Fonctions holomorphes

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Fonctions holomorphes

Exercice 1329

9 novembre 2022 12:19 — Par Patrice Lassère

Bibliographie


[ID: 2531] [Date de publication: 9 novembre 2022 12:19] [Catégorie(s): Géométrie Topologie Continuité Dérivabilité Intégration Suites et séries Suites et séries de fonctions, séries entières Fonctions holomorphes Calcul différentiel Equations différentielles Analyse fonctionnelle Combinatoires et probabilités En cours... ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]
Solution

Baireries dans \(\mathscr O(\Omega)\) *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Soit \(\Omega\) un ouvert non vide et distinct de \(\mathbb C\). Pour \(a\in\partial\Omega=\overline{\Omega}\setminus\Omega,\ r\in\mathbb R_+^\star\) et \(n\in\mathbb N^\star\) on note : \[\mathscr E_n:=\left\lbrace \,f\in\mathscr O(\Omega)\ :\ \vert f(z)\vert\leq n,\ \forall\,z\in D(a,r)\cap\Omega\,\right\rbrace .\]

  1. Pour \(f\in\mathscr E_n\), si \((z_k)_k\) est une suite dans \(\Omega\) convergente vers \(a\) on pose \[f_k(z)=2n+\dfrac{z-z_k}{z-a}\left(f(z)-2n\right)=f(z)+\dfrac{z_k-a}{z-a}(2k-f(z)),\quad z\in\Omega.\] Montrer que la suite \((f_k)_k\) converge vers \(f\) dans \(\mathscr O(\Omega)\).

  2. Montrer que \(\mathscr E_n\) est d’intérieur vide dans \(\mathscr O(\Omega)\).

  3. Montrer que \(\mathscr E_n\) est fermé dans \(\mathscr O(\Omega)\).

  4. En déduire que l’ensemble \(\mathscr O(\Omega)\cap L^\infty(D(a,r))\) est maigre dans \(\mathscr O(\Omega)\).

  5. Montrer que l’ensemble \(\mathscr F\) des fonction \(f\in\mathscr O(\Omega)\) analytiquement prolongeables à un ouvert strictement plus grand que \(\Omega\) est un partie maigre de \(\mathscr O(\Omega)\). En déduire que \(\mathscr G:=\mathscr O(\Omega)\setminus \mathscr F\) est non maigre et partout dense.

  6. Montrer que \(\mathscr O(\Omega)=\mathscr G+\mathscr G\) (considérer pour \(f\in\mathscr O(\Omega)\) l’application \(T_f\ :\ \mathscr G\ni g\mapsto f-g\in\mathscr O(\Omega)\) ....).


[ID: 2969] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]
Solution

Baireries dans \(\mathscr O(\Omega)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

  1. Il est suffisant de montrer que la suite \((f_k)_k\) converge uniformément sur toute boule fermée \(\overline{B(b,\delta)}\subset\Omega\). Comme \(a\in\partial\Omega\), il existe \(\delta_0>0\) tel que \[\vert z-a\vert\geq \delta_0,\ \forall\,z\in\overline{B(b,\delta)}\ ;\] il existe aussi une constante \(C>0\) telle que \[\sup_{z\in\overline{B(b,\delta)}}\vert 2n-f(z)\vert\leq C.\] Ces deux inégalités impliquent que \[\begin{aligned}\vert f_k(z)-f(z)\vert&=\left\vert\dfrac{z_k-a}{z-a}\right\vert\cdot\vert 2n-f(z)\vert\\ &\leq \vert z_k-a\vert\cdot\dfrac{C}{\delta_0}\underset{k\to\infty}{\longrightarrow}0 \end{aligned}\] pour tout \(z\in\overline{B(b,\delta)}\). on a donc \[\lim_{k\to\infty}\sup_{z\in\overline{B(b,\delta)}}\vert f_k(z)-f(z)\vert=0\] la suite \((f_k)_k\) est bien uniformément convergente vers \(f\) sur tout disque \(\overline{B(b,\delta)}\subset\Omega\) i.e. \(f_k\to f\) dans \(\mathscr O(\Omega)\).

  2. Vérifions que pour toute fonction \(f\in\mathscr E_n\) on a \(f_k\not\in\mathscr E_n\) pour tout \(k\in\mathbb N\). Pour cela on peut écrire \[\begin{aligned}\vert f_k(z)\vert &\geq -\vert f(z)\vert+\left\vert\dfrac{z-z_k}{z-a}\right\vert\cdot\vert f(z)-2n\vert\\ &\geq -\vert f(z)\vert+\left\vert\dfrac{z-z_k}{z-a}\right\vert\cdot(2n-f(z)),\quad\forall\,z\in\Omega\\ &\geq -p+\left\vert\dfrac{z-z_k}{z-a}\right\vert\cdot(2n-n),\quad\forall\,z\in D(a,r)\cap\Omega\\ &\geq -p+\left\vert\dfrac{z-z_k}{z-a}\right\vert\cdot n\ \underset{z\to a}{\longrightarrow}+\infty, \end{aligned}\] les applications \(f_k\) ne sont donc pas bornées sur \(D(a,r)\cap\Omega\) : \(f_k\not\in\mathscr E_n\) pour tout \(k\in\mathbb N\). Mais comme \(f_k\to f\) dans \(\mathscr O(\Omega)\), la fonction \(f\) n’est pas intérieure à \(\mathscr E_n\) ; \(f\) étant arbitraire, chaque ensemble \(\mathscr E_n\) est d’intérieur vide.

  3. Une suite \((g_k)_k\subset\mathscr E_n\) convergente dans \(\mathscr O(\Omega)\) vers une fonction \(g\) converge en particulier simplement sur \(\Omega\) et donc sur \(D(a,r)\cap\Omega\). Ainsi, \(\forall\,z\in D(a,r)\cap\Omega\), \[\bigl(\vert g_k(z)\vert\leq n\quad \&\quad \lim_k g_k(z)=g(z)\bigr) \Longrightarrow \vert g(z)\vert\leq n\] soit \(g\in\mathscr E_n\) qui est bien fermé dans \(\mathscr O(\Omega)\).

