Groupes
Exercices du dossier Groupes
Exercice 1498 *
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini
Soient \({G=\mathbb{R}^*\times \mathbb{R}}\) et \(\star\) la loi de composition interne définie sur \(G\) par \[\left(x,y\right)\star \left(x',y'\right)=\left(xx',xy'+y\right)\]
Montrer que \(\left(G,\star\right)\) est un groupe.
Montrer que \(\mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R}\) est un sous-groupe de \(\left(G,\star\right)\).
[ID: 3239] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1498
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
C’est une loi interne : le produit de deux réels non nuls est non nul.
Pour tout \(\left(x,y\right),\left(x',y'\right),p{x'',y''}\in G\), \(\left(\left(x,y\right)\star \left(x',y'\right)\right)\star \left(x'',y''\right)=\left(xx',xy'+y\right)\star \left(x'',y''\right) = \left(xx'x'',xx'y''+xy'+y\right) =\) et \(\left(x,y\right)\star\left(\left(x',y'\right)\star \left(x'',y''\right)\right) = \left(x,y\right)\star\left(x'x'',x'y''+y'\right) = \left(xx'x'',x\left(x'y''+y'\right)+y\right) = \left(xx'x'',xx'y+xy'+y\right)\). Donc \(\star\) est associative.
La loi \(\star\) n’est pas commutative : \(\left(2,0\right) \star \left(1,1\right) = \left(2,2\right)\) et \(\left(1,1\right) \star \left(2,0\right) = \left(2,1\right)\).
Le couple \(\left(1,0\right)\) est élément neutre pour \(\star\) : \(\left(1,0\right) \star \left(x,y\right) = \left(x,y\right) \star \left(1,0\right) = \left(x,y\right)\).
Soit \(\left(x,y\right)\in G\). On pose \(\left(x',y'\right) = \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x},-{\scriptstyle y\over\scriptstyle x}\right)\). On vérifie que \(\left(x,y\right)\star \left(x',y'\right)= \left(1,0\right)\) et \(\left(x',y'\right)\star \left(x,y\right)=\left(1,0\right)\). Donc tout élément \(\left(x,y\right)\in G\) admet un inverse pour \(\star\) : \(\left(x',y'\right)\).
La stabilité est assurée par le fait que le produit de deux nombres positifs est positif.
Les vérifications sont très rapides
si on considère les matrices \(\begin{pmatrix}
x & y \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) qui forment un sous-groupe
du groupe des matrices \(2\times2\)
inversibles. Encore faut-il le voir...et connaître les matrices ce qui
ne va pas tarder...
Groupe des vitesses en relativité restreinte *
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit \(G=\left]-1,1\right[\). On définit sur \(G\) une loi \(\star\) par \[\forall \left(x,y\right)\in G^2, \quad x\star y = {\scriptstyle x+y\over\scriptstyle 1+xy}.\] Montrer que \(\left(G,\star\right)\) est un groupe abélien.
[ID: 3241] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Groupe des vitesses en relativité
restreinte
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
On a \(\operatorname{th} (u+v) = \dfrac{\operatorname{th} u + \operatorname{th} v}{1 + \operatorname{th} u \operatorname{th} v}\). Donc on pose \(x = \operatorname{th} u\), \(y = \operatorname{th} v\), et on a \(x\star y = \operatorname{th} (u+v) = \operatorname{th} (\mathop{\mathrm{argth}}x + \mathop{\mathrm{argth}}y)\).
On en déduit :
la loi \(\star\) est interne, puisqu’une tangente hyperbolique appartient à \(\left]-1,1\right[\).
\((x\star y)\star z = \operatorname{th} (\mathop{\mathrm{argth}}x + \mathop{\mathrm{argth}}y + \mathop{\mathrm{argth}}z) = x\star (y\star z)\).
\(0\) est élément neutre.
L’opposé de \(x\) est aussi son inverse pour \(\star\).
Groupe de Klein *
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoient les quatre fonctions de \(\mathbb{R}^*\) dans \(\mathbb{R}^*\) \[f_1 (x) = x \qquad f_2 (x) = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \qquad f_3 (x) = -x \qquad f_4 (x) = -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\] Montrer que \(G = \left\{ f_1, f_2, f_3, f_4\right\}\) est un groupe pour la loi \(\circ\).
