Courbes en coordonnées polaires

Exercices du dossier Courbes en coordonnées polaires

Exercice 1053 *

23 novembre 2021 14:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Tracer la courbe polaire \(\rho = 1 + \tan {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\). On précisera les coordonnées du point double.



[ID: 2180] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:18] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 1053
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:18
  1. Domaine de définition de \(\rho\) : La fonction \(\rho\) est définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{(2k+1)\pi; k \in \mathbb{Z} \}\).

  2. Restriction de l’intervalle d’étude : Puisque \(\rho(\theta + 2\pi) = \rho(\theta)\), \(M(\theta + 2\pi) = M(\theta)\) et il suffit donc de faire l’étude sur \([0, 2\pi]\).

  3. Tableau de signe de \(\rho\) : Il est clair que \(\rho\) est croissante, et s’annule en \(3\pi/2\).

  4. Passage au pôle : le passage au pôle correspond à un point ordinaire, à tangente verticale (\(\rho\) change de signe).

  5. Branche infinie : lorsque \(\theta \rightarrow \pi\). Il y a une direction asymptotique horizontale. Pour chercher une droite asymptote, étudions \(y(\theta) = \rho(\theta) \sin\theta\). En posant \(u = \theta - \pi\), \(\tild{y}(u) = y(\pi + u) = -\sin u + 2\cos^2 (u/2) = 2 - u + o(u)\). La droite d’équation \(y=2\) est donc asymptote à la courbe, et lorsque \(\theta \rightarrow \pi^{-}\), la courbe arrive sur l’asymptote, et lorsque \(\theta \rightarrow \pi^{+}\), la courbe arrive sous l’asymptote.

  6. Point double : On voit sur le dessin que le point double vérifie \(M(\theta_1) = M(\theta_1 + \pi)\) avec \(\theta_1 \in [0, \pi/2]\), c’est-à-dire \[\rho(\theta_1) = - \rho(\theta_1 + \pi)\] En posant \(t = \tan(\theta_1/2)\), on obtient \[t^2 + 2t - 1 = 0\] c’est-à-dire \(t = \sqrt{2} - 1\) (pour avoir \(\theta_1 \in [0, \pi/2]\). Alors si le point double a pour coordonnées \(M=(x_1, x_2)\), on trouve, puisque \(\rho(\theta_1) = \sqrt{2}\), que : \[x_1 = \rho(\theta_1)\cos(\theta_1) = \sqrt{2}\dfrac{1-t^2}{1+t^2} = 1\] \[y_1 = \rho(\theta_1)\sin(\theta_1) = \sqrt{2}\dfrac{2t}{1+t^2} = 1\] Donc le point double est \(M=(1,1)\).

  7. Représentation graphique :


Trifolium *

23 novembre 2021 14:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Tracer la courbe polaire \(\rho = \cos(3\theta)\).



[ID: 2182] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:18] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Trifolium
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:18
  1. Domaine de définition de \(\rho\) : \(\rho\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

  2. Restriction de l’intervalle d’étude : Soit \(\theta\in\mathbb{R}\).

    • \(\rho(\theta + 2\pi/3) = \rho(\theta)\), donc \(M(\theta + 2\pi/3)\) est l’image du point \(M(\theta)\) par la rotation de centre \(0\) et d’angle \(2\pi /3\). Il suffit de faire l’étude sur un intervalle de la forme \([\alpha, \alpha + 2\pi/3]\) ;

    • \(\rho(\theta + \pi/3) = - \rho(\theta)\), donc le point \(M(\theta + \pi/3)\) est l’image du point \(M(\theta)\) par la rotation d’angle \(-2\pi/3\). Il suffit de faire l’étude sur un intervalle de longueur \(\pi/3\) ;

    • \(\rho(-\theta) = \rho(\theta)\), donc le point \(M(-\theta)\) est le symétrique du point \(M(\theta)\) par rapport à l’axe \(Ox\).

    On fait donc l’étude sur \([0, \pi/6]\), et on complète la courbe par symétrie par rapport à \((0x)\), puis par rotations d’angle \(-2\pi/3\).

