Coordonnées polaires

Exercices du dossier Coordonnées polaires

Exercice 1048 *

4 janvier 2021 18:59 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer l’équation polaire d’un cercle \(\mathscr C\) de centre \(\left(\alpha,\beta\right)\) et de rayon \(R>0\).



[ID: 208] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:59] [Catégorie(s): Coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 1048
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:59

Une équation cartésienne de \(\mathscr C\) est : \(\left(x-\alpha\right)^2 + \left(y-\beta\right)^2=R^2\), ce qui donne, passant en coordonnées polaires \(\begin{cases} x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta\end{cases}\) : \(\boxed{r^2 -2r\left(\alpha\cos \theta+\beta\sin\theta\right) =R^2 - \alpha^2 - \beta^2}\).


Exercice 1049 *

4 janvier 2021 18:59 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer une équation normale et une équation polaire des droites d’équation cartésienne :

  1. \(y=\sqrt{3}x\)

  2. \(x+y+2=0\)

  3. \(x+\sqrt{3}y-1=0\)



[ID: 210] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:59] [Catégorie(s): Coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 1049
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:59
  1. L’équation normale de la droite d’équation \(y=\sqrt{3}x\) est \({\scriptstyle\sqrt{3}\over\scriptstyle 2}x-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}y=0\). Si \(\left(r,\theta\right)\) est un couple de coordonnées polaires pour \(\left(x,y\right)\), on a : \(\begin{cases} x=r\cos \theta \\ y =r\sin \theta\end{cases}\) et \(r{\scriptstyle\sqrt{3}\over\scriptstyle 2}\cos \theta-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}r\sin \theta=0\), ce qui amène : \(r\cos\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}+\theta\right)=0\) c’est-à-dire .

  2. De la même façon, l’équation normale de la droite d’équation \(x+y+2=0\) est \({\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2}x + {\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2} y+\sqrt{2}=0\), ce qui s’écrit encore : \(x\cos {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}+y\sin {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} +\sqrt{2}=0\). On a donc : \(r\cos\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}-\theta\right)=-\sqrt{2}\). Une équation polaire de la droite est alors : \(r=\dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\pi - {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}+\theta\right)}\), c’est-à-dire :

  3. Par la même méthode, on trouve pour l’équation normale \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}x+{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 2}y-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}=0\) et pour l’équation polaire .


Exercice 1050 *

4 janvier 2021 18:59 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer une équation normale et une équation polaire de la droite passant par \(A\left(1,0\right)\) et \(B\left(3,2\right)\).



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Exercice 1050
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:59

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}=\left(2,2\right)\) dirige \(\left(AB\right)\) donc une équation cartésienne de \(\left(AB\right)\) est de la forme \(x-y+c=0\) avec \(c\in \mathbb{R}\). Comme \(A\) est élément de cette droite, \(c=-1\) et \(\left(AB\right)~: x-y-1=0\). Une équation normale de la droite est donc \({\scriptstyle\sqrt 2\over\scriptstyle 2}x +{\scriptstyle\sqrt 2\over\scriptstyle 2}y={\scriptstyle\sqrt 2\over\scriptstyle 2}\). Si \(\left(r,\theta\right)\) est un couple de coordonnées polaires pour \(\left(x,y\right)\), on a : \({\scriptstyle\sqrt 2\over\scriptstyle 2}r\cos \theta + {\scriptstyle\sqrt 2\over\scriptstyle 2}r\sin \theta = {\scriptstyle\sqrt 2\over\scriptstyle 2}\) c’est-à-dire \(r\left(\cos \pi/4\cos \theta + \sin\pi/4\sin \theta\right)={\scriptstyle\sqrt 2\over\scriptstyle 2}\) et donc \(\boxed{r={\scriptstyle\sqrt 2\over\scriptstyle 2\cos\left(\theta-\pi/4\right)}}\)


Exercice 1051 *

4 janvier 2021 18:59 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer une équation polaire des cercles suivants donnés par leur équation cartésienne. En déduire leur centre et leur rayon :

  1. \(x^2+y^2-3x-3y=0\)

  2. \(x^2+y^2-\sqrt{12}x+2y=0\)



[ID: 214] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:59] [Catégorie(s): Coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 1051
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:59
  1. En passant en coordonnées polaires, l’équation devient : \(r^2-3r\left(\cos \theta + \sin \theta\right)=0\) ce qui s’écrit aussi : \(r=3\left(\cos \theta + \sin \theta\right)\) ou \(r=3\sqrt{2}\left({\scriptstyle\sqrt 2\over\scriptstyle 2}\cos \theta + {\scriptstyle\sqrt 2\over\scriptstyle 2}\sin \theta\right)\), c’est-à-dire :. Son centre admet donc comme coordonnées polaires \(\left({\scriptstyle 3\sqrt{2}\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)\), c’est-à-dire comme coordonnées cartésiennes : \(\left({\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}\right)\) et son rayon vaut : \({\scriptstyle 3\sqrt{2}\over\scriptstyle 2}\).

  2. De la même façon, on prouve que : est une équation polaire du second cercle. Son rayon est donc \(2\) et son centre admet comme coordonnées polaires \(\left(2,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 6}\right)\) c’est-à-dire comme coordonnées cartésiennes : \(\left(\sqrt 3, 1\right)\)


Exercice 1052 **

4 janvier 2021 18:59 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans le plan, on considère un cercle \(\mathcal{C}\) et un point \(O\) de ce cercle. Déterminez l’ensemble des projections orthogonales du point \(O\) sur les tangentes au cercle \(\mathcal{C}\).



[ID: 216] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:59] [Catégorie(s): Coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 1052
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:59
  1. Choix du repère. Notons \(\Omega\) le centre du cercle. Considérons le repère orthonormé direct \(\mathcal{R} = (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) avec \(\overrightarrow{i} = \dfrac{O\Omega}{\lVert O\Omega \rVert_{ }}\). Dans ce repère, \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} R\\0 \end{matrix}\right.}\) et l’équation du cercle \(\mathcal{C}\) s’écrit \[(x-R)^2 + y^2 = R^2\]

  2. Soit \(\theta \in [0, 2\pi]\) et \(M_{\theta} \underset{}{\left|\begin{matrix} a+R\cos\theta \\ R\sin\theta \end{matrix}\right.}\) un point du cercle. L’équation cartésienne de la tangente au point \(M_{\theta}\) au cercle s’écrit \[(T_{\theta}) : \cos\theta(x-R) + \sin\theta y = R\] Notons \(H_{\theta}\) la projection orthogonale du point \(O\) sur la droite \(T_{\theta}\). Puisque le vecteur \(\overrightarrow{n} \underset{}{\left|\begin{matrix} \cos\theta\\\sin\theta \end{matrix}\right.}\) dirige la normale en \(M_{\theta}\), \(H_{\theta} = O + \lambda \overrightarrow{n}\). Comme le point \(H\) appartient à la droite \(T_{\theta}\), on trouve \(\lambda = R(1+\cos \theta)\), on obtient les coordonnées polaires du point \(H_{\theta}\) : \[\rho = R(1 + \cos \theta)\] On reconnaît une cardioïde (voir la section page ).


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