  4. Vu ce qui précède, \[\mathscr O(\Omega)\cap L^\infty(D(a,r))=\{\, f\in\mathscr O(\Omega)\ \rm{et\ bornées\ sur }\ D(a,r)\cap\Omega\,\}=\bigcap_{n\in\mathbb N}\,\mathscr E_n\] est maigre dans \(\mathscr O(\Omega)\) comme réunion des ensembles rares \(\mathscr E_n\) .

  5. Soit \(f\in\mathscr F\), il existe un domaine \(\Delta_f\underset{\neq}{\supset}\Omega\) tel que \(f\in\mathscr O(\Omega)\) ; il existe donc \(a\in\partial\Omega, r>0\), tels que \(\overline D(a,r)\subset\Delta_f\) et par suite \(f\) est bornée sur \(D(a,r)\), donc sur \(D(a,r)\cap\Omega\) : il existe donc \(n\in\mathbb N\) tel que \(f\in\mathscr E_{n,a}:=\left\lbrace \,f\in\mathscr O(\Omega)\ :\ \vert f(z)\vert\leq n,\ \forall\,z\in D(a,r)\cap\Omega\,\right\rbrace\). On considère alors une partie dénombrable dense \(A\subset \partial\Omega\) et la suite \((D_n)_n\) des disques centrés en \(a\in A\) à rayons rationnels et enfin les ensembles \[\mathscr E_n^l:=\left\lbrace \,f\in\mathscr O(\Omega)\ :\ \vert f(z)\vert\leq n,\ \forall\,z\in D_l\cap\Omega\,\right\rbrace.\] Vu ce qui précède, les ensembles \(\mathscr E_n^p\) sont rares et \(\mathscr F\subset\bigcup_{n,l}\,\mathscr E_n^l\) est donc maigre.

    \(\mathscr O(\Omega)\) étant un espace de baire, \(\mathscr F\) maigre implique que \(\mathscr G=\mathscr O(\Omega)\setminus\mathscr F\) est non maigre et partout dense.

  6. Soit \(f\in\mathscr O(\Omega)\) et considérons l’application \(\Lambda_f\ \mathscr O(\Omega)\ni g\mapsto \Lambda_f(g)=f-g\). C’est un isomorphisme topologique de \(\mathscr O(\Omega)\) et par conséquent \(\Lambda_n(\mathscr G)\) est une partie non maigre de \(\mathscr O(\Omega)\) ; en particulier \(\Lambda_n(\mathscr G)\cap\mathscr G\neq \emptyset\). Il existe donc \(g\in\mathscr G\) tel que \(h=\Lambda_f(g)=f-g\in\mathscr G\). \(f\) étant arbitraire, on a bien \(\mathscr O(\Omega)=\mathscr G+\mathscr G\).


Calcul de \(\zeta(2)\) par la méthode des résidus *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Appliquer convenablement le théorème des résidus à la fonction méromorphe \(f(z)=\pi z^{-2}\text{cotan}(\pi z)\) pour en déduire la valeur de \(\zeta(2):=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\).


[ID: 2971] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]
Solution

Calcul de \(\zeta(2)\) par la méthode des résidus
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

L’ensemble des pôles de \(f\) est \(\mathbb Z\) et après un calcul classique, le résidu de \(f\) à l’origine vaut \(\text{res}(f,0)=-\frac{\pi^2}{3}\) et en un entier \(n\in\mathbb Z^\star\ :\ \text{res}(f,n)= \frac{1}{n^2}\).

Soit \(\gamma_N\) (\(N\geq 1\)) le contour rectangulaire de sommets \((\pm 1\pm i)(N+\frac{1}{2})\), par le théorème des résidus \[-\dfrac{\pi^2}{3}+2\sum_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_N} f(z)dz:=I_n.{(\bigstar)}\] Maintenant pour \(\pi z=x+iy\in\mathbb C\) un petit calcul nous donne \[\vert\text{cotan}(\pi z)\vert^2=\dfrac{\cos^2(x)+\text{sh}^2(y)}{\sin^2(x)+\text{sh}^2(y)},\] soit, si \(z\) parcourt les cotés verticaux de \(\gamma_N\) \[\vert\text{cotan}(\pi z)\vert^2=\dfrac{\text{sh}^2(y)}{\sin^2(x)+\text{sh}^2(y)}<1\] alors que sur les cotés horizontaux \[\vert\text{cotan}(\pi z)\vert^2=\dfrac{1+\text{sh}^2(\pi(N+\frac{1}{2}))}{\text{sh}^2(\pi(N+\frac{1}{2}))} =\text{coth}^2(\pi(N+\frac{1}{2}))\leq\text{coth}^2(\frac{\pi}{2})\] si bien que \(z\mapsto\vert\text{cotan}(\pi z)\vert\) est uniformément (en \(N\)) )bornée sur tout contour \(\gamma_N\) par \(\text{coth}(\frac{\pi}{2})\) et par suite \[\forall N\in\mathbb N^\star\quad :\quad \vert f(z)\vert\leq \dfrac{\pi\text{coth}(\frac{\pi}{2})}{(N+\frac{1}{2})^2},\quad\forall\,z\in\gamma_N.\] Estimation qui assure \[\vert I_N\vert \leq \dfrac{8\pi\text{coth}(\frac{\pi}{2})(N+\frac{1}{2})}{2\pi(N+\frac{1}{2})^2} \longrightarrow \,0\quad\text{si }\ N\to +\infty.\] avec \((\bigstar)\) on tire aussitot \(\zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{6}.\)


Le théorème de Rolle version holomorphe *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\) une fonction holomorphe sur un ouvert convexe \(D\subset \mathbb C\), pour \(a\ne b\in D\) vérifiant \(f(a)=f(b)\), montrer qu’il existe \[z_1,z_2\in]a,b[=\{\,a+t(b-a),\ 0<t<1\,\}\] vérifiant \[\text{re}(f'(z_1))= \text{im}(f'(z_2))=0.\]



[ID: 2973] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]
Solution

Le théorème de Rolle version holomorphe
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