[ID: 3243] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Groupe de Klein
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Il suffit de démontrer que \(G\) est un sous-groupe du groupe des bijections de \(\mathbb{R}^*\) dans \(\mathbb{R}^*\). \(f_2\circ f_2 = f_1;\;f_2\circ f_3 = f_4;\;f_2\circ f_4 = f_3;\;f_3\circ f_3 = f_1;\;f_3\circ f_4 = f_2\). On a donc la stabilité, et tous les éléments sont leur propre inverse.
Exercice 1501 *
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini
Les ensembles suivants, pour les lois considérées, sont-ils des groupes ?
\(C = \{z\in\mathbb{C}:{|z|}=2\}\) pour la multiplication usuelle ;
\(\mathbb{R}_+\) pour la multiplication usuelle;
\(\left\{x\in\mathbb{R}\mapsto ax+b : a\in\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\},b\in\mathbb{R}\right\}\) pour la loi de composition des applications.
[ID: 3245] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1501
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Non. Le seul élément qui peut être l’élément neutre est \(1\) qui n’appartient pas à l’ensemble. On peut aussi voir que \(C\) n’est pas stable par produit. Le produit de deux complexes de module 2 n’est pas de module 2.
Non. \(0\) n’a pas d’inverse.
Oui. Il s’agit du groupe affine de \(\mathbb{R}\). Voir chapitre [geometrie_affine] page [geometrie_affine] ou l’exercice [exo_groupe_affine] page [exo_groupe_affine].
Exercice 1502 *
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniL’ensemble \(E=\left\{-1,1,i,-i \right\}\subseteq \mathbb{C}\) muni de la loi usuelle de multiplication dans \(\mathbb{C}\) est-il un groupe ?
[ID: 3247] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1502
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Oui. C’est un sous-groupe des nombres complexes de module \(1\), lui-même sous-groupe de \((\mathbb{C}^*,\times)\). Il est noté \(\mathbb U_4\) dans le chapitre sur les complexes p. [racines_n_iemes_de_l_unite].
Exercice 1503 *
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoient \((G, \star)\) et \((H, \triangle)\) deux groupes. On définit sur \(G \times H\) la loi \(\heartsuit\) par \((x, y) \heartsuit (x', y') = (x \star x', y \triangle y')\).
Montrer que \((G \times H, \heartsuit)\) est un groupe.
Si \(G\) est de cardinal 2, dresser la table de \(G \times G\) et la reconnaı̂tre parmi les exemples des exercices précédents.
[ID: 3249] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1503
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Soit \(G = \{1,-1\}\) le groupe a deux éléments (pour la multiplication). On pose \(e=(1,1);\; a= (1,-1);\; b = (-1,1);\;c = (-1,-1)\). L’élément neutre pour \(\heartsuit\) est \(e\) puisqu’il est composé deux fois de l’élément neutre de \((G,\times)\). On a \(x^2 = e\) pour tout \(x\), ce qui remplit la diagonale. La deuxième ligne (celle de \(e\)) est identique à la première (celle de \(\heartsuit\)) puisque \(e\) est l’élément neutre. Il s’agit du groupe de l’exercice [groupe_de_klein]. On a \(ab = c\), puis \(ac = a(ab) = (aa)b = b\) et enfin \(bc = (ac)c = a\). On complète par symétrie puisque la loi \(\heartsuit\) est commutative. Ces deux groupes sont isomorphes.\(\heartsuit\) \(e\) \(a\) \(b\) \(c\) \(e\) \(e\) \(a\) \(b\) \(c\) \(a\) \(a\) \(e\) \(c\) \(b\) \(b\) \(b\) \(c\) \(e\) \(a\) \(c\) \(c\) \(b\) \(a\) \(e\)
Exercice 1504 *
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniMontrer qu’un groupe \((G, .)\) tel que \(\forall x\in G\), \(x^{2}=e\) est commutatif.
