Déterminants
Exercices du dossier Déterminants
Exercice 5 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesCalculer les déterminants \[\Delta_1= \begin{vmatrix} 0 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & -1 & & \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 \\ 1 & & & -1 \end{vmatrix}\quad \Delta_2= \begin{vmatrix} (x+1) &1 &\dots & &1 \\ 2 &(x+2) &2 &\dots &2 \\ 3 & 3&(x+3) &\ddots &3 \\ \vdots & &\ddots &\ddots & \\ n & & \dots& & (x+n)\\ \end{vmatrix}.\]
[ID: 2107] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 5
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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Pour \(\Delta_1\), ajouter toutes les colonnes à la première : \[C_1 \leftarrow C_1 + \dots + C_n.\] On trouve alors un déterminant triangulaire : \(\Delta_1=(-1)^{n-1}(n-1)\).
Pour \(\Delta_2\), retrancher la première colonne à toutes les autres : \[C_2 \leftarrow C_2 - C_1,\quad\dots \quad C_n \leftarrow C_n - C_1.\] On remarque ensuite que dans les \(n-1\) dernières colonnes, la somme de tous les éléments vaut \(0\). Ajouter donc toutes les lignes à la première. On se ramène à un déterminant triangulaire : \(\Delta_2= x^{n-1}\left( x+ \dfrac{n(n+1)}{2}\right)\).
Exercice 294 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesSoit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) une matrice antisymétrique avec \(n\) impair. Montrer qu’elle n’est pas inversible.
[ID: 2109] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 294
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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Calculons \[\mathop{\rm det}(A)=\mathop{\rm det}({A}^{\mathrm{T}})=\mathop{\rm det}(-A)=(-1)^n\mathop{\rm det}(A)=-\mathop{\rm det}(A) \Rightarrow \mathop{\rm det}(A)=0\]
Exercice 579 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesCalculer le déterminant \(D = \begin{vmatrix} a+b & b+c & c+a \\ a^2+b^2 & b^2+c^2 & c^2+a^2 \\ a^3+b^3 & b^3+c^3 & c^3+a^3 \end{vmatrix}\).
[ID: 2111] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 579
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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On propose deux solutions.
Soit \(A = \begin{pmatrix} a \\ a^2 \\ a^3 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} b \\ b^2 \\ b^3 \end{pmatrix}\) et \(C = \begin{pmatrix} c \\ c^2 \\ c^3 \end{pmatrix}\). En développant,
\(D = \begin{vmatrix} A+B & B+C & C+A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & B & C \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A & B & A \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A & C & C \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A & C & A \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} B & B & C \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} B & B & A \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} B & C & C \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} B & C & A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & B & C \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} B & C & A \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} A & B & C \end{vmatrix}\).
En mettant \(abc\) en facteur, on trouve un déterminant de Vandermonde, et donc \(D = 2abc(c-a)(c-b)(b-a)\).
On écrit \[\begin{pmatrix} a+b & b+c & c+a \\ a^2+b^2 & b^2+c^2 & c^2+a^2 \\ a^3+b^3 & b^3+c^3 & c^3+a^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.\] On a \[\begin{vmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} = abc\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = abc(c-a)(c-b)(b-a)\] toujours grâce au déterminant de Vandermonde, et \[\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2.\] D’où le résultat.
Exercice 886 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesOn considère une matrice \(A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) telle que \[\forall (i, j) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2,~ i + j > n + 1 \Rightarrow a_{ij} = 0.\] Calculer \(\mathop{\rm det}(A)\). Si on suppose de plus que \(a_{ij} > 0\) lorsque \(i + j \leqslant n + 1\), déterminer le signe de \(\mathop{\rm det}(A)\).