Si \(a=a_1+ia_2,\ b=b_1+ib_2\) considérons l’application \(\varphi\) de \([0,1]\) dans \(\mathbb R\) définie par

\[\varphi(t)=\langle\, f(a+t(b-a)),b-a\,\rangle_{\mathbb C} = \text{re}\left(f(a+t(b-a)\right)(b_1-a_1)+ \text{im}\left(f(a+t(b-a)\right)(b_2-a_2),\]

vu les hypothèses, \(\varphi\) est dérivable sur \([0,1]\) et \(\varphi(0)=\varphi(1)\) ; par Rolle, il existe donc \(t_1\in]0,1[\) vérifiant \(\varphi'(t_1)=0\) et par un calcul classique : \[\begin{aligned} 0=\varphi'(t_1)&=(b_1-a_1)\big(\partial_x\text{re}(f)(a+t_1( b-a))(b_1-a_1)+\partial_y\text{re}(f)(a+t_1(b-a))(b_2-a_2) \big)\\ &+(b_2-a_2)\big(\partial_x\text{im}(f)(a+t_1(b- a))(b_1-a_1)+\partial_y\text{im}(f)(a+t_1(b-a))(b_2-a_2) \big) \end{aligned}\] si bien qu’avec les équations de Cauchy-Riemann il reste (avec \(z_1=a+t_1(b-a)\)...)

\[0=\varphi'(t_1)= \left((b_1-a_1)2+(a_2-b_2)2\right)\partial_x\text{re}(f)(z_1)\]

\(a\) et \(b\) étant distincts on a donc \(\partial_x\text{re}(f)(z_1)=0\) avec \(z_1\in]a,b[\). Il reste encore une fois à utiliser Cauchy-Riemann pour remarquer que \(\text{re}(f')(z)=\text{re}\left({\partial f\over\partial z}(z)\right)=\text{re}\left({\partial f\over\partial x}(z)\right)=\partial_x\text{re}(f)(z)\) et conclure. Pour la partie imaginaire on remplace \(f\) par \(-if\).

Remarques : -Le théorème de Rolle est faux pour une fonction à valeurs vectorielles : par exemple la fonction \(f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R,\mathbb R^2)\) (ou bien \(f(t)=e^{it}\)) définie par \(f(t)=(\cos(t),\sin(t))\) qui vérifie \(f(0)=f(2\pi)\) mais sa différentielle n’est jamais nulle sur \([0,2\pi]\).

-Pour \(f\ :\ \mathbb C\to\mathbb C\) holomorphe ce résultat négatif à fortiori subsiste (c.f. \(f(z)=e^z\) où \(\vert f'(z)\vert=\vert e^z\vert\ne 0\))

toutefois comme le précise cet exercice, l’holomorphie (si \(f\) est seulement \(\mathscr C^\infty\) c’est sans espoir) permet de conserver le résultat pour les parties réelles et imaginaires de la fonction.


Une preuve presque holomorphe du théorème de Cayley-Hamilton *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

D’après Charles A. McCarthy , [amm], "The Cayley-Hamilton Theorem", The American Mathematical Monthly, 82 (4), 1975, p. 390–391

  1. Soient \(A\in M_n(\mathbb C)\) une matrice carrée complexe, \(k\in\mathbb N^\star\). Montrer qu’il existe \(R\geq 0\) tel que \[\forall\,r\geq R\ :\ A^k=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left( re^{it}\right)^{k+1}\left( re^{it}Id-A\right)^{-1} dt.\]

  2. En déduire le théorème de Cayley-Hamilton.



[ID: 2975] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]
Solution

Une preuve presque holomorphe du théorème de Cayley-Hamilton
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

  1. Si nous munissons \(M_n(\mathbb C)\) de la norme \(\Vert A\Vert :=\text{max} \lbrace \vert a_{i,j}\vert,\ 1 \leq i,j\leq n\rbrace,\ A=((a_{i,j}))\in M_n(\mathbb C)\), on vérifie par une récurrence élémentaire que \[\forall\, A\in M_n(\mathbb C),\ k\in\mathbb N^\star\ :\ \Vert A^k\Vert \leq n^{k-1}\Vert A\Vert^k.\] Ces inégalités assurent que le rayon de convergence de la série entière \(\sum_k \Vert A^k\Vert z^k\) est supérieur ou égal à \((n\Vert A\Vert)^{-1}\) et par suite, la série de matrices \(\sum_k \zeta^{-(k+1)}A^k\) converge dans \(M_n(\mathbb C)\) normalement sur tout compact de \(\mathbb C\setminus \overline{D(0,n\Vert A\Vert)}\). On vérifie alors (classiquement) \[(\zeta I_n-A)\left( \sum_{k=0}^\infty \zeta^{-(k+1)}A^k\right)=\lim_{N\to\infty}\left( I_n-\zeta^{-(N+1)}A^{N+1}\right) =I_n,\ \forall\,\vert\zeta\vert > n\Vert A\Vert.\] Autrement dit \[\begin{cases} \zeta I_n-A\in GL_n(\mathbb C),\quad \forall\,\vert\zeta\vert > n\Vert A\Vert\\ ( \zeta I_n-A)^{-1}=\sum_{k=0}^\infty \zeta^{-(k+1)}A^k,\quad \forall\,\vert\zeta\vert > n\Vert A\Vert. \end{cases}\] La normale convergence sur tout cercle \(C(0,r),\ r>n\Vert A\Vert\) assure l’échange \(\int\sum=\sum\int\) ci-dessous \[\begin{aligned} \dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)} \zeta^k ( \zeta I_n-A)^{-1} d\zeta &= \dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)} \zeta^k \left( \sum_{l=0}^\infty \zeta^{-(l+1)}A^l\right) d\zeta\\ &=\sum_{l=0}^\infty A^l \dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)} \zeta^{k-l-1}d\zeta\\ &=\sum_{l=0}^\infty A^l \dfrac{1}{2i\pi}\int_0^{2\pi} \left( r e^{i\theta}\right)^{k-l-1}ire^{i\theta}d\theta\\ &=\sum_{l=0}^\infty r^{k-l}A^l \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{i\theta(k-l)}d\theta\\ &= A^k,\quad \forall k\in\mathbb N. \end{aligned}\]

  2. Cette formule étant vérifiée pour tout entier \(k\), la linéarité de l’intégrale nous assure que \[P(A)= \dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)} P(\zeta) ( \zeta I_n-A)^{-1} d\zeta,\quad\forall\,P\in\mathbb C[z],\quad r>n\Vert A\Vert.\] (remarquer l’analogie avec la formule de Cauchy \(f(z)=\dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)}\dfrac{f(u)}{u-z}du,\ \vert z\vert<r\), ici \(\Vert A\Vert\leq n\Vert A\Vert<r\)....)

