Résolution d'équations différentielles par changement de variable

Exercices du dossier Résolution d'équations différentielles par changement de variable

Exercice 183 *

12 mai 2021 13:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur \(]0,+\infty[\) puis sur \(\mathbb{R}\): \[4xy'' + 2y' -y=0\] (on posera \(t=\sqrt{x}\))



[ID: 2058] [Date de publication: 12 mai 2021 13:51] [Catégorie(s): Résolution d'équations différentielles par changement de variable ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 183
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:51

Soit \(y\) une solution de \(\left(E\right)\) sur \(]0,+\infty[\). Posons \(z\left(t\right)=y\left(t^2\right)\). Comme \(y\) est deux fois dérivable il en est de même de \(z\) et on a : \[\begin{cases} z\left(t\right)&=y\left(t^2\right)\\ z'\left(t\right)&= 2t y'\left(t^2\right)\\ z''\left(t\right)&= 2y'\left(t^2\right)+4t^2 y''\left(t^2\right) \end{cases} .\] Comme \(y\) est solution de la première équation, \(z\) est solution de  : \(f''-f=0\). Par conséquent, il existe \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(z:t\mapsto A\mathop{\mathrm{ch}}t+ B\mathop{\mathrm{sh}}t\). La fonction \(y\) est alors donnée par : \(y:x\mapsto A\mathop{\mathrm{ch}}(\sqrt x)+ B\mathop{\mathrm{sh}}(\sqrt x)\). Réciproquement, on vérifie que les fonctions de cette forme sont solution de l’équation sur \(]0,+\infty[\).
Sur \(]-\infty,0[\), on pose \(x = -t^2\) et \(z\left(t\right)=y\left(t^2\right)\). \[\begin{cases} z\left(t\right)&=y\left(-t^2\right)\\ z'\left(t\right)&= -2t y'\left(-t^2\right)\\ z''\left(t\right)&= -2y'\left(t^2\right)+4t^2 y''\left(t^2\right) \end{cases} .\] Donc \(z''\left(t\right) = - z\left(t\right)\). Donc il existe \(\left(A',B'\right)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(z:t\mapsto A'\mathop{\mathrm{ch}}t+ B'\mathop{\mathrm{sh}}t\). La fonction \(y\) est alors donnée par : \(y:x\mapsto A'\cos (\sqrt {-x})+ B'\sin (\sqrt{-x})\). Réciproquement, on vérifie que les fonctions de cette forme sont solution de l’équation sur \(]-\infty,0[\).
Pour avoir une solution sur \(\mathbb{R}\), la continuité en zéro impose \(A = A'\). La continuité en zéro de la dérivée impose \(B = B'\). Réciproquement, si on se donne \((A,B)\in\mathbb{R}^2\), la fonction \(\psi_{A,B}\) définie par \(\psi_{A,B}(x) = A\mathop{\mathrm{ch}}(\sqrt x)+ B\mathop{\mathrm{sh}}(\sqrt x)\) pour \(x\geqslant 0\) et \(\psi_{A,B}(x) = A\cos (\sqrt {-x})+ B\sin (\sqrt{-x})\) est solution sur \(\mathbb{R}\).


Exercice 588 *

12 mai 2021 13:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur \(\mathbb{R}_+^*\) l’équation différentielle : \[\left(E\right)~:\quad x^2 y'' +3x y' + y = x^2\] en effectuant le changement de variable \(t=\ln x\).