[ID: 2113] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 886
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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Étudier deux cas :
\(n\) pair : \(n = 2p\). En effectuant les échanges de colonnes \(\leftrightarrow C_1{C_n}\), …, \(\leftrightarrow C_p{C_{p+1}}\), on trouve une matrice triangulaire supérieure et le déterminant vaut \[(-1)^{p} a_{1,n}a_{2,n-1}\dots a_{n, 1}.\]
\(n\) impair : \(n = 2p + 1\). En effectuant les échanges de colonnes \(\leftrightarrow C_1{C_n}\), …, \(\leftrightarrow C_p{C_{p+2}}\) on trouve également que \(\mathop{\rm det}(A) = (-1)^{p} a_{1, n}\dots a_{n, 1}\).
Le signe de \(\mathop{\rm det}(A)\) dépend de \(n\) modulo \(4\) (parité de \(p\)).
Exercice 981 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesOn considère une matrice \(A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) et on définit la matrice \(A' = (~(-1)^{i+j} a_{ij} )\). Exprimer \(\mathop{\rm det}(A')\) en fonction de \(\mathop{\rm det}(A)\).
[ID: 2115] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 981
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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En utilisant la formule du déterminant, \[\mathop{\rm det}(A') = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)} \varepsilon(\sigma) (-1)^{1+\sigma(1)}\dots (-1)^{n + \sigma(n)} a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}.\] Mais \((-1)^{1+\sigma(1)}\dots (-1)^{n+\sigma(n)} = (-1)^{n(n+1)} = 1\) et donc \(\mathop{\rm det}(A') = \mathop{\rm det}(A)\).
Exercice 156 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesSoit une matrice \(A \in \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{K} })\) et l’application \(f : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{K} }) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{K} }) \\ M & \longmapsto & AM \end{array} \right.\). Exprimer \(\mathop{\rm det}(f)\) en fonction de \(\mathop{\rm det}(A)\).
[ID: 2117] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 156
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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Dans la base canonique \(c\) de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{K} })\), la matrice de \(f\) s’écrit \[\mathop{\mathrm{Mat}}_{c}{f} = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & a_{11} & 0 & a_{12} \\ a_{21} & 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & a_{21} & 0 & a_{22} \end{pmatrix}.\] On calcule son déterminant (faire apparaître un bloc de \(0\) en bas à gauche en étudiant deux cas, \(a_{22} \neq 0\) et \(a_{22} = 0\)) et on trouve \(\mathop{\rm det}(f) = \mathop{\rm det}(A)^2\).
Exercice 716 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesCalculer le déterminant de la matrice \(A=(a_{ij})\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) où \(a_{ii}=1, a_{1,i}=1, a_{i1}=1\) et \(0\) sinon.
[ID: 2119] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 716
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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Faire \(\leftarrow C_1{C_1 - C_2 - \dots - C_n}\). On trouve une matrice triangulaire supérieure et le déterminant vaut \((1-n)\) pour \(n \geqslant 3\). Il est nul si \(n = 2\).
Exercice 262 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesSoit \(\alpha\in \mathbb{K}\). Calculer le déterminant de la matrice \(A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) avec \(a_{ij} = \alpha\) pour \(i \leqslant j\) et \(a_{ij} = 1\) pour \(i > j\).
[ID: 2121] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 262
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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Faire les opérations \(\leftarrow C_2{C_2-C_1}\), …, \(\leftarrow C_n - C_1\), factoriser \((\alpha - 1)\) dans la dernière colonne et \(\leftarrow C_1{C_1 - C_n}\). On trouve \(\mathop{\rm det}(A) = \alpha (\alpha - 1)^{n-1}\).
Un déterminant tridiagonal **
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesSoit \(\alpha,\beta\in \mathbb{K}\). Calculer le déterminant tridiagonal avec \(\alpha+\beta\) sur la diagonale principale, \(1\) en dessous et \(\alpha\beta\) au dessus.
