Equations différentielles linéaires du premier ordre

Exercices du dossier Equations différentielles linéaires du premier ordre

Exercice 548 *

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :

  1. \(y'+y=\cos x + \sin x\)

  2. \(y'-3y=2\)

  3. \(y'-2x ~ y =\mathop{\mathrm{sh}}x -2x\mathop{\mathrm{ch}}x\)

  4. \(y'+2y=e^{2x}\)

  5. \(y'+y = \sin 2x\)

  6. \(y'-5y=e^{5x}\)



[ID: 2020] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 548
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Après avoir résolu l’équation homogène, on cherche une solution particulière. Si celle-ci n’est pas évidente, on utilise ici un des critères [premier_degre_polynome], [premier_degre_exp] ou [equ_diff_sin_cos] ainsi que le principe de superposition [principe_superposition_premier_degre].

  1. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \sin \left( x \right) +\alpha{e^{-x}}} ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  2. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -2/3+\alpha{e^{3\,x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  3. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \alpha e^{x^2} +\mathop{\mathrm{ch}}x } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  4. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( 1/4\,{e^{4\,x}}+\alpha \right) {e^{-2\,x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  5. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -2/5 \cos(2 x)+1/5 \sin(2 x)+\alpha e^{-x}} ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  6. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( x+\alpha \right) {e^{5\,x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)


Exercice 647 *

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :

  1. \(y'+2y=x^2\)

  2. \(y'+y=2 \sin x\)

  3. \(y'-y=\left(x+1\right)e^x\)

  4. \(y'+y=x-e^x+\cos x\)

  5. \(y'+y=\left(x^2-2x+2\right)e^{2x}\)

  6. \(y'+y=\sin x + 3 \sin 2x\).



[ID: 2022] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 647
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Après avoir résolu l’équation homogène, on cherche une solution particulière. Si celle-ci n’est pas évidente, on utilise ici un des critères [premier_degre_polynome], [premier_degre_exp] ou [equ_diff_sin_cos] ainsi que le principe de superposition [principe_superposition_premier_degre].

  1. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { 1/4-1/2\,x+1/2\,{x}^{2}+\alpha{e^{-2\,x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  2. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -\cos \left( x \right) +\sin \left( x \right) +\alpha{e^{-x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  3. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( 1/2\,{x}^{2}+x+\alpha \right) {e^{x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  4. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { x-1-1/2\,{e^{x}}+1/2\,\cos \left( x \right) +1/2\,\sin \left( x \right) +\alpha{e^{-x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  5. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( 1/27\, \left( 26-24\,x+9\,{x}^{2} \right) {e^{3\,x}}+\alpha \right) {e^{-x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  6. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -1/2\,\cos \left( x \right) +1/2\,\sin \left( x \right) -6/5\,\cos \left( 2\,x \right) +3/5\,\sin \left( 2\,x \right) +\alpha{e^{-x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)


Exercice 580 *

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :

  1. \((1+x^2)y'+2xy=e^x + x\).

  2. \(\left(1+x^2\right)y'+xy=\sqrt{1+x^2}\)

  3. \(y'+2xy=e^{x-x^2}\).

  4. \(\left(1+x^2\right)y'=xy+\left(1+x^2\right)\).

  5. \(y'+2xy= 2xe^{-x^2}\).

  6. \(\left(x^2+1\right)^2y'+2x\left(x^2+1\right)y=1\) .

  7. \(\sqrt{1+x^2}y'-y=1\).



[ID: 2024] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 580
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Après avoir normalisé si nécessaire l’équation différentielle étudiée et vérifié que l’équation normalisée est définie sur \(\mathbb{R}\), on résout l’équation homogène associée puis on cherche une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante si celle-ci n’est pas évidente.

  1. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle{e^{x}}+1/2\,{x}^{2}+\alpha\over\scriptstyle 1+{x}^{2}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  2. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle x+\alpha\over\scriptstyle\sqrt {1+{x}^{2}}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  3. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( {e^{x}}+\alpha \right) {e^{-{x}^{2}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  4. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { .\left( \mathop{\mathrm{argsh}}\left( x \right) +\alpha \right) \sqrt {1+{x}^{2}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  5. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( {x}^{2}+\alpha \right) {e^{-{x}^{2}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  6. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle\operatorname{arctan} \left( x \right) +\alpha\over\scriptstyle 1+{x}^{2}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  7. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -1+ \alpha e^{\mathop{\mathrm{argsh}}x} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)


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Exercice 124
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Après avoir normalisé si nécessaire l’équation différentielle étudiée et vérifié que l’équation normalisée est définie sur \(\mathbb{R}\), on résout l’équation homogène associée puis on cherche une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante.

  1. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left(2+\cos x\right)\left(\alpha -\ln\left(2+\cos x\right)\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  2. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -1/2\,{e^{x}}\cos \left( 2\,x \right) +\alpha{e^{x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  3. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \dfrac{\alpha+x+e^x}{1+e^x} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  4. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \mathop{\mathrm{ch}}x\left(\alpha + \mathop{\mathrm{ch}}x + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}x}\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  5. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -1/2\,{e^{x}}\cos \left( 2\,x \right) + \alpha{e^{x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  6. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle\mathop{\mathrm{argsh}} \left( x \right) +\alpha\over\scriptstyle \sqrt {1+{x}^{2}}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  7. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left(1+\mathop{\mathrm{ch}}x\right)\left(\alpha + \ln\left(1+\mathop{\mathrm{ch}}x\right)\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)


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Exercice 961
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Après avoir normalisé si nécessaire l’équation différentielle étudiée et vérifié que l’équation normalisée est définie sur l’intervalle spécifié, on résout l’équation homogène associée puis on cherche, si nécessaire, une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante.

