existe \(x \in A\) tel que \(u = uxu\), c’est-à-dire \(u(1-xu) = 0\). L’anneau étant intègre, il vient que \(xu = 1\). De même, on a \((1-ux)u = 0\) et donc \(ux = 1\). Par conséquent, \(u\) est inversible avec \(u^{-1} = x\).

  2. On vérifie facilement que \(Z(A)\) est stable pour \(+\), \(\times\) et qu’il contient \(0\) et \(1\).

  3. On a \(uxa(1-ux) = xau(1-ux) = xau - xauxu = xau -xau = 0\). De même, \((1-ux)aux = (1-ux)uax = uax -(uxu)x = uax -uax = 0\). Donc \(uxa(1-ux) = (1-ux)aux\) et en développant, \(uxa -uxaux = aux - uxaux\) ce qui donne \((ux)a = a(ux)\). On a donc montré que \((ux) \in Z(A)\).

  4. Soit \(a \in A\). Calculons \((xux)a \underset{u\in Z(A)}{=} (ux)(xa) \underset{ux \in Z(A)}{=} (xa)(ux) \underset{u \in Z(A)}{=} (xu)(ax) \underset{u\in Z(A)}{=} (ux)(ax) \underset{ux \in Z(A)}{=} (ax)(ux) = a(xux)\).

  5. Soit \(u \in Z(A)\). Posons \(y = xux\). On a vu que \(y \in Z(A)\) et alors \(uyu = u(xux)u = (uxu)xu = uxu = u\).


Exercice 1552 ***

18 novembre 2022 16:00 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((A,+,\times)\) un anneau tel que \[\forall (x,y)\in A^2, \quad(xy)^2 = x^2y^2\]

  1. Montrer que \(\forall (x,y)\in A^2\), \(xyx=x^2y=yx^2\).

  2. En déduire que \(A\) est un anneau commutatif .



[ID: 3347] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 1552
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
  1. Soit \((x, y) \in A^2\). En utilisant la propriété de l’énoncé avec \(x\) et \((1+y)\), on trouve que \[\begin{aligned} &\quad\quad\, \left[x(1+y)\right]^2 = x^2(1+y)^2 \\ &\Rightarrow x^2 + x^2y + xyx + (xy)^2 = x^2 + 2x^2y + x^2y^2 \\ &\Rightarrow xyx = x^2 y \end{aligned}\] (car \((xy)^2 = x^2y^2\)). De même, en utilisant la propriété avec \(x\) et \((1+y)\) on démontre que \(xyx = x^2y\).

  2. Soit \((x, y) \in A^2\). En utilisant la propriété du 1. avec \((1+x)\) et \(y\), on trouve que \[\begin{aligned} &\quad\quad (1+x)^2y = y(1+x)^2 \\ & \Rightarrow y + 2xy + x^2y = y + 2yx + yx^2 \\ & \Rightarrow 2xy = 2yx \end{aligned}\] Ce qui ne suffit pas à conclure que \(xy = yx\) !

    Mais avec la même idée, développons \((1+x)^3y\). Comme \(x^3y = x(x^2y) = x(yx^2) = (xyx)x = (yx^2)x = yx^3\), \[\begin{aligned} &\quad\quad (1+x)^3y = y(1+x)^3 \\ & \Rightarrow y + 3xy + 3x^2y + x^3y = y + 3yx + 3yx^2 + yx^3 \\ & \Rightarrow 3xy = 3yx \end{aligned}\] Donc \(3xy - 2xy = 3yx - 2yx\) et par conséquent, \(xy = yx\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 1553
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
  1. Soit \(z \geqslant 0\). Écrivons \(f(z) = f(\sqrt{z}\sqrt{z}) = f(\sqrt{z})^2 \geqslant 0\). Soit alors \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\) tels que \(x \leqslant y\). Calculons \(f(y-x) = f(y) - f(x) \geqslant 0\). Donc l’application \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

  2. En utilisant que \(f\) est un morphisme de groupe (classique) et que \(f(1) = 1\), on montre que \(\forall r \in \mathbb{R}\), \(f(r) = r\).