  3. Variations : La fonction \(\rho\) est décroissante sur \([0, \pi/6]\) et s’annule en \(\pi/6\). Comme \(\rho'\) s’annule en \(0\), la courbe présente une tangente orthoradiale en \(\theta=0\).

  4. Points stationnaires : Le passage au pôle est un point ordinaire car \(\rho\) change de signe donc il n’y a pas de point stationnaire.

  5. Branches infinies : Il n’y a pas de branche infinie.

  6. Représentation graphique :

    Il s’agit d’un trifolium.


Exercice 1055 *

23 novembre 2021 14:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Construire la courbe paramétrée \[\rho = \dfrac{\sin\theta}{\sin\theta - \cos\theta}\]



[ID: 2184] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:18] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 1055
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:18
  • Domaine de définition : Le domaine de définition de \(\rho\) est \(D_\rho= \mathbb{R} \setminus \{\pi/4 + k\pi; k \in \mathbb{Z} \}\) ; Remarquons que \[\forall \theta\in D_\rho,\quad \rho\left(\theta\right)=-\dfrac{ \sqrt 2}{2}\dfrac{\sin \theta}{\cos \left(\theta+\pi/4\right)}.\]

  • Restriction du domaine d’étude : Soit \(\theta\in D_\rho\).

    • \(\rho(\theta + 2\pi) = \rho(\theta)\), donc \(M(\theta + 2\pi) = M(\theta)\). On n’étudie la courbe que sur un intervalle de la forme \([\alpha, \alpha + 2\pi]\).

    • \(\rho(\theta + \pi) = \rho(\theta)\) : le point \(M(\theta + \pi)\) est le symétrique du point \(M(\theta)\) par rapport à l’origine. Il suffit de faire l’étude sur l’intervalle \(I=[0, \pi]\setminus\left\{\pi/4\right\}\) et de compléter la courbe par une symétrie par rapport au pôle.

  • Variations de \(\rho\) : Pour tout \(\theta\in I\) \[\rho'\left(\theta\right) = -\dfrac{1}{\left(\cos \theta - \sin \theta\right)^2}\] donc \(\rho\) est décroissante sur \(\left[0,\pi/4\right[\) et sur \(\left]\pi/4,\pi\right]\).

  • Point stationnaire : \(\rho\) s’annule en \(\theta = 0\) ou en \(\theta=\pi\) en changeant de signe. Le passage au pôle correspond à un point ordinaire à tangente horizontale.

  • Étude de la branche infinie : lorsque \(\theta \rightarrow \pi /4\). Un point de la courbe a pour coordonnées \(M\left(\theta\right)=\left(x\left(\theta\right),y\left(\theta\right)\right)\)\(x\left(\theta\right)=\rho\left(\theta\right)\cos \theta\) et \(y\left(\theta\right)=\rho\left(\theta\right)\sin \theta\). On calcule \(y\left(\theta\right)/x\left(\theta\right)=\tan \theta \xrightarrow[\theta\rightarrow \pi/4]{}1\). Puis \[y\left(\theta\right)-x\left(\theta\right)=\dfrac{\sin \theta\left( \sin \theta-\cos \theta\right) }{\sin\theta - \cos\theta}=\sin\theta \xrightarrow[\theta\rightarrow \pi/4]{}\dfrac{\sqrt 2}{2}\] donc la droite \(y=x+\sqrt 2/2\) est asymtote à la courbe quand \(\theta\rightarrow \pi/ 4\). On aurait aussi pu procéder ainsi : on fait l’étude dans le repère polaire \(\mathcal{R}_{\pi/4}\). Dans ce repère, le point \(M(\theta)\) a pour ordonnée \(Y(\theta) = \rho(\theta)\sin(\theta - \pi/4)\), et en posant \(h = \theta - \pi/4\), on trouve que \[\tild{Y}(h) = Y(\pi/4 + h) = \cos h (1 + \tan h) = 1 + h + o(h)\] Par conséquent, il y a une droite asymptote horizontale, d’équation \(Y=1\) dans le repère polaire \(\mathcal{R}_{\pi/4}\), et lorsque \(\theta \rightarrow {\pi/4}^{-1}\), la courbe arrive sous l’asymptote, et lorsque \(\theta \rightarrow {\pi/4}^+\), elle arrive au dessus.