[ID: 3251] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1504
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
L’hypothèse de l’énoncé dit que tout élément est son propre symétrique : \[\forall x\in G, \quad x^{-1}=x.\] Soit alors \((x,y)\in G^2\). Comme \((xy)^{-1}=(xy)\), on en déduit que \(y^{-1}x^{-1}=xy\). Mais puisque \(x^{-1}=x\) et \(y^{-1}=y\), on trouve que \(yx=xy\).
Autre rédaction : Soit \((x,y)\in G^2\). Puisque \((xy)^2=e\), il vient que \[xyxy=e \Rightarrow x(xyxy)y=xy \Rightarrow (x^2)(yx)(y^2)=xy \Rightarrow yx=xy.\]
Exercice 1505 *
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit \[G=\{ f\in \mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} ) ~|~ \forall n\in \mathbb N, f(n)=0 \}\] Montrer que \((G,+)\) est un groupe.
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Exercice 1505
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Il suffit de montrer que \(G\) est un sous-groupe du groupe \((\mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} ),+)\).
On a \(G\subset \mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\).
La fonction nulle est dans \(G\) et c’est l’élément neutre de \(\mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\).
Soient \((f,g)\in G^{2}\). Montrons que \(f-g \in G\). Soit \(n\in \mathbb N\). On a bien \((f-g)(n)=0\) car \(f,g \in G\).
On prouve ainsi que \(G\) est un sous-groupe de \((\mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} ),+)\).
Exercice 1506 *
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit \(E=\left\{ f\in {\cal F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )~|~ \forall n\in \mathbb{Z} , f(n)=0\right\}\). On munit \(E\) de la loi \(+\) d’addition des fonctions d’une variable réelle. Montrer que \((E,+)\) est un groupe.
[ID: 3255] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1506
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Soit \(G= {\cal F}(\mathbb{Z} ,\mathbb{R} )\), et \(F= {\cal F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\) On munit \(F\) et \(G\) de la loi \(+\) d’addition des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{Z}\) dans \(\mathbb{R}\) respectivement. Pour démontrer que \(E\) est un sous-groupe de \(F\), on considère \(\Phi~: F\longrightarrow G\) qui à \(f\) associe la restriction de \(f\) à \(\mathbb{Z}\). \(\Phi\) est un morphisme de groupes (abéliens) et \(E\) est son noyau. Comme tel c’est un sous-groupe de \(F\) donc un groupe. Bien entendu une vérification directe est simple à rédiger.
Exercice 1507 *
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit \((G, .)\) un groupe. On suppose que \[\forall (a, b) \in G^2~|~ (ab)^2 = a^2 b^2\] Montrer que \(G\) est un groupe commutatif.
[ID: 3257] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1507
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
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Soit \(a,b \in G\), on a \((ab)^2 = a^2 b^2\) soit \(abab = aabb\) donc \(a^{-1}abab = a^{-1}aabb\) donc \(bab = abb\) donc \(babb^{-1} = abbb^{-1}\) donc \(ba= ab\) ce qu’il fallait vérifier.
Exercice 1508 *
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit \((G, .)\) un groupe commutatif d’élément neutre \(e\). Soit \(n\in \mathbb N\). On pose \[B = \{ a \in G~|~ a^n = e \}\] Montrer que \(B\) est un sous-groupe de \(G\).
[ID: 3259] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1508
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
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On a \(e\in B\) donc \(B\) n’est pas vide. Si \(a\) et \(b\) appartiennent à \(B\), \(a^n = b^n = e\). Or \(G\) est commutatif, donc \((ab)^n = a^nb^n = e\) et \(ab\in B\). Enfin \(\left( a^{-1} \right)^n = \left( a^n \right)^{-1} = e^{-1} = e\), donc \(a^{-1} \in B\).
Exercice 1509 *
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit \((G, .)\) un groupe commutatif d’élément neutre \(e\). On pose \[B = \{ a \in G~|~ \exists n \in \mathbb{N}^{\star}, a^n = e \}\] Montrer que \(B\) est un sous-groupe de \(G\).
[ID: 3261] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1509
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
\(e \in B\) : posons \(n = 1\), on a bien \(e^n = e\).