  3. Utilisons la densité de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\) : \[\forall \varepsilon> 0,~ \exists (r, q) \in \mathbb{Q}^{2}~:~ x-\varepsilon< r < x < q < x + \varepsilon\] Pour \(\varepsilon= 1\), il existe \((r_1, q_1) \in \mathbb{Q}^{2}\) tels que \(x-1 \leqslant r_1 < x < q_1 \leqslant x + 1\). Supposons construits les rationnels \(r_1,\dots, r_n\) et \(q_1,\dots, q_n\). Posons \(\varepsilon= \min \bigl(\dfrac{1}{n+1}, q_n - r_n\bigr)> 0\). Il existe alors \((r_{n+1}, q_{n+1})\in \mathbb{Q}^{2}\) tels que \(r_n < r_{n+1} < x < q_{n+1} < q_n\) avec en plus \(x - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1} \leqslant r_{n+1} < q_{n+1} \leqslant x + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\). On construit ainsi par récurrence deux suites de rationnels, avec la suite \((r_n)\) qui est croissante et la suite \((q_n)\) décroissante. D’après le théorème des gendarmes, puisque \(\forall n \geqslant 1\), \[x - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \leqslant r_n \leqslant x \leqslant q_n \leqslant x + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\] ces deux suites convergent vers \(x\).

  4. Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}^{\star}\). Puisque la fonction \(f\) est croissante, on a \[f(r_n) \leqslant f(x) \leqslant f(q_n)\] or comme \(\forall n \geqslant 1\), \(f(r_n) = r_n\) et \(f(q_n) = q_n\), et que les deux suites convergent vers \(x\), il vient que \(f(r_n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}x\) et \(f(q_n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}x\), et par passage à la limite dans les inégalités, on trouve que \(f(x) = x\). Par conséquent, \(f = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) et réciproquement, \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) est bien un morphisme d’anneau.


Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\) ***

18 novembre 2022 16:00 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. On rappelle (exercice
    [sous_groupe_de_R] p. [sous_groupe_de_R]) que tout sous-groupe de \(\left(\mathbb{R},+\right)\) non réduit à \(\left\{0\right\}\) est soit de la forme \(a\mathbb{Z}\)\(a\in\mathbb{R}_+^*\), soit dense dans \(\mathbb{R}\).

    Soit \(H\) un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
    Démontrer que

    • soit : \(\exists a\geqslant1:\, H = \left\lbrace a^n, n\in\mathbb Z\right\rbrace\),

    • soit : \(\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb R_+^2\), \((\alpha<\beta) \Longrightarrow (]\alpha,\beta[\cap H \neq \varnothing)\).

    (On pourra utiliser le logarithme.)

  2. Dans toute cette partie, \(\mathcal A=\left\{ a+b\sqrt 7~|~ (a,b)\in \mathbb{Z}^2\right\}\). On admet que \(\sqrt7\notin\mathbb Q\). (voir l’exercice [racine7_irrationnel] p. [racine7_irrationnel].)

    1. Démontrer que pour tout \(x\in\mathcal A\), il existe un unique couple \((a,b)\in \mathbb Z^2\) tel que \(x = a+b\sqrt7\).

    2. Démontrer que \(\mathcal A\) est un sous-anneau de \((\mathbb R, +,\times)\).

    3. Démontrer que l’ensemble \(U(\mathcal A)\) des éléments inversibles de \(\mathcal A\) est un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).

  3. Pour \(x = a+b\sqrt7\in \mathcal A\), on note \(\overline x\) le réel \(a-b\sqrt7\) et on note \(N(x) = x\overline x = a^2 - 7b^2\).

    1. Expliquer rapidement pourquoi \(\overline x\) et \(N(x)\) sont bien définis.

    2. Démontrer que \(\forall(x,y)\in\mathcal A^2\), \(N(xy) = N(x)N(y)\).
      On admet que l’équation \(N(x) = -1\) n’admet pas de solution dans \(\mathcal A\). Voir à ce sujet l’exercice [residu_quadratique] p. [residu_quadratique].