[ID: 2123] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Un déterminant tridiagonal
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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En appelant \(D_n\) le déterminant de taille \(n\). On a \(D_0 = 1\) et \(D_1 = \alpha+\beta\). En développant par rapport à la première colonne : \(D_n = (\alpha+\beta)D_{n-1} - \begin{vmatrix} \alpha\beta & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\ 1 & \alpha+\beta & \alpha\beta & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \alpha+\beta & \alpha\beta & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & 1 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \alpha\beta \\ 0 & \ldots & \ldots & 0 & 1 & \alpha+\beta \end{vmatrix}\).
En développant ce dernier déterminant par rapport à la première ligne, on obtient alors \(D_n = (\alpha+\beta)D_{n-1} - \alpha\beta D_{n-2}\). La suite \(D_n\) est solution d’une récurrence linéaire, dont l’équation caractéristique a pour racines \(\alpha\) et \(\beta\). Donc \(D_n = \lambda \alpha^n + \mu\beta^n\). Les conditions initiales donnent \(D_n = \dfrac{\alpha}{\alpha-\beta} \alpha^n + \dfrac{\beta}{\beta-\alpha}\beta^n\).
Exercice 879 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesCalculer le déterminant de la matrice \(A=(a_{ij})\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) où \(a_{ii}=1\) et sinon \(a_{ij}=2\).
[ID: 2125] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 879
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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\({C_n}\gets{C_n+C_1+\cdots + C_{n-1}}\), factoriser \(2n-1\) dans la dernière colonne et retrancher \(2C_n\) à toutes les autres colonnes. On trouve \(\mathop{\rm det}(A) = (-1)^{n-1}(2n-1)\).
Exercice 217 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesCalculer le déterminant \((2p) \times (2p)\) suivant : \[\begin{vmatrix} a & & a&b& &b \\ &\ddots & & & \nearrow &\\ a & & a&b& &b\\ b & &b &a& &b \\ &\nearrow& & & \ddots & \\ b & &b &a& &a \end{vmatrix}\]
[ID: 2127] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 217
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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On fait apparaître un bloc de \(0\) en bas à gauche avec les opérations \(\leftarrow C_1{C_1 - \dfrac{b}{a} C_{p+1}}\) …On trouve \(\mathop{\rm det}(A) = (a^2 - b^2)^p\). Ce résultat est encore valable si \(a = 0\).
Exercice 524 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesCalculer le déterminant de la matrice \(A=(a_{ij})\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) où \(a_{ij}=(-1)^{i+j}\).
[ID: 2129] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 524
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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Deux lignes sont égales si \(n \geqslant 3\). Il est nul. Il est par ailleurs facile à calculer si \(n<3\).
Exercice 1 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesSoit la matrice \(A= ( \inf(i,j) ) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\). Calculer son déterminant.
[ID: 2131] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 1
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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On considère la matrice triangulaire inférieure \(L\) comprenant des \(1\) sous la diagonale (incluse) et des \(0\) au-dessus. On a \(A = L{L}^{\mathrm{T}}\) et donc \(\mathop{\rm det} A = (\mathop{\rm det}L)^2 = 1\).
Exercice 320 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesCaluler \(D = \mathop{\rm det}\left(\max(i,j)\right) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 2 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 3 & 3 & 3 & \ldots & n \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ n & n & \ldots & \ldots & n \end{vmatrix}\).
[ID: 2133] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 320
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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On soustrait la première ligne à chacune des autres : \(D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ n-1 & n-2 & \ldots & \ldots & 0 \end{vmatrix}\).
On développe par rapport à la première ligne : \(D = \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}k D_k\). Tous les déterminants extraits ont une dernière colonne nulle et sont donc nuls, sauf \(D_n\) qui est un déterminant triangulaire inférieur avec des \(1\) sur la diagonale. Donc \(D_n =1\) et \(D = (-1)^{n+1}n\).
Exercice 497 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesSoient \(A \in \mathfrak{M}_{np}(\mathbb{R})\) et \(B \in \mathfrak{M}_{pn}(\mathbb{R})\) avec \(n > p\). Montrer que \(\mathop{\rm det}(AB)=0\).