Soit \((x, y) \in B^2\). Montrons que \(xy \in B\). Comme \(x\in B\), il existe \(n_1 \in \mathbb N\) tel que \(x^{n_1} = e\). De même, il existe \(n_2\in \mathbb N\) tel que \(y^{n_2}=e\). Posons \(n = n_1 n_2\). Alors \[(xy)^n = (x^{n_1})^{n_2}(y^{n_2})^{n_1} = e.e = e\] (car \(xy = yx\)). Donc \(xy \in B\).
Soit \(x \in B\). Vérifions que \(x^{-1} \in B\). Comme \(x\in B\), il existe \(n\in \mathbb N\) tel que \(x^n = e\). Alors on vérifie que \((x^{-1})^{n}= (x^n)^{-1} = e^{-1} = e\). Donc \(x^{-1} \in B\).
Exercice 1510 *
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSi \((a, b) \in \mathbb{R}^*\times \mathbb{R}\), on note \[t_{a,b} : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & ax+b \end{array} \right.\] Soit \[G = \{ t_{a, b}~|~ (a, b) \in \mathbb{R}^*\times \mathbb{R} \}\]
Montrer que \((G, \circ)\) est un groupe.
Soit \[H = \{ t_{1, b}~|~ b \in \mathbb{R} \}\] Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \(G\), isomorphe au groupe \((\mathbb{R} , +)\).
[ID: 3263] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1510
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Comme \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits=t_{1,0}\), \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\in G\). La composée de deux fonctions affines bijective est affine et bijective. Plus précisément, \(t_{a,b}\circ t_{a',b'} = t_{aa',ab'+b}\). Bref, la loi est interne. La bijection réciproque d’une fonction affine est affine. On a donc un sous-groupe du groupe des bijections de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
On vérifie que \(b \mapsto t_{1, b}\) est un isomorphisme de \((\mathbb{R} , +)\) sur \((H,\circ)\).
Exercice 1511 *
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit \((G, .)\) un groupe et \(E\) un ensemble. Soit \(f : E \mapsto G\) une bijection. On définit sur \(E\) la loi de composition interne suivante : \[\forall (x, y) \in E^2, \quad x \star y = f^{-1}(f(x) . f(y))\] Montrer que \((E, \star)\) est un groupe, puis que \(f\) est un isomorphisme de groupes.
[ID: 3265] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1511
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
La loi \(\star\) est interne. Elle est associative : \((x \star y)\star z = f^{-1}(f(x) . f(y))\star z = f^{-1}\left( f\left( f^{-1}(f(x) . f(y))\right) . f(z)\right) = f^{-1}\left( (f(x).f(y)).f(z) \right) = f^{-1}\left( f(x).(f(y).f(z)) \right) = \ldots = x \star (y\star z)\). Si on appelle \(e\) l’élément neutre de \((G, .)\), \(\varepsilon = f^{-1}(e)\) est élément neutre de \(E\). Soit \(x\in E\), on pose \(y= f^{-1}(f(x)^{-1})\). On a \(f(y) = f(x)^{-1}\) donc \(f(x).f(y) = f(y).f(x) = e\) et donc \(x \star y = f^{-1}(f(x) . f(y)) = f^{-1}(e) = \varepsilon\) et de même \(f(y).f(x) = \varepsilon\). Donc \(y\) est l’inverse de \(x\) pour \(\star\).
Par ailleurs, \(f(x \star y) = f\left( f^{-1}(f(x) . f(y))\right) = f(x) . f(y)\). C’est bien dire que \(f\) est un morphisme de groupes. Comme \(f\) est une biection, c’est un isomorphisme.
Exercice 1512 **
18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit un ensemble \(E\) non-vide muni d’une loi de composition interne \(\star\) associative telle que : \[\forall (a,b)\in E^2, \quad\exists (x,y)\in E^2 :\quad b=a\star x=y\star a\] Montrer que \((E,\star)\) est un groupe.
Pour trouver un élément neutre,
considérer \(a=b=a_1\), ce qui donne
l’existence de \((e,f)\in E^2\)
vérifiant la propriété de l’énoncé. Considérer ensuite \(b\in E\), et montrer que \(b\star e = b\), \(f\star
b=b\). Montrer ensuite que \(e=f\).