    3. Démontrer que \(\forall x\in\mathcal A\), \(\left(x\in U(\mathcal A) \Longleftrightarrow (N(x) = 1)\right)\). Le cas échéant, que vaut l’inverse de \(x\) ?

    1. Soit \(a+b\sqrt7\in U(\mathcal A)\). Démontrer que (\(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\))\(\Longleftrightarrow (a+b\sqrt7\geqslant1)\).

    2. Démontrer que \(U(\mathcal A)\) n’est pas réduit à \(\{-1,1\}\).

    3. Démontrer que l’intervalle \(\left] 1,3\sqrt7\right[\) ne contient pas d’éléments de \(U(\mathcal A)\).

    4. Démontrer qu’il existe un élément de \(u\) de \(U(\mathcal A)\cap]1,+\infty[\) tel que \[U(\mathcal A) = \left\lbrace \varepsilon u^n ; \varepsilon = \pm1 \textrm{ et } n\in\mathbb Z \right\rbrace .\] Le nombre \(u\) évidemment (?) unique est appelé unité principale de \(\mathcal A\).

  4. On pose pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u^n = a_n + b_n\sqrt7\).

    1. Démontrer que les suites \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb N}\) sont positives et strictement croissantes.

    2. En déduire la valeur de \(u\).

    3. Donner dans l’ordre croissant des valeurs de \(x\), les quatre plus petites solutions dans \(\mathbb N^*\times\mathbb N^*\) de l’équation dite de Pell-Fermat : \[x^2 - 7y^2 = 1.\]

  5. On pose \(\alpha_n = a_{2^n}\) et \(\beta_n = b_{2^n}\).

    1. Établir des relations de récurrence entre les \(\alpha_{n+1}\) et \(\beta_{n+1}\) d’une part et les \(\alpha_{n}\) et \(\beta_{n}\) d’autre part.

    2. Démontrer que \(\dfrac{a_n}{b_n}\) converge vers une limite finie \(\lambda\) que l’on déterminera.

    3. Démontrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \[\varepsilon_n = \left\vert \dfrac{\alpha_n}{\beta_n} - \lambda \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt7\,\beta_n^2}.\]

    4. Donner une majoration explicite de l’erreur \(\varepsilon_n\) en fonction de \(n\).
      (On pourra, faute de mieux, démontrer que \(\forall n\in\mathbb N^*\), \(\alpha_{n}\geqslant3^{2^n}\) et \(\beta_{n}\geqslant3^{2^n}\).)

    5. En déduire une approximation rationnelle de \(\sqrt7\) à \(10^{-20}\) près.

      Voir aussi exercice [Z_racine_deux] p. [Z_racine_deux].



[ID: 3351] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\)
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
  1. On considère l’image \(G\) de \(H\) par le logarithme. On vérifie que \(G\) est un sous-groupe de \((\mathbb{R},+)\).

    • Supposons que \(G\) soit de la forme \(m\mathbb{Z}, m\in\mathbb{R}_+\). En posant \(a = e^m\), on a bien \(H = \left\lbrace a^n, n\in\mathbb Z\right\rbrace\).

    • Sinon \(G\) est dense dans \(\mathbb{R}\). Soit \(0<\alpha<\beta\), on peut donc trouver un élément \(x\) de \(G\) dans \(]\ln a,\ln b[\) et \(e^x\) appartient à la fois à \(H\) et à \(]\alpha,\beta[\).

    1. Supposons \(a+b\sqrt7 = a'+b'\sqrt7\) soit \(a-a' = (b'-b)\sqrt7\). On a \(b'-b=0\) sinon on aurait \(\sqrt7 = \dfrac{a-a'}{b'-b}\in\mathbb{Q}\) ce qui est impossible. On en déduit \(a-a'=0\) ce qu’il fallait démontrer.

      • \(\mathcal A\) est stable pour la soustraction : \(a+b\sqrt7 - (a'+b'\sqrt7) = (a-a') + (b-b')\sqrt7 \in\mathcal A\).