  • Représentation graphique :


Exercice 1056 **

23 novembre 2021 14:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Construire la courbe \[\rho=1-\tan2\theta\]



[ID: 2186] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:18] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 1056
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:18
  1. Domaine de définition : Le domaine de définition de \(\rho\) est \(D_\rho= \mathbb{R} \setminus \left\{\pi/4 +k\pi/2 ~|~ k\in \mathbb{Z}\right\}\).

  2. Restriction du domaine d’étude : Comme \(\tan\) est \(\pi\) périodique, \(\rho\) est \(\pi/2\) périodique et il suffit de travailler sur un intervalle de longueur \(\pi/2\) On travaillera sur \(I=\left[0,\pi/2\right]\setminus\left\{\pi/4\right\}\).

  3. Variations de \(\rho\) : Pour tout \(\theta\in I\), \(\rho'\left(\theta\right) = 2\left(1+\tan^2 2\theta\right)\) donc \(\rho\) est croissante sur \(\left[0,\pi/4\right[\) et sur \(\left]\pi/4,\pi/2\right]\).

  4. Point stationnaire : La courbe ne présente pas de point stationnaire.

  5. Étude de la branche infinie : lorsque \(\theta \rightarrow \pi /4\). Un point de la courbe a pour coordonnées \(M\left(\theta\right)=\left(x\left(\theta\right),y\left(\theta\right)\right)\)\(x\left(\theta\right)=\rho\left(\theta\right)\cos \theta\) et \(y\left(\theta\right)=\rho\left(\theta\right)\sin \theta\). On calcule \(y\left(\theta\right)/x\left(\theta\right)=\tan \theta \xrightarrow[\theta\rightarrow \pi/4]{}1\). Puis \[\begin{aligned} y\left(\theta\right)-x\left(\theta\right)&=&\dfrac{\left(\cos 2\theta-\sin 2\theta\right)\left(\sin\theta - \cos \theta \right)}{\cos 2\theta}\\ &=&-2\dfrac{\cos\left(2\theta+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)\cos\left(\theta+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)}{\cos 2\theta}\\ &=&-\cos\left(2\theta+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)\dfrac{\cos\left(\theta+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)-\cos{\scriptstyle \pi\over\scriptstyle 2 }} {\theta+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} }\dfrac{2\theta-2{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}}{\cos\left(2\theta-\cos{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 4}\right)} \xrightarrow[\theta\rightarrow \pi/4]{}\dfrac{\sqrt2}{2}\end{aligned}\] en reconnaissant deux taux d’accroissement. Donc la droite \(y=x+\sqrt 2/2\) est asymptote à la courbe quand \(\theta\rightarrow \pi/ 4\). Si on sait utiliser les équivalents, c’est un peu plus simple :

    \[\cos\left(\theta+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)=\sin\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}-\theta\right)\underset{\theta \rightarrow \pi/4 }{\sim} {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}-\theta \quad \textrm{ et} \quad\cos 2\theta = \sin\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} -\theta\right)\underset{\theta\rightarrow \pi/4}{\sim} {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}-2\theta\] donc par produit d’équivalents : \[y\left(\theta\right)-x\left(\theta\right)\underset{\theta \rightarrow \pi/4}{\sim} -\cos\left(2\theta+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)\xrightarrow[\theta\rightarrow \pi/4]{}\dfrac{\sqrt2}{2} .\] On en déduit de plus la position de la courbe par rapport à l’asymptote, elle est en dessous quand \(\theta\rightarrow \pi/4^-\) et au dessus quand \(\theta\rightarrow \pi/4^+\).