[ID: 3267] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1512
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
On sait déjà que la loi de composition interne est associative ;
Élément neutre : Soit un élément \(a_1\in E\). En prenant \(b=a_1\), on sait qu’il existe \((e,f)\in E^2\) tels que \(a_1=a_1\star e=f\star a_1\). Montrons que \(e\) est neutre. Soit \(b\in E\). Il existe \((x,y)\in E^2\) tel que \(b=a_1\star x =y\star a_1\). Alors \[b\star e=(y\star a_1)\star e = y\star(a_1\star e)=y\star a_1 = b\] \[f\star b = f\star (a_1\star x) = (f\star a_1)\star x = a_1\star x = b\] On a donc montré que \(\forall b\in E\), \(b\star e =b\) et \(f\star b = b\). En particulier, si \(b=f\), \(f\star e =f\) et si \(b=e\), \(f\star e=e\). On en déduit que \(e=f\) et donc que \(\forall x\in E\), \(e\star x = x\star e=x\): \(e\) est l’élément neutre pour \(\star\).
Soit un élément \(X\in E\). Montrons que cet élément admet un symétrique : En prenant \(b=e\) et \(a=X\), il existe \((x,y)\in E^2\) tels que \(e=X\star x = y\star X\). Il suffit de montrer que \(x=y\). Écrivons \[y=y\star e = y\star(X\star x) = (y\star X)\star x = e\star x = x\] Donc \(x=y\) est le symétrique de \(X\).
Exercice 1513 **
18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit \((G, .)\) un groupe abélien et \(S\subset G\) une partie de \(G\) non-vide et stable. On définit \[S^{\star} = \{ x.y^{-1}~|~ (x, y) \in S^2 \}.\] Montrer que \(S^{\star}\) est un sous-groupe de \(G\).
[ID: 3269] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1513
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
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Comme \(S\neq \varnothing\), il existe \(a\in S\). Alors \(a.a^{-1} = e \in A^{\star}\).
Soit \((a, b)\in \left(S^{\star}\right)^2\). Alors il existe \((x, y) \in S^2\) tels que \(a = x.y^{-1}\) et il existe \((x', y') \in S^2\) tels que \(b = x'.y'^{-1}\). Alors \[a.b^{-1} = x.y^{-1}.y'.x'^{-1} = (x.y').(x'.y)^{-1}\] car la loi est commutative. Comme \(S\) est stable, \(x.y'\in S\) et \(x'.y \in S\), donc \(a.b^{-1} \in S^{\star}\).
Exercice 1514 **
18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit \(E\) un ensemble. On munit \(\mathcal{P}(E)\) de la loi de composition interne \(A\triangle B\) (différence symétrique). Montrer que \((\mathcal{P}(E),\triangle)\) est un groupe.
[ID: 3271] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1514
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
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On va faire travailler les groupes : On considère \(G\) l’ensemble des fonctions de \(E\) vers le groupe \(\left( \{-1,1\},.\right)\). Muni de la multiplication des fonctions \(G\) est un groupe abélien. Maintenant, on considère \[f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{P}(E) & \longrightarrow & G \\ A & \longmapsto & \chi_A \end{array} \right. \qquad \textrm{ avec } \quad \chi_A: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & \{-1,1\} \\ x & \longmapsto & \left\lbrace \begin{array}{rl} -1 & \textrm{si } x\in A \\ 1 & \textrm{si } x\notin A \end{array} \right. \end{array} \right. , \textrm{ si } A\in \mathcal{P}(E) .\] On vérifie que \(f^{-1}(f(A) . f(B)) = A\triangle B\). D’après l’exercice précédent, \((\mathcal{P}(E),\triangle)\) est un groupe.
Exercice 1515 **
18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit \((E,*)\) et \(e\in E\) tels que :
(i) \(\forall (x,y,z,t)\in E^4, (xy)(zt)=(xz)(ty)\)
(ii) \(\forall x \in E\), \(ex=x\)
(iii) \(\forall x \in E\), \(\exists x' \in E\): \(xx'=e\).
Montrer que \(*\) est commutative, associative, puis que \((E,*)\) est un groupe.