      • \(\mathcal A\) est stable pour la multiplication : \((a+b\sqrt7) \times (a'+b'\sqrt7) = (aa'+7bb') + (ab'+ba')\sqrt7\).

      • l’élément unité \(1\) de \((\mathbb{R},+,\times)\) appartient bien à \(\mathcal A\) : \(1 = 1 + 0\sqrt7\).

      Donc \(\mathcal A\) est un sous-anneau de \((\mathbb R, +,\times)\).

    2. On a \(1\in U(\mathcal A)\). Si \(x,y\in U(\mathcal A)\), on a \(y^{-1}\in U(\mathcal A)\) et par suite \(xy^{-1}\in U(\mathcal A)\).

    1. Lorsqu’on écrit \(x = a+b\sqrt7\), les entiers \(a\) et \(b\) sont uniques. Par suite \(\overline x\) et \(N(x)\) sont définis.

    2. Soit \((x,y)\in\mathcal A^2\). On pose \(x = a+b\sqrt7\), \(y = a'-b'\sqrt7\), on a \(xy = (aa'+7bb') + (ab'+ba')\sqrt7\), \(\overline {xy} = (aa'+7bb') - (ab'+ba')\sqrt7\). Ensuite \(\overline x \overline y = (aa'+7(-b)(-b')) + (a(-b')-ba')\sqrt7 = \overline {xy}\). Puis \(N(xy) = xy\overline {xy} = xy\overline x \overline y= N(x)N(y)\).

    3. Si \(N(x) = 1\), alors \(x\overline x = 1\) et donc \(\overline x\in U(\mathcal A\) est bien l’inverse de \(x\) dans \(\mathcal A\).

      Réciproquement, si \(x\) est inversible dans \(\mathcal A\), il existe \(y\) dans \(\mathcal A\) tel que \(xy = 1\). Donc \(N(x)N(y) = N(1) = 1\). Donc \(N(x)\) et \(N(y)\) sont des entiers dont le produit vaut \(1\), ils sont donc égaux à \(1\) ou \(-1\). Comme l’équation \(N(x) = -1\) n’admet pas de solution, c’est que \(N(x) = 1\). Ce qu’il fallait démontrer.

    1. En effet, en posant \(x = a + b\sqrt7\), on a \(\dfrac1x = a - b\sqrt7\), \(-x = -a - b\sqrt7\) et \(-\dfrac1x = -a + b\sqrt7\). Parmi ces quatre nombre, le plus grand appartient à \([1,+\infty[\), son inverse à \(]0,1]\), son opposé, à \(]-\infty,-1]\) et l’inverse de son opposé à \([ -1,0[\). Comme le plus grand des quatre a ses deux coefficients positifs, la proposition en résulte.

    2. On a \(8^2 - 7\times 3^2 = 1\), donc \(8+3\sqrt7 \in U(\mathcal A)\).

    3. Tous les éléments de \(U(\mathcal A)\) plus grands que \(1\) ont des coefficients \(a\) et \(b\) positifs. On regarde donc les valeurs de \(b\in\mathbb{N}^*\) pour lesquelles \(a^2-7b^2=1\). Les solutions \(b=1\) ou \(b=2\) ne conviennent pas, donc on a \(b\geqslant3\). Comme \(a\geqslant0\), on en déduit que \(a+b\sqrt7\geqslant3\sqrt7\). C’est bien dire qu’il n’y a pas d’élément de \(U(\mathcal A)\) dans \(\left] 1,3\sqrt7\right[\).

    4. La question précédente montre que \(U(\mathcal A) \cap \mathbb{R}_+^*\) n’est pas dense, puisqu’il évite \(\left] 1,3\sqrt7\right[\). Donc il est de la forme \(\left\lbrace u^n \mid n\in\mathbb Z \right\rbrace\). En rajoutant les opposés, on obtient le résultat.