    En particulier pour le polynôme caractéristique de \(A\) : \(P(z)=P_A(z)=\det(zI_n-A)\) (ou \(\det(A-zI_n)\) selon l’usage) \[P_A(A)= \dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)} P_A(\zeta) ( \zeta I_n-A)^{-1} d\zeta= \dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)} \det(\zeta I_n-A) ( \zeta I_n-A)^{-1} d\zeta,\] comme \[( \zeta I_n-A)^{-1}=\left[ \det(\zeta I_n-A)\right]^{-1}\ \!^t\text{com}(\zeta I_n-A)=\left[ \det(\zeta I_n-A)\right]^{-1} ((C_{i,j}(\zeta)))\] où \(C_{i,j}(\zeta)\) est le cofacteur d’indice \(j,i\) de \(\zeta I_n-A\), donc un polynôme en \(\zeta\), donc d’intégrale nulle sur tout cercle \(C(0,r)\), nous avons finalement \[P_A(A)=\dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)} ((C_{i,j}(\zeta))) d\zeta=0\] i.e. \[P_A(A)=0,\quad\forall\,A\in M_n(\mathbb C).\] Le théorème de Cayley-Hamilton est bien démontré.


Une fonction entière prenant des valeurs réelles sur deux droites sécantes *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

On suppose qu’une fonction entière non constante \(f\) ne prends que des valeurs réelles sur deux droites sécantes du plan complexe.

Montrer que l’angle formé par ces deux droites est un multiple rationel de \(\pi\).


[ID: 2977] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]
Solution

Une fonction entière prenant des valeurs réelles sur deux droites sécantes
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

Si les deux droites s’intersectent au point \(a\), quitte à considérer \(g(z)=f(z+a)-f(z)\), on peut supposer que \(a=f(a)=0\).

On a alors \(f(z)=bz^n(1+o(1))\) lorsque \(z\to 0\) avec \(b\neq 0\) et \(n\in\mathbb N^\star\). En particulier, \(f\) est sans zéros sur un voisinage épointé de l’origine (ou bien, invoquer les zéros isolés). Soient \(e^{i\alpha},\ e^{i\beta}\) les vecteurs directeurs de nos deux droites, pour \(t\in\mathbb R\) \(f(te^{i\alpha})\) et \((te^{i\beta})\) sont réels ; il en est donc de même de \[\lim_{t\to 0}\dfrac{f(te^{i\alpha})}{f(te^{i\beta})}= \lim_{t\to 0}\dfrac{ce^{in\alpha}t^n(1+o(1))}{ce^{in\beta}t^n(1+o(1))} =e^{in(\alpha-\beta)}\] i.e. \(in(\alpha-\beta)\in i\pi\mathbb Z\), finalement \(\alpha-\beta\in\pi\mathbb Q\).


Une fonction entière non constante mais bornée sur toute droite passant par l’origine. *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Bak & Newman, C.Zuily ref. ??

On pose pour \(z\in\mathbb C\) \[f(z)=\int_0^{\infty}\dfrac{e^{zt}}{t^t}dt.\]

  1. Montrer que \(f\) est bien définie et continue sur \(\mathbb C\).

  2. Montrer que \(f\) est holomorphe sur \(\mathbb C\) et y vérifie \(\overline{f(z)}=f(\overline z)\).

  3. On désigne par \(\log\) la fonction logarithme définie dans le demi-plan \(U=\{ z=x+iy\ :\ x+y>0\}\) qui coïncide avec le logarithme usuel sur le demi-axe réel positif et par \(w\mapsto w^w\) la fonction holomorphe sur \(U\) égale à \(\exp(w\log(w))\). Soient enfin \(C_r\) et \(C_\varepsilon\) les quarts de cercles de rayon respectivement \(r\) et \(\varepsilon\) centrés à l’origine dans le premier quadrant. En intégrant la fonction \(w\mapsto \dfrac{\exp(wz)}{w^w}\) sur le contour ci-contre, montrer que \[f(z)=\int_0^\infty\dfrac{\exp(itz)}{\exp(it\log(t)-t\frac{\pi}{2})}- \lim_{r\to\infty}\int_{C_r}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw.\]

  4. Pour \(z=x+iy\) avec \(y=\frac{\pi}{2}+C\) où \(C>0\). Montrer que la première intégrale est majorée par \(C^{-1}\) et en déduire que \(\vert f(z)\vert\leq C^{-1}\). Montrer que \(\vert f(z)\vert\leq 1\) pour \(\vert\text{Im}(z)\vert\geq \pi\).

  5. Soit \(g(z)=f(z-2i\pi)\). Montrer que \(g\) est bornée sur toute demi-droite issue de l’origine et holomorphe sur \(\mathbb C\).

  6. Montrer que \(\displaystyle\lim_{\vert z\vert\to\infty}\vert g(x+2i\pi)\vert=+\infty\).


[ID: 2979] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]
Solution

Une fonction entière non constante mais bornée sur toute droite passant par l’origine.
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

  1. et

  2. L’intégrale impropre définissant \(f\) est clairement convergente pour tout \(z\in\mathbb C\) (l’intégrande se prolonge continuement à l’origine et est un \(o(t^{-2})\) à l’infini) : \(f\) est donc bien définie sur \(\mathbb C\). Pour les mêmes raisons, on peut localement appliquer le théorème de continuité et dérivation des intégrales à paramètres ([wahol], théorème 1.16.1) pour affirmer que \(f\) est holomorphe sur \(\mathbb C\) (on peut aussi invoquer ce théorème pour montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb C\) puis conclure avec celui de Moréra ; ou enfin encore développer \(f\) en une série entière de rayon de convergence infini). La formule \(\overline{f(z)}=f(\overline z)\) est elle immédiate.