[ID: 3273] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1515
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
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On prend \(x=z=e\). D’après (i), on a \((ey)(et)=(ee)(ty)\). D’après (ii) \(ey=y,\,et=t\) et \(ee = e\). Donc \(yt = e(ty) = ty\). La loi est donc commutative.
On prend \(z=e\). D’après (i), on a \((xy)(et)=(xe)(ty)\). Or \(et = t\) d’après (ii) et comme \(*\) est commutative, \(xe=ex=x\). Donc on a \((xy)t = x(ty) = x(yt)\) puisque \(*\) est commutative. La loi est donc associative.
D’après (ii), \(e\) est élément neutre à gauche, donc à droite puisque \(*\) est commutative. D’après (iii), tout élément admet un inverse à gauche, donc à droite puisque \(*\) est commutative. On a bien démontré que \((E,*)\) est un groupe (abélien).
Exercice 1516 **
18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit \((G,*)\) un groupe de cardinal fini et \(H\subset G\) une partie non-vide de \(G\) stable pour la loi \(*\). Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \(G\).
[ID: 3275] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1516
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
Comme \(H\) est non-vide, il existe \(a\in H\). Considérons alors la translation à gauche suivante : \[\gamma_a : \left\{ \begin{array}{ccl} H & \longrightarrow & H \\ x & \longmapsto & a.x \end{array} \right. .\] La fonction \(\gamma_a\) est à valeurs dans \(H\) car \(H\) est stable. On vérifie facilement que \(\gamma_a\) est injective (on peut simplifier à gauche dans un groupe). Or \(\gamma_a : H \to H\) va d’un ensemble fini vers lui-même. On sait alors qu’une telle application injective est également surjective.
Par conséquent, \(a\in H\) possède un antécédent par \(\gamma_a\) : il existe \(b \in H\) tel que \(\gamma_a(b) = a\) : \[a.b = a\] et alors on obtient que \(b = e\) et donc \(e \in H\).
Soit ensuite \(x \in H\). Comme \(\gamma_x : H \mapsto H\) est surjective, et que \(e\in H\), \(e\) possède un antécédent par \(\gamma_x\) : \[\exists y \in H ~: \gamma_x(y) = e \textrm{ donc } x.y = e.\] En multipliant à gauche par \(x^{-1}\) (symétrique de \(x\) dans \(G\)), on obtient que \(y = x^{-1}\). Comme \(y \in H\), \(x^{-1} \in H\).
Exercice 1517 **
18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniOn considère le groupe \((\mathbb{R} , +)\) et \(A=\left\{ \dfrac{1}{n}~|~ n\in \mathbb{N}^{*}\right\}\). Trouver le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-groupe contenant la partie \(A\).
[ID: 3277] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1517
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
Un tel groupe contient tous les inverses d’entiers (non nuls) mais aussi toutes les sommes \(\dfrac1n + \ldots + \dfrac1n\) ainsi que leurs opposés. Donc un tel groupe contient \(\mathbb{Q}\). Comme \((\mathbb{Q},+)\) est un groupe, c’est le plus petit d’entre eux.
Exercice 1518 **
18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniOn considère un groupe commutatif \((G, .)\). On dit qu’un sous-groupe \(H\) est distingué lorsque \(\forall g \in G\), \(\forall h \in H\), \(g.h.g^{-1} \in H\). Soient deux sous-groupes \(G_1\) et \(G_2\) distingués de \(G\). Montrer que l’ensemble \(G_1G_2 = \left\{g_1.g_2~|~(g_1,g_2) \in G_1 \times G_2 \right\}\) est un sous-groupe distingué.
[ID: 3279] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1518
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
Soit \(g \in G,\, h \in G_1 G_2\). \(\exists (g_1,g_2) \in G_1 \times G_2, h = g_1g_2\) donc \(g.h.g^{-1} = g.g_1g_2.g^{-1} = \left( g.g_1g^{-1}\right) \left( gg_2.g^{-1}\right)\). Or \(G_1\) est distingués dans \(G\), donc \(g^\prime_1 = g.g_1g^{-1} \in G_1\). De même, comme \(G_2\) est distingués dans \(G\), donc \(g^\prime_2 = g.g_2g^{-1} \in G_2\). Donc \(g.h.g^{-1} = g^\prime_1g^\prime_2 \in G_1 G_2\), ce qu’il fallait vérifier.