[ID: 2060] [Date de publication: 12 mai 2021 13:51] [Catégorie(s): Résolution d'équations différentielles par changement de variable ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 588
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:51

Soit \(y\) une solution de \(\left(E\right)\) sur \(\mathbb{R}_+^*\). Posons \(z\left(t\right)=y\left(e^t\right)\). Comme \(y\) est deux fois dérivable il en est de même de \(z\) et on a : \[\begin{cases} z\left(t\right)&=y\left(e^t\right)\\ z'\left(t\right)&= e^t y'\left(e^t\right)\\ z''\left(t\right)&= e^t y'\left(e^t\right)+e^{2t} y''\left(e^t\right) \end{cases} .\] Comme \(y\) est solution de la première équation, \(z\) est solution de  : \(f''+2f'+f=e^{2t}\). Par conséquent, il existe \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(z:t\mapsto \left(At+B\right)e^{-t}+1/9e^{2t}\). La fonction \(y\) est alors donnée par : \(y:x\mapsto \dfrac{\left(A\ln x+B\right)}{x}+\dfrac{x^2}{9}\). Réciproquement, on vérifie que les fonctions de cette forme sont solutions de l’équation sur \(]0,+\infty[\).


Exercice 544 *

12 mai 2021 13:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle : \[\left(E\right)~:\quad\left(1+x^2\right)^2 y'' +2x\left(1+x^2\right) y' + 4y =0\] en effectuant le changement de variable \(t=\operatorname{arctan} x\).



[ID: 2062] [Date de publication: 12 mai 2021 13:51] [Catégorie(s): Résolution d'équations différentielles par changement de variable ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 544
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:51

Soit \(y\) une solution de \(\left(E\right)\) sur \(\mathbb{R}_+^*\). Posons \(z\left(t\right)=y\left(\tan t\right)\). Comme \(y\) est deux fois dérivable, il en est de même de \(z\) et on a : \[\begin{cases} y\left(x\right)&=z\left(\operatorname{arctan} x\right)\\ y'\left(x\right)&= \dfrac{1}{1+x^2} z'\left(\operatorname{arctan} x\right)\\ y''\left(x\right)&= \dfrac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2} z'\left(\operatorname{arctan} x\right) +\dfrac{1}{\left(1+x^2\right)^2} z''\left(\operatorname{arctan} x\right) \end{cases} .\] Comme \(y\) est solution de la première équation, \(z\) est solution de  : \(f''+4f=0\). Par conséquent, il existe \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(z:t\mapsto A\cos 2t + B\sin 2t\). La fonction \(y\) est alors donnée par : \(y:x\mapsto \cos \left(2\operatorname{arctan} x\right) + B\sin \left(2\operatorname{arctan} x\right)\). Réciproquement, on vérifie que les fonctions de cette forme sont solutions de l’équation sur \(\mathbb{R}\).


Exercice 922 *

12 mai 2021 13:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre l’équation différentielle: \[\left(E\right)~:\quad(1-x^2) y''-x y'+ 9 y=0\] d’inconnue \(y:]-1;1[ \longrightarrow \mathbb{R}\) supposée deux fois dérivables. On pourra utiliser le changement de variable défini par \(t=\operatorname{arcsin} x\).



[ID: 2064] [Date de publication: 12 mai 2021 13:51] [Catégorie(s): Résolution d'équations différentielles par changement de variable ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 922
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:51

Soit \(y\) une solution de \(\left(E\right)\) sur \(\left]-1,1\right[\). Posons \(z\left(t\right)=y\left(\sin t\right)\). Comme \(y\) est deux fois dérivable, il en est de même de \(z\) et on a : \[\begin{cases} y\left(x\right)&=z\left(\operatorname{arcsin} x\right)\\ y'\left(x\right)&= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} z'\left(\operatorname{arcsin} x\right)\\ y''\left(x\right)&= \dfrac{x}{\left(1-x^2\right)^{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}} z'\left(\operatorname{arcsin} x\right) +\dfrac{1}{\left(1-x^2\right)} z''\left(\operatorname{arcsin} x\right) \end{cases} .\] Comme \(y\) est solution de la première équation, \(z\) est solution de  : \(f''+9f=0\). Par conséquent, il existe \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(z:t\mapsto A\cos 3t + B\sin 3t\). La fonction \(y\) est alors donnée par : \(y:x\mapsto \cos \left(3\operatorname{arcsin} x\right) + B\sin \left(3\operatorname{arcsin} x\right)\). Réciproquement, on vérifie que les fonctions de cette forme sont solutions de l’équation sur \(\mathbb{R}\).


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