    1. Comme \(u>1\), on a \(a_1\geqslant 1\) et \(b_1\geqslant 1\). Comme \(u^{n+1}=(a_1+b_1\sqrt7)(a_n+b_n\sqrt7)\) on en déduit \[a_{n+1} = a_na_1+7b_nb_1>a_n,\qquad \textrm{ et }\qquad b_{n+1} = a_nb_1+b_na_1>b_n.\] D’où le résultat.

    2. L’image de la suite \(u^n\) est \(U(\mathcal A)\cap[1,+\infty[\) tout entier, donc \(u_1 = u\) est la plus petite valeur de \(U(\mathcal A)\cap]1,+\infty[\), à savoir \(8+3\sqrt7\).

    3. D’après ce qui précède ce sont les \((a_k,b_k)\) fournis par les \(u^k\) pour \(k=1,2\) et \(3\). Soit \((8,3)\), \((127,48)\), \((2034,765)\), \((32257,12192)\).

    1. On a \(\alpha_{n+1}+\beta_{n+1}\sqrt7 = \left( \alpha_{n}+\beta_{n}\sqrt7\right)^2\). On en déduit \(\alpha_{n+1} = \alpha_{n}^2+7\beta_{n}^2\) et \(\beta_{n+1} = 2\alpha_{n}\beta_{n}\).

    2. Comme on a \(\forall n\in\mathbb{N}, \alpha_{n}^2-7\beta_{n}^2 = 1\), en divisant par \(\beta_{n}^2\) on a \[\dfrac{\alpha_{n}^2}{\beta_{n}^2} - 7 = \dfrac{1}{\beta_{n}^2}.\] La suite \((\beta_{n})_{n\in\mathbb N}\) est une suite d’entiers strictement croissante, qui tend donc vers \(+\infty\). Donc \(\dfrac{\alpha_{n}^2}{\beta_{n}^2}\) tend vers \(7\) et par suite \(\lambda = \sqrt7\).

    3. Démontrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \[\varepsilon_n = \left\vert \dfrac{\alpha_n}{\beta_n} - \lambda \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt7\,\beta_n^2}.\]

    4. On a \(\forall n\in \mathbb{N}, \alpha_{n}^2 = 7\beta_n^2+1 > 7\beta_n^2\). Donc \(\dfrac{\alpha_{n}}{\beta_n}+\sqrt{7}>2\sqrt{7}\).

      On en déduit \(\left\vert \dfrac{\alpha_{n}}{\beta_n}-\sqrt{7} \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{7}}\,\dfrac{1}{\beta_n^2}\).

      Pour \(n=1\), on a \(\beta_{1} = b_2 = \sqrt{48}^{2^1}\) et \(\alpha_{1} = a_2 = 127 \geqslant \sqrt{48}^{2^1}\). On montre par récurrence que pour \(n\geqslant1, \alpha_{n}\geqslant\sqrt{48}^{2^n}\) et \(\beta_{n}\geqslant\sqrt{48}^{2^n}\). On a alors \(\alpha_{n+1} = \alpha_{n}^2+7\beta_{n}^2 \geqslant\sqrt{48}^{2^{n+1}}+7\sqrt{48}^{2^{n+1}}\geqslant\sqrt{48}^{2^{n+1}}\) et \(\beta_{n+1} =2\alpha_{n}\beta_{n} \geqslant2\sqrt{48}^{2^{n}}\sqrt{48}^{2^{n}}\geqslant\sqrt{48}^{2^{n+1}}\), ce qu’il fallait vérifier.

      Finalement, pour \(n\geqslant1\), \[\left\vert \dfrac{\alpha_{n}}{\beta_n}-\sqrt{7} \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{7}}\,\dfrac{1}{{48}^{2^{n+1}}}\]

    5. On cherche à avoir \(2\sqrt{7}{48}^{2^{n}}\geqslant 10^{20}\). En prenant les logarithmes décimaux, cela revient à \(\log_{10}(2\sqrt{7})+ 2^{n}\log_{10}(48) \geqslant 20\). On calcule \(\dfrac{20-\log_{10}(2\sqrt{7})}{\log_{10}(48)} < 11,5\), donc il suffit d’avoir \(2^n > 11,5\), par exemple \(n=4\). \[\begin{array}{|r|r|r|} \hline n & \alpha_n & \beta_n \\ \hline 0 & 8 & 3 \\ \hline 1 & 127&48\\ \hline 2&32257&12192\\ \hline 3&2081028097& 786554688\\ \hline 4&8661355881006882817&3273684811110137472\\ \hline \end{array}\] Donc \(\sqrt{7} = \dfrac{8661355881006882817}{327368481111013747}\) à \(10^{-20}\) près.


