Groupe symétrique

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Groupe symétrique

Exercice 979 *

17 mai 2021 11:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la permutation de \(\mathfrak{S}\left(2n\right)\) définie par \[\sigma(p) = \begin{cases} 2p - 1 & \textrm{ si } 1 \leqslant p \leqslant n \\ 2(p-n) & \textrm{ si } n < p \leqslant 2n \end{cases}.\] Déterminer sa signature.


[ID: 2091] [Date de publication: 17 mai 2021 11:23] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 979
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:23

Pour \(n = 2\), on trouve \(\varepsilon(\sigma) = -1\). Pour \(n = 3\), \(\sigma = \bigl(\begin{smallmatrix}1&2&3&4&5&6 \\ 1&3&5&2&4&6 \end{smallmatrix}\bigr)\) et sa signature vaut \(-1\). Pour \(n\) quelconque, \[\sigma = \bigl(\begin{smallmatrix}1&2&3&\dots& n & (n+1) & (n+2) & \dots & 2n \\ 1&3&5& \dots & (2n-1) & 2 & 4 & \dots & 2n \end{smallmatrix}\bigr)\] Soit \(i \in [\kern-0.127em[ 1, 2n ]\kern-0.127em]\), on compte facilement \(\sharp \{j > i \mid \sigma(j) < \sigma(i) \} = i - 1\) lorsque \(i \leqslant n\) et \(0\) si \(i > n\). Par conséquent, le nombre d’inversions de \(\sigma\) vaut \(1+2+\cdots +(n-1) = (n-1)\times n / 2\) et la signature vaut \((-1)^{{\scriptstyle n(n-1)\over\scriptstyle 2}}\).


Exercice 676 *

17 mai 2021 11:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Montrer que toute permutation peut s’écrire comme produit de transpositions de la forme \(\tau_{1,i}\) avec \(i \in [\kern-0.127em[ 2, n ]\kern-0.127em]\).

  2. Montrer que toute permutation paire peut s’écrire comme produit de cycles de longueur \(3\).


[ID: 2093] [Date de publication: 17 mai 2021 11:23] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 676
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:23

  1. On sait d’après le cours que toute permutation \(\sigma\) peut s’écrire comme produit de transpositions \(\tau_{ij}\). Il suffit donc de montrer qu’une transposition \(\tau_{ij}\) avec \(1\neq i\), \(1 \neq j\) peut s’écrire comme produit de transpositions \(\tau_{1k}\). Le calcul suivant montre que c’est le cas : \[\tau_{1i}\circ \tau_{1j} \circ \tau_{1i} = \tau_{ij}.\]

  2. Soit \(\sigma \in \mathcal{A}_n\) une permutation paire. D’après 1., elle s’écrit comme produit d’un nombre pair de transpositions de la forme \(\tau_{1i}\). Mais si l’on calcule le produit de deux telles transpositions, on trouve un \(3\)-cycle : \[\tau_{1i} \circ \tau_{1j} = (1,~j,~i).\] Par conséquent, notre permutation paire \(\sigma\) s’écrit comme produit de tels \(3\)-cycles.


Exercice 550 *

17 mai 2021 11:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les permutations \(\sigma\) qui commutent avec une transposition \(\tau_{ij}\).


[ID: 2095] [Date de publication: 17 mai 2021 11:23] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 550
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:23

Montrons que \(\tau_{ij}\circ \sigma = \sigma \circ \tau_{ij}\) si et seulement si \(\{i, j\}\) est stable par \(\sigma\).

  • \(\boxed{\Rightarrow}\) Si \(\sigma(j) \not\in \{i, j\}\), on aurait \(\sigma(j) = \sigma(i)\) ce qui est impossible. Donc \(\sigma(j) \in \{i, j\}\). De même, \(\sigma(i) \in \{i, j\}\).

  • \(\boxed{\Leftarrow}\) Seuls deux cas sont possibles : \(\sigma(i) = i\) et \(\sigma(j) = j\) ou bien \(\sigma(i) = j\) et \(\sigma(j) = i\) et dans les deux cas, on vérifie facilement que \(\sigma\) commute avec \(\tau_{ij}\).


