On considère un polynôme \(P(X) = aX^2 + bX + c \in \mathbb{\mathbb{Z} }_{ }[X]\). Montrer que s’il admet une racine rationnelle, alors au moins un des coefficients est pair.
Soit \({\scriptstyle p\over\scriptstyle q}\) une racine rationnelle où on a pris \(p\) et \(q\) premiers entre eux. En particulier \(p\) et \(q\) ne peuvent pas être tous les deux pairs. On a alors \(ap^2 + bqr + cq^2 = 0\) en chassant les dénominateurs.
Si \(p\) est pair, alors \(ap^2 + bqr\) est pair, \(q\) et \(q^2\) sont impairs. Comme \(cq^2\) est pair, nécéssairement, \(c\) est pair.
Si \(q\) est pair, alors, de façon symétrique, \(a\) est pair.
Si \(p\) et \(q\) sont impairs, alors si on suppose de plus que les trois coefficients \(a,b\) et \(c\) sont impairs, alors \(ap^2 + bqr + cq^2\) serait la somme de trois nombres impairs et donc serait impair. Contradiction (zéro serait impair).