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Idéaux triviaux **

12 mars 2024 08:30 — Par Michel Quercia

Soit \(A\) un anneau commutatif non nul dont les seuls idéaux sont \(\{ 0\}\) et \(A\). Montrer que \(A\) est un corps.



[ID: 3426] [Date de publication: 12 mars 2024 08:30] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Idéaux premiers **

12 mars 2024 08:30 — Par Michel Quercia

Un idéal \(I\) d’un anneau \(A\) est dit premier si : \(\forall x,y\in A\), \(xy\in I \Rightarrow x\in I\) ou \(y\in I\).

  1. Quels sont les idéaux premiers de \(\mathbb{Z}\) ?

  2. Montrer que si \(A\) est commutatif non nul et si tous les idéaux de \(A\) sont premiers alors \(A\) est un corps.



[ID: 3427] [Date de publication: 12 mars 2024 08:30] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Idéaux premiers
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 08:30
  1. \(A\) est intègre car \(\{ 0\}\) est premier et si \(a\in A\setminus \{ 0\}\) alors \(a\times a \in (a^2 )\) qui est premier donc \(a^2\) divise \(a\) d’où \(a\) est inversible.


Thm de Gauss **

12 mars 2024 08:30 — Par Michel Quercia

Soit \(A\) un anneau commutatif et \(a,b\in A\). On dit que \(a\) divise \(b\) si \(b \in aA\) et \(a\) est premier à \(b\) si \(aA + bA = A\).

Montrer que si \(a\) est premier à \(b\) et \(a\) divise \(bc\), alors \(a\) divise \(c\).



[ID: 3429] [Date de publication: 12 mars 2024 08:30] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Accordéon
Titre
Solution
Texte

Accordéon
Titre
Solution
Texte

Anneau de caractéristique 2
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 08:30
  1. Quels sont les éléments inversibles de \(A\) ? 1.

  2. \(x+y = (x+y)^2 = x^2 +y^2 +xy+yx = x+y+xy+yx \Rightarrow xy+yx = 0\).

    Pour \(y=1\) : \(x+x=0 \Rightarrow 1=-1\).

    Pour \(y\) quelconque : \(xy = -yx = yx\).

  3. Antisymétrie : si \(x = ay\), alors \(xy = ay^2 = ay = x\). Donc \((x\leq y)\) et \((y\leq x) \Rightarrow xy = x = y\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

\(1-ab\) et \(1-ba\) **

12 mars 2024 08:30 — Par Michel Quercia

Soit \(A\) un anneau et \(a,b\in A\). Montrer que \(1-ab \in A^* \Leftrightarrow 1-ba \in A^*\).



[ID: 3434] [Date de publication: 12 mars 2024 08:30] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

\(1-ab\) et \(1-ba\)
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 08:30

Si \((1-ab)c = 1 = c(1-ab)\) alors \(abc = c-1 = cab\) donc \(babca = bca-ba = bcaba\),

soit \(ba(1+bca) = bca = (1+bca)ba\) et \(1+bca\) est inverse de \(1-ba\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Radical d’un idéal
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 08:30
  1. Réciproque fausse : \(A = \mathbb{Z}[X]\), \(I=(X)\), \(J=(X+4)\).

  2. Exemple : \(A = \mathbb{Z}\), \(I = 3648\mathbb{Z}\). Trouver \(\sqrt I\). \(114\mathbb{Z}\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Accordéon
Titre
Solution
Texte

Accordéon
Titre
Solution
Texte

Accordéon
Titre
Solution
Texte

Accordéon
Titre
Solution
Texte

Fonctions trigonométriques
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 08:30
  1. \(\pi a_n\).