Centre du groupe symétrique **

17 mai 2021 11:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces


[ID: 2097] [Date de publication: 17 mai 2021 11:23] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Centre du groupe symétrique
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:23

Considérons une permutation \(\sigma\) qui commute avec toutes les permutations. Elle doit en particulier commuter avec toutes les transpositions \(\tau_{ij}\). D’après l’exercice précédent, \(\{i,j\}\) doit être stable par \(\sigma\). Considérons maintenant \(k \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\). Puisque \(n \geqslant 3\), on peut trouver trois entiers distincts \(\{i,j,k\}\) dans \([\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\). En considérant la transposition \(\tau_{ik}\), \(\sigma(k) \in \{i,k\}\) et en considérant la transposition \(\tau_{jk}\), \(\sigma(k) \in \{j,k\}\) et par conséquent, \(\sigma(k) = k\). Nous avons montré que \(\sigma = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) et que \(Z(\mathfrak{S}\left(n\right)) = \{\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\}\).


Exercice 336 **

17 mai 2021 11:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver le nombre de permutations de \(\mathfrak{S}\left(n\right)\) qui ont exactement une inversion.


[ID: 2099] [Date de publication: 17 mai 2021 11:26] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 336
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:26

Les-mathematiques.net

Soit \(\sigma\) une telle permutation. Une inversion c’est une paire de flèches (rouges) qui se coupent. Pour n’avoir qu’une seule inversion, seules ces deux flèches doivent se couper.

Pour l’image de \(1\) par \(\sigma\), on doit avoir \(1\) sinon on aurait \(1\) qui serait l’image d’un \(k>1\) et la flèche \(1 \to \sigma(1)\) couperait la flèche \(k\to1\).

De même \(\forall p\in\llbracket 1,i-1\rrbracket\), on a \(\sigma(p) = p\).

Maintenant, on a \(\sigma(i) > i\). Donc nécessairement \(i\) est l’image d’un \(k>i\), dont la flèche \(k\to i\) va couper la flèche \(i \to \sigma(i)\). Comme il n’y en a qu’une seule qui coupe cette flèche \(i \to \sigma(i)\), à savoir la flèche \(j \to \sigma(j)\), on en déduit que \(k=j\) et \(\sigma(j) = i\). De même \(\sigma(i+1)\), l’image de \(i+1\) est plus grande que \(i+1\) (toutes les places \(1,2,\ldots,i\) sont déjà prises pour les images). Donc supposons l’espace d’un instant que \(i+1\neq j\), on aurait une flèche \(i+1 \to \sigma(i+1)\) différente de \(i \to \sigma(i)\) qui couperait \(j\to i\), ce qui n’est pas possible par hypothèse. Donc \(i+1 = j\).

Par la suite, toujours pour éviter que d’autres flèches se coupent, pour \(p>i+1\) (s’il en existe) on a \(\sigma(p) = p\). Réciproquement, une permutation de cette forme ne possède qu’une inversion.

On a donc \(n-1\) possibilités pour \(i\) et donc \(n-1\) permutations de \(\mathfrak{S}\left(n\right)\) qui ont exactement une inversion.


Exercice 713 **

17 mai 2021 11:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans un groupe \(G\), étant donné un élément \(g \in G\), on considère la conjugaison : \[\varphi_g : \left\{ \begin{array}{ccl} G & \longrightarrow & G \\ x & \longmapsto & gxg^{-1} \end{array} \right. .\]

  1. Montrer que \(\forall g \in G\), l’application \(\varphi_g\) est un automorphisme de \(G\) et que l’application \[\theta : \left\{ \begin{array}{ccl} (G, .) & \longrightarrow & (\textrm{ Aut(G)}, \circ) \\ g & \longmapsto & \varphi_g \end{array} \right.\] est un morphisme de groupes.

  2. Dans le groupe symétrique \(\mathfrak{S}\left(n\right)\), on considère une transposition \(\tau = \tau_{ij}\) et une permutation \(\sigma\). Calculer le conjugué \(\sigma' = \sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1} = \varphi_{\sigma}(\tau)\).

  3. Calculer le conjugué d’un cycle \(c = (i_1~\dots~i_k)\) par une permutation \(\sigma\) : \(\sigma' = \sigma \circ c\circ \sigma^{-1}\).