  3. Pour \(w\in\mathbb C\setminus \mathbb R_-\) posons \(w^w=\exp(w\log(w))\) où \(\log\) est la détermination principale du logarithme. La fonction \(g\ :\ w\mapsto \dfrac{\exp(wz)}{w^w}\) étant holomorphe sur \(\mathbb C\setminus \mathbb R_-\), le théorème de Cauchy assure que pour tous \(0<\varepsilon<r\) \[\int_{C_{\varepsilon,r}}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw=0\] où \(C_{\varepsilon,r}\) est le chemin indiqué dans la figure ci-dessous.

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    Soit \[\int_{C_{\varepsilon,r}}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw=\int_{[\varepsilon,r]}+ \int_{C_r}+\int_{C_\varepsilon}+\int_{[ir,i\varepsilon]}=0,\quad\forall\ 0<\varepsilon<r.\] Bien évidemment \[\int_{[\varepsilon,r]}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw=\int_\varepsilon^r \dfrac{\exp(tz)}{t^t}dt\quad \underset{\underset{\varepsilon\to 0}{r\to 0}}{ \longrightarrow}\quad \int_\varepsilon^r \dfrac{\exp(tz)}{t^t}dt=f(z)\] et \[\int_{[ir,i\varepsilon]}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw=-\int_\varepsilon^r \dfrac{e^{itz}}{\exp{it(\log(t)+i\pi/2)}}idt\quad \underset{\underset{\varepsilon\to 0}{r\to 0}}{ \longrightarrow}\quad \dfrac{e^{itz}}{\exp{it(\log(t)+i\pi/2)}}idt.\] Sur le contour \(C_\varepsilon\) nous avons \[\begin{aligned} \left\vert \int_{C_\varepsilon}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw \right\vert &= \left\vert \int_0^{\pi/2}\dfrac{\exp\left\lbrace \varepsilon(\cos(\theta)+i\sin(\theta))(x+iy)\right\rbrace } {\exp \left\lbrace \varepsilon(\cos(\theta)+i\sin(\theta))(\log(\varepsilon)+i\theta)\right\rbrace }i\varepsilon e^{i\theta}d\theta \right\vert\\ &\leq \int_0^{\pi/2} \dfrac{\exp\left\lbrace \varepsilon(x\cos(\theta)-y\sin(\theta))\right\rbrace } {\exp \left\lbrace \varepsilon(\log(\varepsilon)\cos(\theta)-\theta\sin(\theta))\right\rbrace } \varepsilon d\theta \\ &\leq \int_0^{\pi/2}\exp\left\lbrace \varepsilon\cos(\theta)(x-\log(\varepsilon)) \right\rbrace \exp\left\lbrace \varepsilon\sin(\theta)(\theta-y) \right\rbrace \varepsilon d\theta\\ &= \int_0^{\pi/2} g_{x,y}(\varepsilon,\theta)d\theta = \int_0^{2\pi} C\varepsilon d\theta = \dfrac{C\pi\varepsilon}{2} \end{aligned}\] par continuité \((\varepsilon,\theta)\mapsto g_{x,y}(\varepsilon,\theta)\) sur le compact \([0,1]\times[0,2\pi]\) (ou, au choix par convergence dominée) ; en conséquent \[\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{C_\varepsilon}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw=0\] et finalement \[\lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{r\to\infty}\int_{C_{\varepsilon,r}}g(w)dw=0 =f(z)-\int_0^\infty \dfrac{e^{itz}}{\exp{it(\log(t)+i\pi/2)}}idt+\lim_{r\to\infty}\int_{C_r} \dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw\] d’où la formule désirée \[f(z)=\int_0^\infty \dfrac{e^{itz}}{\exp{it(\log(t)+i\pi/2)}}idt- \lim_{r\to\infty}\int_{C_r}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw.{\text{($\star$)}}\]

  4. Soit \(z=x+iy=x+i(\pi/2+C),\ (C>0)\) un nombre complexe de partie imaginaire strictement plus grande que \(\pi/2\). Le premier terme à droite dans (\(\star\)) est majoré par \(C^{-1}\) \[\begin{aligned} \left\vert \int_0^\infty \dfrac{e^{itz}}{\exp{it(\log(t)+i\pi/2)}}idt\right\vert&\leq \int_0^\infty \left\vert\exp(itz)\right\vert \exp(t\pi/2)dt\\ &\leq \int_0^\infty \exp\left\lbrace -t(y-\pi/2)\right\rbrace dt\\ &\leq \int_0^\infty \exp(-Ct)dt=\dfrac{1}{C}. \end{aligned}\] Pour le second terme \[\begin{aligned} \left\vert\int_{C_r}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw\right\vert&\leq \int_0^{2\pi}\left\vert \dfrac{\exp\left\lbrace r(\cos\theta+i\sin\theta)(x+i(\pi/2+C))\right\rbrace } {\exp\left\lbrace r(\cos\theta+i\sin\theta)(\log r+i\theta)\right\rbrace } ire^{i\theta}d\theta \right\vert\\ &\leq \int_0^{\pi/2} r\exp\left\lbrace r\cos\theta(x-\log r)\right\rbrace \exp\left\lbrace r\sin\theta(\theta-C-\pi/2)\right\rbrace d\theta\\ &\leq \int_0^{\pi/2}r\exp\left\lbrace r\sin\theta(\theta-\pi/2-C)\right\rbrace d\theta\qquad\text{dès que }\quad \log r>x \\ &\leq \int_0^{\pi/2}r\exp\left\lbrace -Cr\sin\theta\right\rbrace d\theta\\ &\leq \int_0^{\pi/2}r\exp\left\lbrace -\dfrac{2Cr\theta}{\pi}\right\rbrace d\theta\qquad\text{car}\quad\sin(\theta)\geq \dfrac{2\theta}{\pi}\ \text{sur}\ [0,\pi/2]\\ &\leq \dfrac{\pi}{2C}\left[ 1-e^{-Cr}\right] \mathop{\longrightarrow}\limits_{r\to +\infty}\quad \dfrac{\pi}{2C}. \end{aligned}\] On a donc pour \(r>r_0\) \[\left\vert\int_{C_r}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw\right\vert\leq \dfrac{\pi}{C}.\] Ces deux majorations assurent qu’il existe une constante \(C'>O\) telle que \[\vert f(z)\vert \leq C',\qquad \forall\,z\in\mathbb C\quad\text{vérifiant}\quad\vert\text{im}(z)\vert>\pi/2.{(\text{$\star$})}\] \(f\) est en particulier bornée en dehors de la bande horizontale \(\{z\in\mathbb C\ :\ \vert\text{im}(z)\vert\leq \pi\}\).