[ID: 2135] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 497
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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Soit considérer les applications linéaires associées et le théorème du rang, soit travailler par blocs : \[\begin{vmatrix} A & 0 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} B \\ 0 \end{vmatrix} = AB\]
Encore un déterminant tridiagonal *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesCalculer le déterminant tridiagonal avec des \(1\) partout.
[ID: 2137] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Encore un déterminant tridiagonal
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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On développe pour trouver la relation \(\Delta_n = \Delta_{n-1} - \Delta_{n-2}\). Les racines de l’équation caractéristique sont \(-j\) et \(-j^2\). On trouve finalement \[\cos\left({\scriptstyle n\pi\over\scriptstyle 3}\right)+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{3}}\sin\left({\scriptstyle n\pi\over\scriptstyle 3}\right).\]
Exercice 726 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesCalculer le déterminant : \[\begin{vmatrix} 1 & n & n& \dots & n \\ n & 2 & n & \dots & n \\ n & n & 3 & \dots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ n & n & n & \dots & n \end{vmatrix}\]
[ID: 2139] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 726
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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On effectue \(C_j -C_{j-1}\) pour \(j=2 \dots n\) puis on développe par rapport à la dernière ligne. On trouve pour ce déterminant \((-1)^{n+1}n!\).
Exercice 180 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesCalculer \(\mathop{\rm det}\left((ia+jb)\right)\) où \(a,b \in \mathbb{R}\).
[ID: 2141] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 180
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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On fait \(C_j - C_{j-1}\) pour \(j=2 \dots n\). Si \(n\geqslant 3\) on trouve \(0\).
Exercice 465 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesCalculer \(\mathop{\rm det}\left(( 1+ a_i a_j)\right)\) où \(a_1, \dots a_n \in \mathbb{R}\).
[ID: 2143] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 465
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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On remplace \(C_j\) par \(C_j-C_1\) pour \(j=2 \dots n\) et on met \((a_2-a_1) \dots (a_n-a_1)\) en facteur. On effectue ensuite \(C_j-C_{j-1}\) pour \(j=3 \dots n\). On trouve \(0\) si \(n\geqslant 3\).
Exercice 459 *
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesCalculer \(\mathop{\rm det}\left(( \left| i-j \right| )\right)\).
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Exercice 459
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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On effectue \(C_j-C_{j-1}\) puis ensuite \(C_j-C_{j-1}\) pour \(j=3 \dots n\). On développe par rapport à la première ligne et on trouve \((-1)^{n+1}(n-1)2^{n-2}\)
Un déterminant tridiagonal **
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesCalculer le déterminant tridiagonal \[\Delta_n= \begin{vmatrix} 1+x^2 & x &0 &\dots & 0 \\ x & 1+x^2 & x & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & x & 1+x^2 & x \\ 0 & \dots & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} .\]
[ID: 2147] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Un déterminant tridiagonal
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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Adopter la méthode classique pour les déterminants tridiagonaux : développer par rapport à la dernière colonne, puis développer le deuxième déterminant par rapport à la dernière ligne. On trouve la relation de récurrence \[\forall n\geqslant 2, \quad\Delta_n -(1+x^2)\Delta_{n-1} + x^2\Delta_{n-2} = 0\] avec \(\Delta_1=(1+x^2)\) et \(\Delta_2=(1+x^2)^2-x^2\), et la relation de récurrence est vérifiée en posant artificiellement \(\Delta_0=1\). L’équation caractéristique est \((r-1)(r-x^2)=0\). On distingue donc deux cas :
Si \(x=1\), \(1\) est racine double de l’équation caractéristique, donc \(\exists \lambda,\mu \in \mathbb{R}^{2}\) tel que \(\forall n\in\mathbb N, \Delta_n = \lambda + \mu n\). En utilisant les conditions initiales \(\Delta_0\), \(\Delta_1\), on trouve que \(\boxed{ \Delta_n = 1+n}\).