  2. Si \(f(x)=\sum_{k=0}^n a_k\cos(kx)\) et \(g(x)=\sum_{k=0}^p b_k\cos(kx)\) avec \(a_n\neq 0\) et \(b_p\neq 0\) alors,

    \(2\int _{t=0}^{2\pi } f(t)g(t)\cos(nt)\,d t=\pi a_nb_p\neq 0\) donc \(fg\neq 0\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Accordéon
Titre
Solution
Texte

Entiers 2-adiques **

12 mars 2024 08:30 — Par Michel Quercia

Soit \(A = \{ m/n \in \mathbb{Q}\text{ tq }n\) est impair\(\}\).

  1. Montrer que \(A\) est un sous-anneau de \(\mathbb{Q}\).

  2. Chercher les éléments inversibles dans \(A\).

  3. Montrer que les idéaux non nuls de \(A\) sont tous monogènes engendrés par les nombres de la forme \(2^k\), \(k\in \mathbb{N}\).



[ID: 3446] [Date de publication: 12 mars 2024 08:30] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Morphismes \(\mathbb{Z}^n \to \mathbb{Z}\) **

12 mars 2024 08:31 — Par Michel Quercia

Chercher les morphismes d’anneaux : \(\mathbb{Z}^n \to \mathbb{Z}\).



[ID: 3447] [Date de publication: 12 mars 2024 08:31] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Morphismes \(\mathbb{Z}^n \to \mathbb{Z}\)
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 08:31

\(f(x_{1},\dots,x_n) = a_{1}x_{1} + \dots+ a_nx_n\).

\(f\) est multiplicative sur la base canonique \(\Rightarrow\) \(a_ia_j = 0\) pour \(i\neq j\).

\(f(1,\dots,1) = 1 \Rightarrow\) un des \(a_i\) vaut \(1\), et les autres \(0\).

conclusion : \(f\) = fct coordonnée.


Suites stationnaires **

12 mars 2024 08:31 — Par Michel Quercia

Soit \(A = \{\)suites d’entiers relatifs stationnaires\(\}\) muni des opérations usuelles.

  1. Montrer que \(A\) est un anneau.

  2. Chercher les morphismes d’anneaux : \(A\to \mathbb{Z}\).

  3. Soit \(I = \{\)suites presque nulles\(\}\). Montrer que c’est un idéal non monogène.



[ID: 3449] [Date de publication: 12 mars 2024 08:31] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Suites stationnaires
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 08:31
  1. idem [morphismes] : les projections + la valeur de stationnement.


Entiers de Gauss **

12 mars 2024 08:31 — Par Michel Quercia

Soit \(A = \{ a + bi \text{ tq }a,b \in \mathbb{Z}\}\).

  1. Montrer que \(A\) est un sous-anneau de \(\mathbb{C}\). Quels sont les éléments inversibles ?

  2. Soient \(u,v\in A\) avec \(v\neq 0\). Montrer qu’il existe \(q,r\in A\) tels que \(u = qv + r\) et \(|r| < |v|\). A-t-on unicité ?

  3. Montrer que \(A\) est principal.



[ID: 3451] [Date de publication: 12 mars 2024 08:31] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Entiers de Gauss
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 08:31
  1. \(\pm1,\pm i\).

  2. Non : \(1+i = 0\times 2 + (1+i) = 1\times 2 + (i-1)\).


Anneau intègre fini **

12 mars 2024 08:31 — Par Michel Quercia

Soit \(A\) un anneau non nul, commutatif et intègre.

  1. Montrer que si \(A\) est fini, alors c’est un corps.

  2. Montrer que si \(A\) n’a qu’un nombre fini d’idéaux, alors c’est un corps (considérer les idéaux \(I_n = x^n A\) pour \(x\in A\) non nul).



[ID: 3453] [Date de publication: 12 mars 2024 08:31] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

;
Success message!