Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Exercices du dossier Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Exercice 160 *

12 mai 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre les équations différentielles \(\left(E\right)\) données par :

  1. \(y''-3y'+2y=e^t\)

  2. \(y''-4y'+4y=(t^2+1)e^{2t}\)

  3. \(y''+2y'+5y=\cos^2t\)

  4. \(y''+y=\sin 2t\)

  5. \(y''+y'-2y=\sin t e^t\)

  6. \(y''-4y'+4y=e^t+(3t-1)e^{2t}+t-2\)



[ID: 2042] [Date de publication: 12 mai 2021 13:44] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 160
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:44
  1. Les racines de l’équation caractéristique associée à \(\left(E\right)\) sont \(1\) et \(2\). Les solutions de l’équation générale sont les fonctions \(t\mapsto Ae^t+Be^{2t}\) avec \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\). Comme \(1\) est une racine de l’équation caractéristique, on cherche une solution particulière de \(\left(E\right)\) de la forme : \(t\mapsto a te^{t}\). On trouve \(a=-1\). Les solutions de \(\left(E\right)\) sont les fonctions \(t\mapsto \left(A-t\right)e^t+Be^{2t}\) avec \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\).

  2. \(2\) est une racine double de l’équation caractéristique associée à l’équation. Les solutions de l’équation homogène sont donc les fonctions \(t\mapsto \left(At+B\right)e^{2t}\) avec \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\). On cherche une solution particulière de \(\left(E\right)\) sous la forme : \(t^2\left(at^2+bt+c\right)e^{2t}\). On trouve alors \(a=1/12\), \(b=0\) et \(c=1/2\). Les solutions de \(E\) sont donc les fonctions \(t\mapsto \left(t^2/12\left(6+t^2\right)+At+B\right)e^{2t}\) avec \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\).

  3. L’équation caractéristique associée à \(\left(E\right)\) admet deux racines complexes conjuguées \(-1\pm 2i\). Les solutions de l’équation homogène sont donc les fonctions \(t\mapsto \left(A\cos 2t + B\sin 2t\right)e^{-t}\). Linéarisons le second membre, on obtient : \(\cos^2 t=1/2\left(1+\cos 2t\right)\). Une solution particulière de \(y''+2y'+5y=1/2\cos \left(2t\right)\) est \(t\mapsto 1/34 \cos 2t +2/17 \sin 2t\). Une solution particulière de \(y''+2y'+5y=1/2\) est la fonction constante :\(t\mapsto 1/10\). On applique alors le principe de superposition et les solutions de \(\left(E\right)\) sont les fonctions \(t\mapsto \left(A\cos 2t + B\sin 2t\right)e^{-t}+1/34 \cos 2t +2/17 \sin 2t+1/10\) avec \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\).

  4. L’équation caractéristique associée à \(\left(E\right)\) admet deux racines complexes conjuguées \(\pm i\). Les solutions de l’équation homogène sont donc les fonctions : \(t\mapsto A\cos t+B\sin t\) avec \(A,B\in\mathbb{R}\). On cherche une solution particulière de \(\left(E\right)\) de la forme \(t\mapsto a\cos 2t+b\sin 2t\). On trouve \(a=0\) et \(b=-1/3\). Les solutions de \(\left(E\right)\) sont donc les fonctions \(t\mapsto \left(A\cos t + B\sin t\right)-1/3 \sin 2t\) avec \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\).

  5. On vérifie facilement que les solutions de l’équation homogène sont les fonctions : \(t\mapsto A e^t+Be^{-2t}\). Introduisons l’équation complexe \(y''+y'-2y=e^{\left(1+i\right)t}\). On calcule une solution particulière facilement :\(t\mapsto -e^t/10 \left(3\cos t+\sin t\right)\). Les solutions de \(\left(E\right)\) sont donc les fonctions : \(t\mapsto A e^t+Be^{-2t}-e^t/10 \left(3\cos t+\sin t\right)\) avec \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\).

  6. On détermine facilement les solutions de l’équation homogène. On utilise le principe de superposition pour chercher une solution particulière. On trouve la solution générale : \[t\mapsto e^t + \dfrac{t^3-t^2}{2}e^{2t} + \dfrac{t-1}{4} +(At+B)e^{-t}\] avec \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\).


Exercice 401 *

12 mai 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles

  1. \(y''-2y'+y=te^t\)

  2. \(y''-4y'+5y=\cos 2t-2\sin 2t\)

  3. \(y''+9y=\cos 2t e^t\).

  4. \(y''+4y'-5y=2e^t\)

  5. \(y''+y'+y=e^t \cos t\).