  5. Vu ce qui précède, la fonction entière \(g(z)=f(z-2i\pi)\) est bornée en dehors de la bande horizontale \(\{z\in\mathbb C\ :\ \pi\leq \text{im}(z)\leq 3\pi\}\) ; l’intersection de toute droite complexe passant par l’origine avec cette bande étant compacte, \(g\) est bien bornée sur une telle droite et vérifie donc la propriété désirée.

  6. On a pour \(x\in\mathbb R_+\) \[\begin{aligned} \vert g(x+2i\pi)\vert &= \vert f(x)\vert = \int_0^\infty \dfrac{e^{xt}}{t^t}dt\\ &\geq \int_0^1 \dfrac{e^{xt}}{t^t}dt = \int_0^1 e^{t(x-\log(t))}dt\\ &\geq \int_0^1 e^{tx}dt =\left[ \dfrac{e^{tx}}{x}\right]_0^1=\dfrac{e^x-1}{x} \end{aligned}\] soit \[\lim_{x\to\infty}\vert g(x+2i\pi)\vert=+\infty.\]


Sur \(\mathscr O(\Omega)\), les topologies de la convergence compacte et \(L^1_{loc}\) coïncident *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Soit \(\Omega\) un ouvert du plan complexe. Montrer que sur \(\mathscr O(\Omega)\) la topologie induite par \(L^1_{loc}(\Omega)\) coïncide avec la topologie usuelle de la convergence compacte sur \(\Omega\).


[ID: 2981] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]
Solution

Sur \(\mathscr O(\Omega)\), les topologies de la convergence compacte et \(L^1_{loc}\) coïncident
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

La topologie usuelle sur l’espace \(\mathscr O(\Omega)\) des fonctions holomorphes sur un ouvert \(\Omega\subset\mathbb C\) est la topologie de la convergence compacte \(\mathscr T_c\) sur \(\Omega\), i.e. (c.f. [watop] où exo ??) la topologie engendrée par la famille de semi-normes \((\Vert.\Vert_K)_{K\in\mathscr K(\Omega)}\). \((\mathscr O(\Omega),\mathscr T_c)\) est un espace de Fréchet (i.e. un espace localement convexe métrisable complet) et une suite \((f_n)_n\) dans \(\mathscr O(\Omega)\) converge vers \(f_in\mathscr O(\Omega)\) si, et seulement si elle converge uniformément sur tout compact de \(\Omega\).

Toute application \(f\in\mathscr O(\Omega)\) étant localement intégrable, \(\mathscr O(\Omega)\) se plonge naturellement dans \(L^1_{loc}(\Omega)\) espace des classes de fonctions localement intégrable sur \(\Omega\) et induit donc sur \(\mathscr O(\Omega)\) la topologie \(\mathscr T_{1,loc}\). Sur \((L^1_{loc}(\Omega),\mathscr T_{1,loc})\) la topologie est engendrée par les semi-normes \[\Vert f\Vert_{1,K}:=\int_K\vert f(z)\vert dxdy,\quad K\in\mathscr K(\Omega).\] Montrer que sur \(f\in\mathscr O(\Omega)\) les deux topologies \(\mathscr T_c\) et \(\mathscr T_{1,loc}\) coïncident équivaut à montrer que l’identitité \[i\ :\ (\mathscr O(\Omega),\mathscr T_c) \longrightarrow (\mathscr O(\Omega),\mathscr T_{1,loc})\] est un isomorphisme topologique.

De toute évidence, nous avons pour tout \(K\in\mathscr K(\Omega)\) \[\Vert f\Vert_{1,K}==\int_K\vert f(z)\vert dxdy\leq \lambda(K)\Vert f\Vert_{\infty,K},\qquad\forall\,f\in\mathscr O(\Omega).\] (où \(\lambda(K)=\int_K dxdy\) est la mesure de Lebesgue de \(K\)) Cette inégalité assure la continuité de \(i\ :\ (\mathscr O(\Omega),\mathscr T_c) \longrightarrow (\mathscr O(\Omega),\mathscr T_{1,loc})\), soit \(\mathscr T_{1,loc}\subset \mathscr T_c\).

Pour l’autre inclusion, nous aurons besoin de l’égalité de la moyenne planaire locale : \[\forall\,\ \overline{D(a,r)}\subset\Omega,\ \forall\,f\in\mathscr O(\Omega)\ :\quad f(a)=\dfrac{1}{\pi r^2}\int_{D(a,r)}f(x+iy)dxdy.\] (pour une démontration, passer en polaires dans l’intégrale et penser à la formule de Cauchy) Montrer inclusion \(\mathscr T_c\subset\mathscr T_{1,loc}\) équivaut à établir la continuite de \(i^{-1}\ :\ (\mathscr O(\Omega),\mathscr T_{1,loc}) \longrightarrow (\mathscr O(\Omega),\mathscr T_c)\) i.e. \[\forall\,K\in\mathscr K(\Omega),\ \exists\,L\in \mathscr(\Omega),\ C_K>0\ :\quad \Vert f\Vert_{\infty,K}\leq C_K \Vert f\Vert_{1,L},\quad\forall\,f\in\mathscr O(\Omega).{(\text{$\star$})}\] Soit donc \(K\in\mathscr K(\Omega)\), il existe \(\varepsilon>0\) tel que \[{\rm{dist}}(K,\partial\Omega)>2\varepsilon.\] Avec ce choix, \(L:=K+\overline{D(0,\varepsilon)}=\{z\in\Omega\ :\ {\rm{dist}}(z,K)\leq \varepsilon\}\) est un compact de \(\Omega\) vérifiant \[\forall\,z\in K,\ \overline{D(z,\varepsilon)}\subset L\subset\Omega,\] si bien qu’avec la formule de la moyenne nous avons pour tout \(z\in K\) et \(f\in\mathscr O(\Omega)\) \[\vert f(z)\vert=\left\vert\dfrac{1}{\pi \varepsilon^2}\int_{\overline{D(z,\varepsilon)}}f(x+iy)dxdy\right\vert\leq\dfrac{1}{\pi \varepsilon^2}\Vert f\Vert_{1,\overline{D(z,\varepsilon)}} \leq\dfrac{1}{\pi \varepsilon^2}\Vert f\Vert_{1,L}\] soit (\(\star\)), Q.E.D.