Si \(x\neq 1\), \(\exists \lambda, \mu \in \mathbb{R}\) tels que \(\forall n\in \mathbb N\), \(\Delta_n=\lambda + \mu x^{2n}\). Avec les conditions initiales, on trouve que \[\boxed{ \Delta_n= \dfrac{1}{x^2-1}\left( -1 + x^{2n+2} \right)=1+x^2+\dots+x^{2n} }.\]
Dérangement **
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
Calculer le déterminant de la matrice \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \dots & 1 & 0 \end{pmatrix}.\]
On dit qu’une permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)\) est un dérangement lorsque \(\forall i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\), \(\sigma(i) \neq i\). Y a-t-il plus de dérangements de signature \(+1\) que de dérangements de signature \(-1\) ?
[ID: 2149] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Dérangement
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
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Avec l’opération \(\leftarrow C_1{C_1+C_2+\dots + C_n}\), on factorise \((n-1)\) dans la première colonne. Ensuite pour \(i \in [\kern-0.127em[ 2, n ]\kern-0.127em]\), \(\leftarrow C_i{C_i-C_1}\) fait apparaître des zéros et on trouve que \(\mathop{\rm det}(A) = (-1)^{n-1}(n-1)\).
Avec la formule du déterminant, \[\mathop{\rm det}(A) = \displaystyle{\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)}^{ }} \varepsilon(\sigma) a_{\sigma(1),1} \dots a_{\sigma(n),n}\] si \(\sigma\) n’est pas un dérangement, il existe \(i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\) tel que \(\sigma(i) = i\) et alors \(a_{\sigma(i),i} = 0\). En notant \(\mathcal{D}_n\) l’ensemble des dérangements, \(d_n^+\) le nombre de dérangements pairs et \(d_n^-\) le nombre de dérangements impairs, \[\mathop{\rm det}(A) = \displaystyle{\sum_{\sigma \in \mathcal{D}_n}^{ }} \varepsilon(\sigma) = d_n^+ - d_n^-.\] Lorsque \(n\) est impair, comme \(\mathop{\rm det}(A) > 0\), il y a plus de dérangements pairs que d’impairs et lorsque \(n\) est pair, c’est le contraire.
Exercice 662 **
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesTrouver les matrices \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) telles que \[\forall X \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} }) , \quad \mathop{\rm det}(A+X) = \mathop{\rm det}(A) + \mathop{\rm det}(X).\]
[ID: 2151] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 662
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
Soit \(A\) une telle matrice. En prenant \(X = A\), on obtient que \(\mathop{\rm det}(2A) = 2\mathop{\rm det}(A)\) d’où \(2^{n-1}\mathop{\rm det}(A) = 0\). Lorsque \(n \geqslant 2\), il est nécessaire que \(\mathop{\rm det}(A) = 0\). On a donc : \[\forall X \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} }) , \quad \mathop{\rm det}(A+X) = \mathop{\rm det}(X)\] Notons \(r\) le rang de \(A\). La matrice \(A\) est équivalente à la matrice \(J_r\) donc il existe deux matrices inversibles \(P, Q \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) telles que \(A = PJ_rQ\). Si l’on suppose que \(r > 0\), en prenant \(X = P(Y_{n-r})Q\) où \(Y_{n-r}\) désigne la matrice \(\mathrm{Diag}(0,\dots, 0, 1, \dots, 1)\) avec \((n-r)\) \(1\) sur la diagonale, on trouve que \(\mathop{\rm det}(PQ) = \mathop{\rm det}(P)\mathop{\rm det}(Y_{n-r}) \mathop{\rm det}(Q)\) ce qui est absurde puisque la matrice \(Y_{n-r}\) n’est pas inversible. Nécessairement, \(r = 0\) et donc \(A = 0\). Réciproquement, la matrice nulle convient.