Exercice 1519 ***
18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit un groupe \((G,.)\) et deux sous-groupes \(H\), \(K\) du groupe \(G\).
On note \[HK=\left\{ x\in G \mid \exists h\in H:\, \exists k\in K:\, x=hk\right\}\]
Soit \(x\in G\). Montrer que \[x\in HK \Longleftrightarrow x^{-1} \in KH\]
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) \(HK\) est un sous-groupe de \(G\).
(ii) \(KH\) est un sous-groupe de \(G\).
(iii) \(HK=KH\).
Il faut bien comprendre la
signification des notations. Par exemple, \(HK=KH\) ne revient pas à dire que \(\forall (h,k)\in H\times K\), \(hk=kh\)!
[ID: 3281] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1519
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
Soit un élément \(x\in HK\), il existe deux éléments \((h,k)\in H\times K\) tels que \(x=hk\). Alors \(x^{-1}=k^{-1}h^{-1} \in KH\). Si \(x^{-1}\in KH\), alors il existe \((k,h)\in K\times H\) tels que \(x^{-1}=kh\) et donc \(x=(x^{-1})^{-1}=h^{-1}k^{-1} \in HK\) (car \(H\) et \(K\) sont des sous-groupes et donc si \(h\in H\), on a aussi \(h^{-1}\in H\)).
\((i)\Rightarrow (ii)\) : Montrons que \(KH\) est un sous-groupe. Si \(e\) désigne l’élément neutre de \(G\), alors puisque \(e\in K\) et \(e\in H\) (sous-groupes), par définition, \(e=ee\in KH\). Soit \((x,y)\in (KH)^{2}\). Montrons que \(xy^{-1}\in KH\). D’après 1), il suffit de montrer que \((xy^{-1})^{-1} \in HK\). Or \((xy^{-1})^{-1}=yx^{-1}\) et puisque \(y\in KH\), \(y^{-1}\in HK\) et \(x^{-1}\in HK\). Mais puisque \(HK\) est un groupe, \(y=(y^{-1})^{-1}\in HK\) et aussi \(yx^{-1}\in HK\).
\((ii)\Rightarrow (i)\) se démontre de même. (A faire !).
Montrons que \((ii)\Rightarrow (iii)\). Montrons que \(HK \subset KH\): Soit \(x\in HK\). \(\exists (h,k)\in H\times K\) tel que \(x=hk\). Mais puisque \(KH\) est un sous-groupe et qu’on a \((ii)\Rightarrow (i)\), on sait aussi que \(HK\) est un sous-groupe. Par conséquent, \(x^{-1}\in HK\): \(\exists (h',k')\in H\times K\) tels que \(x^{-1}=h'k'\). Alors \(x=(k')^{-1}(h')^{-1} \in KH\). On démontre de la même façon que \(KH\subset HK\).
\((iii)\Rightarrow (i)\) : On a bien \(e=ee\in HK\). Soit \(x\in HK\). D’après 1), \(x^{-1}\in KH\) et puisque \(KH=HK\), il vient que \(x^{-1}\in HK\). Soient \((x,y)\in (HK)^2\). Montrons que \(xy\in HK\). Comme \(x\in HK\), il existe \((h,k)\in H\times K\) tels que \(x=hk\). De même, il existe \((h',k')\in H\times K\) tels que \(y=h'k'\). Alors \(xy=h(kh')k'\). Mais comme \(kh'\in KH\) et que \(KH=HK\), il vient que \(kh'\in HK\). Donc il existe \((h'',k'')\in H\times K\) tels que \(kh'=h''k''\). Alors \(xy=hh''k''k\). Mais puisque \(H\) et \(K\) sont des sous-groupes, \(hh''\in H\) et \(k''k\in K\) et donc \(xy=hh''k''k\in HK\).
Théorème de Lagrange ***
18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit \((G,.)\) un groupe de cardinal \(n\) et \(H\subset G\) un sous-groupe de \(G\) de cardinal \(p\). Pour \(a\in G\), on note \[aH=\{ ah; h\in H \}\]
Lorsque \(a\in H\), déterminer \(aH\).