Une fonction entière universelle *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Montrer qu’il existe une fonction entière \(f\) telle que l’ensemble \(\{ f^{(n)},\ n\in\mathbb N\}\) de toute les dérivées de \(f\) soit dense dans l’ensemble des fonctions entières \(\mathscr O(\mathbb C)\). Une telle fonction est dire universelle.



[ID: 2983] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]
Solution

Une fonction entière universelle
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

 Rappel : La topologie usuelle sur \(\mathscr O(\mathbb C)\) est la topologie de la convergence compacte. Il s’agit donc de montrer qu’il existe \(f\in\mathscr O(\mathbb C)\) telle que pour tout compact \(K\subset\mathbb C\), tout \(\varepsilon>0\) et toute application \(g\in\mathscr O(\mathbb C)\), il existe un entier \(N\) tel que \(\sup_{z\in K}\vert f^{(N)}(z)-g(z)\vert<\varepsilon\).

Soit \((P_n)_{n\geq 1}\) une énumération de tous les polynômes à coefficients rationnels. Soit \(I\) l’opérateur intégral définit sur \(\mathscr O(\mathbb C)\) par \[I(h)(z)=\int_0^z h(w)dw,\] Les itérés \(I\circ I\circ\dots\circ I\) (\(k\) fois) seront notés \(I^k\) comme le veut la tradition. Notre fonction va être de la forme suivante : \[f=\sum_{n\geq 1}I^{k_n}(P_n)\] où la suite d’entiers \((k_n)_n\) vérifie les propriétés suivantes :

\(\rightsquigarrow\)\(k_n>k_j+\text{deg}(P_j),\quad 1\leq j\leq n-1.\)

\(\rightsquigarrow\)En notant \(H_n=I^{k_n}(P_n)\) \[\vert H_n^{(j)}(z)\vert\leq \dfrac{1}{2^n},\quad\text{pour}\ 0\leq j\leq k_{n-1}\ \text{ et }\ \vert z\vert\leq n.{(\text{$\star$})}\] Si cela peut être fait, la série définissant \(f\) convergera uniformément sur tout compact de \(\mathbb C\) (avec la seconde propriété) et par conséquent \(f\in\mathscr O(\mathbb C)\) ; toujours par () elle pourra être dérivée terme à termes. En outre, (encore ()) on aura \[f^{(k_n)}(z)=P_n(z)+E_n(z),\quad\text{et}\quad \vert E_n(z)\vert\leq 2^{-(n-1)},\quad\forall\,\vert z\vert\leq n.\] Si tel est le cas, la fonction \(f\) possède bien les propriétés désirées : en effet, la suite des sommes partielles de la série série de Taylor de toute fonction entière \(g\in\mathscr O(\mathbb C)\) converge uniformément vers \(g\) sur tout compact de \(\mathbb C\), comme sur tout compact tout polynôme est uniformément approchable par des polynômes à coefficients rationnels, \(\mathbb Q[z]\) est dense dans \(\mathscr O(\mathbb C)\) pour la topologie de la convergence compacte. Ainsi, pour \(g\in\mathscr O(\mathbb C)\) et \(K\) compact il existe \(N\in\mathbb N\) suffisament grand pour que \[\sup_{z\in K}\vert f(z)-P_N(z)\vert\leq\varepsilon\quad\text{et}\quad K\subset\{z\ :\ \vert z\vert\leq N\},\] de telle sorte que \[\sup_{z\in K}\vert f(z)-f^{(K_N)}(z)\vert\leq\sup_{z\in K}\vert f(z)-P_N(z)\vert+\sup_{\vert z\vert\leq N}\vert E_N(z) \vert\leq\varepsilon+2^{-(N+1)}\] d’où le résultat.

Pour achever la démonstration, il ne reste plus qu’à montrer que la suite \((K_n)_n\) peut être choisie vérifiant (). Pour cela, si on remarque que \(I(z^r)=z^{r+1}/(r+1)\) on a \[\left\vert I^k(z^r)\right\vert=\left\vert\dfrac{z^{r+k}}{(r+1)\dots(r+k)}\right\vert\leq\vert z\vert^r\dfrac{\vert z\vert^k}{k!}\leq R^r\dfrac{R^k}{k!},\quad\forall\,z\in\overline{D(0,R)}.\] Ainsi, pour tout \(r\in\mathbb N\), la suite \((I^k(z^r))_k\) converge uniformément vers \(0\) sur tout disque \(\{z\ :\ \vert z\vert\leq R\}\) (i.e. converge vers \(0\) dans \(\mathscr O(\mathbb C)\)). Il en est de même pour \(I^k(P_n)\) (\(n\in\mathbb N\)) comme combinaison linéaire finie de \(I^k(z^r)\) ainsi que de leur dérivées \(\left(I^k(z^r)\right)^{(d)}\) par continuité de la dérivation dans \(\mathscr O(\mathbb C)\). Il est donc possible de choisir \(K_n\) assez grand pour que () soit réalisée.


L’équation \(f^2+g^2=1\) dans \(\mathscr O(\mathbb C)\) *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

[amm], 1981-5.

Montrer que les solutions de l’équation \[f^2+g^2=1,\qquad f,g\in\mathscr O(\mathbb C){(\text{$\star$})}\] sont \(f=\cos(h),\ g=\sin(h)\) où \(h\in \mathscr O(\mathbb C)\).