Exercice 435 **
17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesCalculer les déterminants suivants en utilisant un déterminant de Vandermonde : \[\Delta_1=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\* a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ bcd & acd & abd & abc \end{vmatrix}, \quad \Delta_2= \begin{vmatrix} 1&a&a^2&a^4\\ 1&b&b^2&b^4 \\ 1&c&c^2&c^4 \newline 1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}.\]
Pour le deuxième, introduire \[P(x)=\begin{vmatrix}
1&x&x^2&x^3&x^4\\
1&a&a^2&a^3&a^4\\
1&b&b^2&b^3&b^4 \\
1&c&c^2&c^3&c^4 \\
1&d&d^2&d^3&d^4\end{vmatrix}\]
[ID: 2153] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 435
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:29
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:29
Supposons dans un premier temps que \(abcd\neq 0\). Alors \[\Delta_1= \dfrac{1}{abcd}\mathop{\rm det}(aC_1,bC_2,cC_3,dC_4) =\dfrac{1}{abcd}\begin{vmatrix} a&b&c&d\\a^2&b^2&c^2&d^2\\ a^3&b^3&c^3&d^3 \\ abcd & abcd & abcd &abcd \end{vmatrix} =(-1)^3 \begin{vmatrix}1&1&1&1 \\ a&b&c&d\\a^2&b^2&c^2&d^2\\ a^3&b^3&c^3&d^3\end{vmatrix}\] et on reconnaît un déterminant de Vandermonde donc \(\Delta_1=-(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)\).
Si on suppose que \(abcd=0\), considérons \(f(\varepsilon)=\Delta_1(a+\varepsilon,b+\varepsilon,c+\varepsilon,d+\varepsilon)\) avec \(\varepsilon\) en sorte que \(\left(a+\varepsilon\right)\left(b+\varepsilon\right)\left(c+\varepsilon\right)\left(d+\varepsilon\right)\neq 0\). Cette fonction est continue en \(\varepsilon\) car polynomiale en \(\varepsilon\). Lorsque \(\varepsilon\rightarrow 0\), on retrouve l’expression de \(\Delta_1\). C’est une astuce classique à retenir.
Pour \(\Delta_2\), on calcule le déterminant de Vandermonde \[P(x)=V(x,a,b,c,d)=(d-x)(d-a)(d-b)(d-c)\dots(a-x)\] et en développant \(P(x)\) par rapport à la première ligne, on s’aperçoit que \(\Delta_2\) est le coefficient en \(x^3\) de \(P(x)\). On obtient donc \(\boxed{ \Delta_2= -(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) }\).
Déterminant de Cauchy **
17 mai 2021 11:29 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesOn considère \(2n\) scalaires \(a_1,b_1,\dots, a_n, b_n\) tels que tous les \(a_i\) sont distincts et \(\forall i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\), \(a_i + b_i \neq 0\). On veut calculer le déterminant de Cauchy suivant : \[\Delta_n = \begin{vmatrix} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a_1+b_1} & \dots & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a_1+b_n} \\ \vdots & & \vdots \\ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a_n+b_1} & \dots & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a_n+b_n} \end{vmatrix}.\]
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle \[R(X) = \dfrac{(b_1-X)\dots (b_{n-1}-X)}{(X+a_1)\dots(X+a_n)}.\]
Exprimer \(\Delta_n\) en fonction de \(\Delta_{n-1}\).
Calculer \(\Delta_n\).