  6. \(y''-3y'+2y=(t^2+1)e^t\)



[ID: 2044] [Date de publication: 12 mai 2021 13:44] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 401
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:44
  1. On détermine facilement les solutions de l’équation homogène. Comme \(1\) est une racine double de l’équation caractéristique, on cherche une solution particulière de la forme \(t\mapsto t^2\left(at+b\right)e^t\) et on trouve \(a=1/6\) et \(b=0\). Finalement, les solutions de l’équation sont les fonction \(t\mapsto \left(At+B\right)e^t+1/6t^3e^t\) avec \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\).

  2. On montre facilement que les solutions de l’équation sont les fonctions \(t\mapsto \left(A\cos t + B\sin t\right)e^{2t}-3/13 \cos 2t-2/13 \sin 2t\) avec \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\).

  3. On détermine facilement les solutions de l’équation homogène. On cherche une solution particulière de l’équation différentielle : \(y''+9y=e^{\left(1+2i\right)t}\) sous la forme \(t\mapsto ae^{\left(1+2i\right)t}\). On trouve \(a=3/26-i/13\). Une solution particulière de \(\left(E\right)\) est donnée par la partie réelle de cette fonction, soit \(t\mapsto 1/26\left(3\cos 2t+2\sin 2t\right)e^t\) et les solutions de \(\left(E\right)\) sont les fonctions : \(t\mapsto A\cos 3t + B\sin 3t + 1/26\left(3\cos 2t+2\sin 2t\right)e^t\) avec \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\)..

  4. On montre facilement que les solutions de l’équation sont les fonctions \(t\mapsto \dfrac{1}{3}te^t+Ae^t+Be^{-5t}\) avec \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\).

  5. On cherche une solution particulière de \(y''+y'+y=e^{\left(1+i\right)t}\) de la forme \(t\mapsto ae^{\left(1+i\right)}t\). On trouve alors une solution particulière de \(\left(E\right)\) qui est \(t\mapsto ({2}/{13}\cos t + {3}/{13}\sin t)e^t\). Les solutions de \(\left(E\right)\) sont les fonctions :\(t\mapsto (\dfrac{2}{13}\cos t + \dfrac{3}{13}\sin t)e^t + A e^{-{\scriptstyle t\over\scriptstyle 2}} \cos \dfrac{\sqrt{3}}{2}t + B e^{-{\scriptstyle t\over\scriptstyle 2}} \sin \dfrac{\sqrt{3}}{2} t\) avec \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\).

  6. On montre facilement que les solutions de l’équation sont les fonctions \(t\mapsto \left( -\dfrac{1}{3}t^3 - t^2 -3t \right)e^t + Ae^t+Be^{2t}\) avec \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\).


Exercice 513 **

12 mai 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre en fonction de \(m \in \mathbb{R}\): \[(E_m) \quad y''-2y'+my=\cos x\]



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Exercice 513
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:44

On note \(\mathscr S_m\) l’ensemble solution de cette équation différentielle. Le discriminant réduit de l’équation caractéristique vaut \(1-m\). On est donc conduit à étudier les trois cas :

  1. Si \(m<1\), on trouve \(\mathscr S_m=\{x\mapsto \dfrac{m-1}{(m-1)^2+4} \cos x - \dfrac{2}{(m-1)^2+4}\sin x + A\mathop{\mathrm{ch}}\left( (1+\sqrt{1-m})x\right) + B \mathop{\mathrm{sh}}\sqrt{1-m}x ~|~ A,B\in\mathbb{R}\}\)

  2. Si \(m=1\), on trouve \(\mathscr S_m=\{ x\mapsto-\dfrac{\sin x }{2} +Ae^x + Bxe^x ~|~ A,B\in\mathbb{R}\}\)

  3. Si \(m>1\), on trouve \(\mathscr S_m=\{x\mapsto \dfrac{-2\sin x +(m-1)\cos x}{(m-1)^2+4} + e^x\left( A\cos \left( (\sqrt{m-1})x\right)+B\sin \left( (\sqrt{m-1})x\right)\right) ~|~ A,B\in\mathbb{R}\}\).


Exercice 720 **

12 mai 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(m \in \mathbb{R}\). Résoudre l’équation différentielle (solutions réelles) : \[my'' - (1+m^2)y' + my = xe^{x}\]



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Exercice 720
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:44

L’équation caractéristique est \((r-m)(mr-1)=0\). Il faut distinguer le cas \(m=0\) et le cas \(m\neq 0\). Pour chercher une solution particulière, distinguer le cas où \(m=1\) des autres cas.


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