  6. Représentation graphique :


Trisectrice de Ceva **

23 novembre 2021 14:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Construire la courbe \[\rho=\dfrac{\sin3\theta}{\sin\theta}\]



[ID: 2188] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:18] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Trisectrice de Ceva
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:18
  1. Domaine de définition. La fonction \(\rho\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z}\). Mais en utilisant la trigonométrie, on montre que \(\forall \theta \in \mathbb{R},\quad \sin 3\theta=4\sin \theta\cos^2\theta-\sin\theta\) donc \(\forall \theta\in \mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z},\quad \rho\left(\theta\right)=4\cos^2 \theta -1\) et \(\rho\) se prolonge par continuité en chaque point de \(\pi\mathbb{Z}\). On travaille donc sur \(\mathbb{R}\).

  2. Restriction de l’intervalle d’étude. \(\rho\) est \(2\pi\) périodique et on travaille alors sur un intervalle de longueur \(2\pi\). Mais \(\forall \theta\in\mathbb{R},\quad \rho\left(\theta+\pi\right)=\rho\left(\theta\right)\) donc on peut travailler sur un intervalle de longueur \(\pi\). Enfin, comme \(\rho\) est paire, son support admet une symétrie d’axe \(\left(Ox\right)\) et on étudie la courbe sur \(I=\left[0,\pi/2\right]\).

  3. Variations. Pour tout \(\theta\in I\), \(\rho'\left(\theta\right)=-8\sin\theta\cos\theta=-4\sin\left(2\theta\right)\). Donc \(\rho'\) est négative sur \(I\). On calcule facilement que les seuls points de \(I\)\(\rho\) s’annule sont \(0\) et \(\pi/2\). Par ailleurs, le seul point de \(I\)\(\rho\) s’annule est \(\pi/3\). On en déduit les variations de \(\rho\) :

    La courbe présente un vecteur tangent orthoradial en \(\theta=0\) et en \(\theta=\pi/2\).

  4. Étude du point stationnaire. La courbe ne présente pas de point stationnaire.

  5. Étude de la branche infinie. La courbe ne présente pas de branche infinie.

  6. Représentation graphique.

    Il s’agit de la trisectrice de Ceva.


Exercice 1058 **

23 novembre 2021 14:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Construire la courbe \[\rho=1+\dfrac{1}{\theta-2}\]



[ID: 2190] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:18] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 1058
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:18
  1. Domaine de définition. La fonction \(\rho\) est définie sur \(I=\mathbb{R}\setminus\left\{2\right\}\).

  2. Restriction de l’intervalle d’étude. La courbe ne présente pas de symétrie évidente.

  3. Variations. Pour tout \(\theta\in I\), \(\rho'\left(\theta\right)=-1/(\theta-2)^2\). Donc \(\rho'\) est négative sur \(I\). On calcule facilement que le seul point de \(I\)\(\rho\) s’annule est \(1\). On en déduit les variations de \(\rho\) :

    Remarquons que la courbe passe par le pôle quand \(\theta=1\).

  4. Étude du point stationnaire. La courbe ne présente pas de point stationnaire.

  5. Étude des branches infinies. La courbe présente des branches infinies quand \(\theta\rightarrow \pm \infty\) et quand \(\theta\rightarrow 2\).

    • Quand \(\theta \rightarrow \pm \infty\) : comme \(\rho\left(\theta\right)\xrightarrow[\theta\rightarrow \pm \infty]{} 1\), la courbe admet le cercle unité comme cercle asymptote. Elle est à l’intérieur du cercle quand \(\theta\rightarrow -\infty\) et à l’extérieur quand \(\theta\rightarrow +\infty\).

    • Quand \(\theta \rightarrow 2\) : on étudie la quantité \(y\left(\theta\right)/x\left(\theta\right)\) : \[\dfrac{y\left(\theta\right)}{x\left(\theta\right)}=\dfrac{\rho\left(\theta\right)\sin \theta}{\rho\left(\theta\right)\sin \theta}=\tan \theta \xrightarrow[\theta\rightarrow 2]{}\tan 2.\] On forme maintenant la quantité : \[y\left(\theta\right)-\tan 2 x\left(\theta\right)=\rho\left(\theta\right)\left(\sin \theta - \tan 2 \cos \theta\right)=\rho\left(\theta\right)\dfrac{\sin \theta\cos 2 - \sin 2\cos \theta }{\cos 2}=\dfrac{1}{\cos 2}\left(\sin \left(\theta-2\right) + \dfrac{\sin \left(\theta-2\right)}{\theta-2}\right) .\] En utilisant la limite usuelle \(\sin x/x\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\), on montre que \(y\left(\theta\right)-\tan 2 x\left(\theta\right)\xrightarrow[x\rightarrow 2]{} 1/\cos 2\). La droite \(y=\tan 2 x +1/\cos 2\) est donc asymptote à la courbe quand \(\theta\rightarrow 2\).