Pour \((a,b)\in G^2\), montrer que \[aH\cap bH\neq \varnothing\Rightarrow aH=bH\]
En déduire que \(p\) divise \(n\).
[ID: 3283] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Théorème de Lagrange
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
Lorsque \(a\in H\), on montre que \(aH=H\).
Supposons qu’il existe \(\theta \in aH\cap bH\). Alors \(\exists(h,k)\in H^2\) tels que \(\theta = ah = bk\). Montrons que \(aH \subset bH\). Soit \(x\in aH\). Donc \(\exists l\in H\) tel que \(x=al\). Mais puisque \(a=bkh^{-1}\), il vient que \(x=bkh^{-1}l\) et puisque \(H\) est un sous-groupe de \(G\), et que \((k,h,l)\in H^3\), \(kh^{-1}l\in H\). Par conséquent, \(x\in bH\). On montre de la même façon que \(bH\subset aH\).
Considérons tous les ensembles \(aH\) lorsque \(a\) parcourt \(G\). Deux tels ensembles sont disjoints ou confondus. On a donc un nombre fini de tels ensembles disjoints tels que l’union de ces ensembles soit égale à \(G\): en effet, si \(a\in G\), alors \(a=ae\in aH\).
Puisque l’application \(\varphi:\left\{ \begin{array}{ccl} H & \longrightarrow & aH \\ x & \longmapsto & ax \end{array} \right.\) est bijective, \(\left| aH \right| = \left| H \right|\) et donc toutes les classes ont le même cardinal \(p\).
En notant \(q\) le nombre de \(aH\) distincts, d’après le lemme des bergers (corollaire [lemme_des_bergers] p. [lemme_des_bergers]), il vient que \[n = pq \Rightarrow p \textrm{ divise } n\]
Exercice 1521 ***
18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe AntoniniSoit un groupe \((G, .)\) non commutatif d’élément neutre \(e\). On suppose qu’il existe deux éléments \((s, t) \in G^2\) vérifiant \(s^2 = t^2 = e\). On note \[\Gamma = \left\{ (st)^n~;~t.(st)^n~;~(st)^n.s~;~t.(st)^n.s~|~ n \in \mathbb N\right\}\] Montrer que \(\Gamma\) est un sous-groupe du groupe \(G\).
[ID: 3285] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]
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Exercice 1521
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
\(\Gamma\) est non vide. Démontrons qu’il est stable. Il y a \(16\) cas à vérifier. Par exemple il s’agit de démontrer - par récurrence sur \(m\) - que \((st)^n.t(st)^m = (st)^{n-m}s\) pour \(n< m\) et \(t(st)^{m-n}\) pour \(n\geqslant m\). On en déduit que \((st)^n.t(st)^ms = (st)^{n-m}s.s = (st)^{n-m}\) pour \(n< m\) et \(t(st)^{m-n}s\) pour \(n\geqslant m\), puis que \(t(st)^n.t(st)^ms = t(st)^{n-m}\) pour \(n< m\) et \(t.t(st)^{m-n}s = (st)^{m-n}s\) pour \(n\geqslant m\).
De même, \((st)^ns.(st)^m = t(st)^{n-m}\) pour \(n< m\) et \((st)^{m-n}s\) pour \(n\geqslant m\). On en déduit que \((st)^ns.(st)^ms = t(st)^{n-m}s\) pour \(n< m\) et \((st)^{m-n}\) pour \(n\geqslant m\), puis \(t(st)^ns.(st)^m = (st)^{n-m}\) pour \(n< m\) et \(t(st)^{m-n}s\) pour \(n\geqslant m\). Les autres cas sont rapidement vérifiés.
Pour les inverses, \((st)^n.s\) et \(t.(st)^n\) sont leurs propres inverses. D’autre part \((st)^n\left( t.(st)^{n-1}.s \right)\) pour \(n\geqslant 1\) montre que l’inverse de \((st)^n\) est \(t.(st)^{n-1}.s\). On en déduit que l’inverse de \(t.(st)^n.s\) est \((st)^{n+1}\). \(\Gamma\) est donc un sous-groupe du groupe \(G\).