[ID: 2101] [Date de publication: 17 mai 2021 11:26] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 713
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:26

  1. Vérification sans problème.

  2. Notons \(k = \sigma(i)\) et \(l = \sigma(j)\). On calcule \(\sigma'(k) = \sigma(j) = l\) et \(\sigma'(l) = \sigma(i) = k\). Si \(p \not\in \{k, l\}\), \(\sigma'(p) = \sigma(\sigma^{-1}(p)) = p\). Par conséquent, \(\sigma' = \tau_{\sigma(i)\sigma(j)}\).

  3. Décomposons le cycle en produit de transpositions : \[c = \tau_{i_1i_2}\circ \tau_{i_2i_3}\circ \dots \circ \tau_{i_{k-1}i_k}\] Puisque \(\theta\) est un morphisme, on a \[\varphi_{c} = \varphi_{\tau_{i_1i_2}}\circ \dots \circ \varphi_{\tau_{i_{k-1}i_k}}\] et donc pour \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)\), \(\varphi_{c}(\sigma) = \tau_{\sigma(i_1)\sigma(i_2)}\dots \tau_{\sigma\left(i_{k-1}\right)\sigma\left(i_k\right)} = (\sigma(i_1),\dots ,\sigma\left(i_k\right))\). Le conjugué d’un cycle par une permutation est encore un cycle.


Exercice 392 ***

17 mai 2021 11:27 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces


[ID: 2103] [Date de publication: 17 mai 2021 11:27] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 392
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:27

Soit \(\varphi\) un tel morphisme. On doit avoir \[\forall (\sigma_1, \sigma_2) \in \mathfrak{S}\left(n\right)^2, \quad \varphi(\sigma_1 \circ \sigma_2) = \varphi(\sigma_1) \times \varphi(\sigma_2).\] Soit une transposition \(\tau\). Comme \(\tau^2 = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\), on doit avoir \(\varphi(\tau)^2 = 1\) et donc \(\varphi(\tau) = \pm 1\). Par conséquent, puisque toute permutation se décompose comme produit de transpositions, on en déduit que \(\mathop{\mathrm{Im}}\varphi\subset \{-1, 1\}\).

Supposons que \(\varphi\) n’est pas triviale. Il existe alors une permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)\) telle que \(\varphi(\sigma) = -1\), et comme \(\sigma\) se décompose en produit de transpositions de la forme \(\tau_{1i}\), il existe \(i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\) telle que \(\varphi(\tau_{1i}) = -1\). Mais alors pour \(j \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\), \(j \neq i\), \(\tau_{1j}\circ \tau_{1i} = \begin{pmatrix} i&j&1 \end{pmatrix} = c\), mais puisque \(c^3 = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\), \(1 = \varphi(c)^3 = \varphi(\tau_{1i})^3 \varphi(\tau_{1j})^3 = -1\), et donc \(\varphi(\tau_{1j})=-1\).

Soit alors une permutation quelconque. Elle se décompose comme un produit de transpositions de la forme \(\tau_{1i}\) : \[\sigma = \tau_{i_1} \circ \dots \circ \tau_{i_k}\] et alors \(\varphi(\sigma) = (-1)^k = \varepsilon(\sigma)\).


Exercice 880 ***

17 mai 2021 11:27 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que pour toute permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(5\right)\), il existe \(k \in [\kern-0.127em[ 1, 6 ]\kern-0.127em]\) tel que \(\sigma^k = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\).


[ID: 2105] [Date de publication: 17 mai 2021 11:27] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 880
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:27

Décomposons une permutation \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints. Les cycles possibles sont de longueur \(2,3,4,5\). Puisque les supports des cycles sont disjoints dans \([\kern-0.127em[ 1, 5 ]\kern-0.127em]\), il n’y a que les possibilités suivantes : \(\sigma = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\), \(\sigma = c_2\), \(\sigma = c_3\), \(\sigma = c_4\), \(\sigma = c_5\), \(\sigma = c_2 \circ c_2'\), \(\sigma = c_2\circ c_3\), où \(c_l\) désigne un cycle de longueur \(l\) pour lequel \(c_l^l = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\). On vérifie que dans tous les cas, il existe \(k \in \{1,2,3,4,5,6\}\) tel que \(\sigma^k = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\).


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