  6. Représentation graphique.


Limaçon de Pascal **

23 novembre 2021 14:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère le cercle \[\mathcal{C}: x^2 + y^2 = 1\] et le point \(A \underset{ }{\left|\begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix}\right.}\). Déterminer le lieu des projections orthogonales de \(A\) sur les tangentes au cercle.



[ID: 2192] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:18] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Limaçon de Pascal
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:18

Un point du cercle a pour coordonnées \(M(t) \underset{ }{\left|\begin{matrix} \cos t \\ \sin t \end{matrix}\right.}\) et la tangente en \(M(t)\) a pour équation cartésienne \[T_t:~ \cos t x + \sin t y = 1\] Le projeté orthogonal \(P(t)\) de \(A\) sur \(T_t\) vérifie \(P \underset{ }{\left|\begin{matrix} x(t) \\ y(t) \end{matrix}\right.}= A + \lambda \overrightarrow{OM(t)}\) et on trouve que \[\begin{cases} x(t) &= -2 + (1+2\cos t)\cos t \\ y(t) &= (1+2\cos t) \sin t \end{cases}\] En effectuant un changement de repère de centre \(A\) (\(X = x + 2\), \(Y = y\)), puisque \(t\) est l’angle entre \((Ox)\) et \(AP(t)\), on a une équation polaire de la courbe décrite par \(P\) : \[\rho = 1 + 2\cos \theta\] qu’on étudie.

  1. Domaine de définition. La fonction \(\rho\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

  2. Restriction de l’intervalle d’étude. La fonction \(\rho\) est paire et \(2\pi\)-périodique. On travaillera sur \(I=\left[0,\pi\right]\) et on déduire la partie manquante de la courbe par une symétrie d’axe \(\left(Ox\right)\).

  3. Variations. Pour tout \(\theta\in I\), \(\rho'\left(\theta\right)=-2\sin \theta\). Donc \(\rho'\) est négative sur \(I\). On calcule facilement que le seul point de \(I\)\(\rho\) s’annule est \(2\pi/3\). La courbe présente un vecteur tangent orthoradial en \(0\) et \(\pi\).

    Remarquons que la courbe passe par le pôle quand \(\theta=2\pi/3\).

  4. Étude du point stationnaire. La courbe ne présente pas de point stationnaire.

  5. Étude des branches infinies. La courbe ne présente pas de branche infinie.

  6. Représentation graphique.

C’est un limaçon de Pascal.


Exercice 1060 **

23 novembre 2021 14:19 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Une roue de rayon \(b\) roule sans glisser sur une roue de rayon \(a\). Déterminer le lieu d’un point de la circonférence de la roue de rayon \(a\).



[ID: 2194] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:19] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 1060
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:19

Dans un repère orthonormé \(\mathcal{R}=(0, \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath})\), la roue de rayon \(a\) est centrée en \(O\), et la roue de rayon \(b\) est centrée en \(C\). Notons \(P\) l’intersection des deux roues, et \(M\) le point de la circonférence. En notant \(t\) l’angle \((\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{OP})\), \(\alpha\) l’angle \((\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{CM})\) et \(\gamma\) l’angle \((\overrightarrow{CP}, \overrightarrow{CM})\), on a les relations \[t + \gamma - \alpha = \pi\] La condition de roulement sans glissement s’écrit \[at = b\gamma\] Donc si \(x\) et \(y\) sont les coordonnées du point \(M\), \[\begin{cases} x = (a+b)\cos t - b \cos\bigl( (a+b)/b t \bigr) \\ y = (a+b)\sin t - b \sin\bigl( (a+b)/b t \bigr) \end{cases}\]


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