[ID: 2985] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]
Solution

L’équation \(f^2+g^2=1\) dans \(\mathscr O(\mathbb C)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

Si \(f=\cos(h),\ g=\sin(h)\) avec \(h\in \mathscr O(\mathbb C)\) alors \(f^2+g^2=1\). Réciproquement, soient \(f,g\in\mathscr O(\mathbb C)\) vérifiant (\(\star\)), comme \[\left( f^2+g^2=1\right ) \Longleftrightarrow \left( (f-ig)(f+ig)=1 \right ),\] \(f+ig\) est donc une fonction entière sans zéros sur \(\mathbb C\), il existe donc ([wahol], corollaire 1-14-4) une fonction entière \(h\) telle que \(f+ig=e^h\). Mais alors \[f-ig=\dfrac{1}{f+ig}=e^{-h},\] soit \[\begin{aligned} f&=\dfrac{e^h+e^{-h}}{2}={\rm{ch}}(h)=\cos(ih)=\cos({-ih})\\ g&=\dfrac{e^h-e^{-h}}{2i}=\dfrac{1}{i}{\rm{sh}}(h)=\dfrac{1}{i}\left[ -i\sin(ih)\right] =-\sin({ih})=\sin({-ih}),\end{aligned}\] où encore, en posant \(H=-ih\in\mathscr O(\mathbb C)\), \(f=\cos(H),\ g=\sin(H)\). Q.E.D.


Comportement au voisinage d’un point singulier essentiel isolé et non isolé *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\) une fonction holomorphe sur un ouvert \(\Omega\setminus\{a\}\subset\mathbb C\).

  1. On suppose le point \(a\) est isolé (i.e. que \(f\) st holomorphe sur un un disque épointé \(D(a,r)\setminus\{a\}\subset\Omega\setminus\{a\}\)) et qu’il existe une suite \((r_n)_n\subset]0,r[\) décroissante vers \(0\) telle que \(f\) soit bornée sur chaque cercle \(C(a,r_n)\). Montrer que \(f\) présente au point \(a\) une singularité virtuelle (i.e. sur prolonge holomorphiquement au point \(a\)).

  2. Montrer que le résultat précédent tombe en défaut si le point \(a\) n’est plus isolé (au sens où \(f\) admet une suite de pôles \((a_n)_n\subset\mathbb C\setminus\Omega\) qui converge vers \(a\).)


[ID: 2987] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]
Solution

Comportement au voisinage d’un point singulier essentiel isolé et non isolé
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

  1. Supposons1 qu’il existe \(M>0\) tel que \[\sup_{\vert z-a\vert=r_n}\vert f(z)\vert\leq M,\quad\forall\,n\in\mathbb N.\] En appliquant le principe du maximum à la fonction holomorphe \(f\) sur chaque couronne \(C(0,r_n,r_{n+1}):=\{\,z\in\mathbb C\ :\ r_{n+1}<\vert z-a\vert<r_n\}\) on déduit immédiatement que \[\sup_{0<\vert z - a\vert<r_0}\vert f(z)\vert\leq M.\] Il est alors classique que \(f\) présente au point \(a\) une singularité virtuelle.

  2. Considèrons une suite \((a_n)_n\subset\mathbb C\) telle que la série \(\sum_n\,\vert a_n\vert\) soit convergente et la fonction \[f(z)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{a_n}{z-n}.\] Soient \(R>0,\ z\in D(0,R)\). Si on laisse de cotés les premiers termes de la série dont le pôle est à l’intérieur du disque \(D(0,R)\), les autres termes (disons pour \(n\geq n_0\)) seront holomorphes sur ce disque et, pour \(\vert z\vert<R\), \(n\geq n_0\) \[\left\vert\dfrac{a_n}{z-n}\right\vert\leq\dfrac{\vert a_n\vert}{n-\vert z\vert}< \dfrac{\vert a_n\vert}{n_0+1-R}= C\vert a_n\vert.\] Cette inégalité assure la normale convergence et donc l’holomorphie de la série \(\sum_{n>n_0}\frac{a_n}{z-n}\) sur \(D(0,R)\). \(R>0\) étant arbitraire, \(f\) est une fonction méromorphe sur \(\mathbb C\) admettant pour pôles les entiers \(n\in\mathbb N^\star\).

    Soit \(n,k\in\mathbb N^\star\), pour \(z\in C(0,k+\frac{1}{2})\) on a \[\vert z-n\vert\geq \Big\vert\vert z\vert-n \Big\vert=\vert k+\frac{1}{2}-n\vert\geq \frac{1}{2},\] i.e. \[\dfrac{1}{\vert z-n\vert}\leq 2,\quad \forall\,z\in C(0,k+\frac{1}{2}),\ \text{\ et }\ n\in\mathbb N^\star\] et on a finalement \[\max_{\vert z\vert=k+\frac{1}{2}}\vert f(z)\vert\leq 2\sum_{n\geq 1}\vert a_n\vert,\quad\forall\,k\in\mathbb N^\star.\] \(f\) est donc bornéee sur les cercles \(C(0,k+\frac{1}{2})\) et, en remplacant \(z\) par \(1/z\) on obtient une fonction méromorphe \[g(z)=f\left(\dfrac{1}{z}\right)=\sum_{n\geq 1}\dfrac{a_nz}{1-nz}\] admettant pour pôles les points \(1/n\), \((n\in\mathbb N^\star)\) et l’origine comme point singulier essentiel. Toutefois, vu ce qui précède, son module reste borné sur les cercles de rayon \(r_k=\left(k+\frac{1}{2}\right)^{-1}\) ce qui nous fourni l’exemple désiré.

    Remarque : Toutefois, malgré l’exemple ci-dessus, le comportement au voisinage d’un point singulier essentiel et des plus chaotique : \(f\) prends chaque valeur sauf peut être une, une infinité de fois, c’est le théorème2 de Casorati-Weierstrass.

  1. 1  G.Julia, Leçons sur les fonctions uniformes à point singulier essentiel isolé, Gauthier-Villars (1924).
  2. [wahol], page ?? ou [amar], page ??2  Voir par exemple

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