[ID: 2155] [Date de publication: 17 mai 2021 11:29] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Déterminant de Cauchy
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:29
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:29
Puisque \(\deg R(X) = -1\), et tous les pôles \(a_i\) sont simples, la décomposition s’écrit : \[R(X) = \sum_{k=1}^n \dfrac{\lambda_k}{X+a_k} \textrm{ où } \lambda_k = \dfrac{\prod_{j=1}^{n-1} (b_j+a_k)}{\prod_{j\neq k} (a_j - a_k)} \neq 0.\]
En effectuant l’opération \(L_n \leftarrow \sum_{i=1}^n\lambda_i L_i\), on obtient \[\Delta_n = \dfrac{1}{\lambda_n} \begin{vmatrix} L_1\\ \vdots \\ L_{n-1} \\ \sum_{i=1}^n \lambda_i L_i \end{vmatrix} = \dfrac{1}{\lambda_n} \begin{vmatrix} \dfrac{1}{a_1 + b_1} & \dots & \dfrac{1}{a_1+b_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \dfrac{1}{a_{n-1} + b_1} & \dots & \dfrac{1}{a_{n-1} + b_n} \\ R(b_1) & \dots & R(b_n) \end{vmatrix}.\] Mais comme \(R(b_1) = \dots = R(b_{n-1}) = 0\), \[\Delta_n = \begin{vmatrix} \dfrac{1}{a_1+b_1} & \dots & \dfrac{1}{a_1+b_{n-1}} & \dfrac{1}{a_1+b_n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ \dfrac{1}{a_{n-1} + b_1} & \dots &\dfrac{1}{a_{n-1} + b_{n-1}} & \dfrac{1}{a_{n-1} + b_n} \\ 0 & \dots & 0 & R(b_n) \end{vmatrix}.\] En développant par rapport à la dernière ligne, on tire \[\Delta_n = \dfrac{R(b_n)}{\lambda_n} = \dfrac{\prod_{i=1}^{n-1} (b_n - b_i) \prod_{i=1}^{n-1} (a_i - a_n)} {\prod_{i=1}^n(b_n+a_i) \prod_{i=1}^{n-1}(a_n+b_i)} \Delta_{n-1}.\]
Puisque \(\Delta_1 = \dfrac{1}{a_1+b_1}\), la relation de récurrence précédente donne \[\Delta_n = \dfrac{\prod_{i < j} (a_j-a_i) \prod_{i<j}(b_j-b_i)}{ \prod_{1\leqslant i, j\leqslant n} (a_i + b_j)}.\]
Exercice 853 ***
17 mai 2021 11:29 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
Démontrer que la matrice \[A = \begin{pmatrix} 167 & 72 & 152 & 396 & 82 & 670 & 742 & 160 \\ 54 & 315 & 116 & 262 & 764 & 128 & 808 & 784 \\ 338 & 146 & 83 & 418 & 804 & 468 & 504 & 312 \\ 658 & 268 & 114 & 203 & 622 & 98 & 580 & 566 \\ 290 & 590 & 258 & 110 & 805 & 58 & 512 & 346 \\ 226 & 994 & 294 & 572 & 744 & 93 & 288 & 8 \\ 392 & 698 & 594 & 372 & 416 & 340 & 343 & 702 \\ 968 & 274 & 110 & 674 & 260 & 646 & 608 & 217 \end{pmatrix}\] est inversible.
[ID: 2157] [Date de publication: 17 mai 2021 11:29] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 853
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:29
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:29
Soit \(A = (a_{ij})_{\substack{1\leqslant i \leqslant 8 \\ 1\leqslant j \leqslant 8}}\) et \(I_8 = (a'_{ij})_{\substack{1\leqslant i \leqslant 8 \\ 1\leqslant j \leqslant 8}}\).
On a \(\forall 1\leqslant i,j\leqslant 8, a_{ij} \equiv a'_{ij} \pmod2\) et \[\mathop{\rm det}(A) = \displaystyle{\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)}^{ }} \varepsilon(\sigma)a_{\sigma(1),1}\dots a_{\sigma(n),n} \equiv \displaystyle{\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)}^{ }} \varepsilon(\sigma)a_{\sigma(1),1}\dots a'_{\sigma(n),n} \equiv \mathop{\rm det}(I_8) \equiv 1 \pmod2.\]
Donc \(\mathop{\rm det}(A)\) est impair, et donc non nul. Par suite, \(A\) est inversible.
Les amateurs de calcul à la main doivent savoir que \(\mathop{\rm det}(A) = -3060949331422362741897\) avant de s’engager dans cette voie.