Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions
Exercices du dossier Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions
Exercice 466 *
12 mai 2021 13:57 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesRésoudre l’équation différentielle \[(E) : \quad x^2y'+y=1\] sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\).
[ID: 2066] [Date de publication: 12 mai 2021 13:57] [Catégorie(s): Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 466
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:57
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:57
On résout d’abord l’équation sur \(I_1=]-\infty,0[\) et \(I_2=]0,+\infty[\). Sur chacun de ces intervalles, l’équation est équivalente à l’équation normalisée dont l’ensemble des solutions est : \[\{ 1+\dfrac{C}{x} \mid C\in \mathbb{R} \}\] On trouve ensuite que si \(I\) est un intervalle contenant \(0\), la seule solution de \((E)\) sur \(I\) est la fonction constante égale à \(1\).
Exercice 191 *
12 mai 2021 13:57 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesRésoudre l’équation différentielle \[(E) \quad(x^2-1)y'-xy+3(x-x^3)=0\] sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\).
[ID: 2068] [Date de publication: 12 mai 2021 13:57] [Catégorie(s): Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 191
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:57
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:57
Soit \(I_1=]-\infty,-1[\), \(I_2=]-1,1[\) et \(I_3=]1,+\infty[\). Sur chacun de ces intervalles, l’équation est équivalente à l’équation normalisée \[(E') : \quad y'-\dfrac{x}{x^2-1}y=3x\] L’ensemble des solutions de l’équation homogène associée est \[\{x\mapsto C\sqrt{\left|x^2-1\right|} \mid C\in \mathbb{R} \}\] On recherche ensuite une solution particulière de la forme \(y(x)=C(x)\sqrt{\left|x^2-1\right|}\) avec \(C'(x)=3x\sqrt{\left|x^2-1 \right|}\), \(C(x)=3\int x\sqrt{\varepsilon(x^2-1)}dx\) où \(\varepsilon=+1\) sur \(I_1\) et \(I_3\), \(\varepsilon=-1\) sur \(I_2\). On trouve \(y(x)=3(x^2-1)\) comme solution particulière. Donc la solution générale de \((E)\) sur \(I_k\) s’écrit \[y(x)= 3(x^2-1) + C\sqrt{\left|x^2-1\right|}\] Sur un intervalle \(I\) contenant \(1\) ou \(-1\), puisque la fonction \(\sqrt{\left|x^2-1\right|}\) n’est pas dérivable en \(1\) et \(-1\), la seule solution de \((E)\) est la fonction \(y(x)=3(x^2-1)\).
Exercice 498 *
12 mai 2021 13:57 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesOn considère l’équation différentielle \[(E):~~ xy'-2y=(x-1)(x+1)^3\]
Résoudre \(\left(E\right)\) sur des intervalles qu’on précisera.
Déterminer les solutions de \(\left(E\right)\) définies sur \(\mathbb{R}\)?
[ID: 2070] [Date de publication: 12 mai 2021 13:57] [Catégorie(s): Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 498
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:57
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:57
L’équation normalisée associée à \(\left(E\right)\) est \(\left(N\right)~: y'-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle x}y = {\scriptstyle\left(x-1\right)\left(x+1\right)^3\over\scriptstyle x}\). Celle-ci est définie sur \(I_1=\left]-\infty,0\right[\) et \(I_2=\left]0,+\infty\right[\). Appliquant d’abord sur \(I_1\) puis sur \(I_2\) le théorème fondamental et la méthode de variation de la constante, on trouve que, pour \(k=1,2\), les solutions de \(\left(N\right)\) et donc de \(\left(E\right)\) sont, sur \(I_k\) de la forme : \[\varphi_{\alpha_k}: \left\{ \begin{array}{ccl} I_k & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & {\scriptstyle{x}^{4}\over\scriptstyle 2}+2\,{x}^{3}+2\,x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+\alpha_k{x}^{2} \end{array} \right. ;\quad \alpha_k\in\mathbb{R}\]
Supposons qu’il existe \(\varphi\) une solution de \(\left(E\right)\) définie sur \(\mathbb{R}\). Alors \(\varphi\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et il existe \(\alpha_1,\alpha_2\in \mathbb{R}\) tel que : \(\varphi_{|I_1} = {\scriptstyle{x}^{4}\over\scriptstyle 2}+2\,{x}^{3}+2\,x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+\alpha_1{x}^{2}\) et \(\varphi_{|I_2} = {\scriptstyle{x}^{4}\over\scriptstyle 2}+2\,{x}^{3}+2\,x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+\alpha_2{x}^{2}\). Posons alors : \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} {\scriptstyle{x}^{4}\over\scriptstyle 2}+2\,{x}^{3}+2\,x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+\alpha_1{x}^{2} &\textrm{ si } x\in I_1 \\ 0 &\textrm{ si } x=0 \\ {\scriptstyle{x}^{4}\over\scriptstyle 2}+2\,{x}^{3}+2\,x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+\alpha_2{x}^{2} &\textrm{ si } x\in I_2 \end{cases} \end{array} \right.\] On vérifie facilement que \(\varphi\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Réciproquement, une fonction \(\varphi\) ainsi définie est solution de \(\left(E\right)\) sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 510 **
12 mai 2021 13:57 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François CapacesRésoudre l’équation différentielle \[(E) \quad x^2y'+y=1\] sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\).
[ID: 2072] [Date de publication: 12 mai 2021 13:57] [Catégorie(s): Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 510
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:57
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:57
Soit \(I\) un intervalle ne contenant pas \(0\). Les solutions de \((E)\) sur \(I\) sont les solutions de l’équation normalisée \[(E') \quad y'+\dfrac{1}{x} y= \dfrac{1}{x}\] L’équation homogène associée s’écrit : \[(H) \quad y' + \dfrac{1}{x} y = 0\] Notons \(a(x)=\dfrac{1}{x}\), dont une primitive est \(A(x)=\ln \left|x\right|\). L’ensemble des solutions de l’équation homogène est alors \[S_H = \left\{ x\mapsto ce^{-\ln \left| x\right|}= \dfrac{C}{x} \mid C\in \mathbb{R} \right\}\] (en posant \(C=-c\) si \(I \subset ]-\infty,0[\)). On trouve ensuite une solution particulière évidente, \(\tild{y}(x)= 1\). Les solutions de \((E)\) sur \(I\) sont donc de la forme \[\boxed{ y(x)= 1 + \dfrac{C}{x} }\]
Si maintenant \(0 \in I\), et \(y\) est une solution sur \(I\), alors il existe \(C_1 \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall x\in I\subset ]0,+\infty[\), \(y(x)= 1+ \dfrac{C_1}{x}\) et il existe \(C_2\in \mathbb{R}\) tq \(\forall x\in I \subset ]-\infty,0[\), \(y(x)=1+\dfrac{C_2}{x}\). Pour que \(y\) soit solution en \(0\), il faut d’après l’équation que \(y(0)=1\). Pour qu’une telle fonction soit dérivable en \(0\), il faut et il suffit que \(C_1=C_2=0\). La seule solution de \((E)\) sur \(I\) est donc la fonction constante égale à \(1\).