  1. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle 1/2\,x-1/4\,\sin \left( 2\,x \right) + \alpha\over\scriptstyle\sin \left( x \right) }} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  2. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle 1/12\,\cos \left( 3\,x \right) -3/4\,\cos \left( x \right) +\alpha\over\scriptstyle x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  3. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}_+^*}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left(1+\ln^2 x\right) \left(\alpha + \ln x\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  4. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto {{{\scriptstyle\sin \left( x \right) \over\scriptstyle\tan \left( x \right) }}+\alpha\sin \left( x \right) } = \cos x + \alpha\sin x ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  5. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \cos \left( x \right) \left( 1/4\,\sin \left( 2\,x \right) +1/2\,x + \alpha \right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  6. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { 1+\alpha{e^{-\operatorname{arcsin} \left( x \right) }} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)


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Exercice 561
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Après avoir normalisé si nécessaire l’équation différentielle étudiée et vérifié que l’équation normalisée est définie sur l’intervalle spécifié, on résout l’équation homogène associée puis on cherche, si nécessaire, une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante.

  1. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -2\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{2}+\alpha\cos \left( x \right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  2. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -\mathop{\mathrm{ch}}x+\alpha\mathop{\mathrm{sh}} \left( x \right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\). Le \(\alpha\) trouvé pour \(\mathbb{R}_+^*\) n’a rien à voir avec le \(\alpha\) trouvé pour \(\mathbb{R}_-^*\).

  3. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \alpha\,{e^{2\,{x}^{-2}}}{x}^{4} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  4. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { 1+\alpha e^{-\mathop{\mathrm{argch}} x} } = 1 + \dfrac{\alpha}{x+\sqrt{x^2-1}} ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  5. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto {\alpha\,{e^{2\, \left( -1+\cos \left( 2\,x \right) \right) ^{-1}}} } = \alpha\exp\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sin^2x}\right) ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)


Exercice 342 *

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(k>0\). Montrer qu’il existe une unique condition initiale \(y_0\in \mathbb{R}\) telle que la solution du problème de Cauchy \[y'-ky=\sin t \quad y(0)=y_0\] soit bornée sur \([0,+\infty[\).



[ID: 2032] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 342
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

On cherche la solution générale de l’équation différentielle , avec une solution particulière de la forme \(t\mapsto A\cos t + B\sin t\). On trouve que les solutions sont les fonctions : \[y(t)= -\dfrac{1}{k^2+1}\left( k\sin t + \cos t \right) + Ce^{kx}\] Pour qu’une telle solution soit bornée sur \([0,+\infty[\), il faut et il suffit que \(C=0\) et alors \[y(x)= -\dfrac{1}{k^2+1}\left( k\sin t + \cos t \right)\] qui correspond à la donnée initiale \(y(0)=-\dfrac{1}{k^2+1}\).


Exercice 158 **

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces


[ID: 2034] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 158
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Soit \(f\) une telle fonction. Elle vérifie : \[\forall x\in \mathbb{R} ,~ f(x) = \sin x + 2e^x \int_0^x e^{-t}f(t)\mathrm{ \;d}t\] D’après le théorème fondamental de l’analyse, \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et \(\forall x \in \mathbb{R}\), \[f'(x) = \cos x + 2f(x) + 2e^x \int_0^xe^{-t}f(t)\mathrm{ \;d}t = 3f(x) + \cos x - \sin x\] Par conséquent, \(f\) doit être une solution de l’équation différentielle \[(E)~: y' - 3y = \cos x - \sin x\] On cherche l’ensemble des solutions de \((E)\) et on trouve \[\mathcal{S}_E = \{ Ce^{3x} - \dfrac{1}{4}\cos x + \dfrac{1}{5} \sin x \}\] Puisque \(f(0) = 0\), il vient : \[f(x) = \dfrac{1}{5}e^{3x} - \dfrac{1}{5}\cos x + \dfrac{2}{5}\sin x\] et on vérifie que cette fonction convient.


Exercice 897 *

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre pour un entier \(n \geqslant 1\) l’équation différentielle : \[(E_n)~: y' + \dfrac{nx}{x+1}y = (x+1)^n e^x\] sur l’intervalle \(I = ]-1, +\infty[\).



[ID: 2036] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 897
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

L’ensemble des solutions de l’équation homogène est \[\mathcal{S}_H = \{x\mapsto C e^{-nx}(x+1)^n~;~C \in \mathbb{R} \}\] On cherche une solution particulière sous la forme \[y(x) = C(x) e^{-nx}(x+1)^n\] et la méthode de la variation de la constante donne \[C'(x) = e^{(n+1)x}\] Une solution particulière est \[y(x) = \dfrac{(x+1)^n e^x}{n+1}\] L’ensemble des solutions est donc \[\mathcal{S} = \{ x\mapsto\dfrac{e^x(x+1)^n}{n+1} + Ce^{-nx}(x+1)^n~; C\in \mathbb{R} \}\]


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Exercice 739
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Soit une solution \(\varphi\) de l’équation différentielle. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a \[\varphi(x) = \varphi(0) e^{\int_0^x a(t)\mathrm{ \;d}t}\] Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). La fonction \(\psi\) donnée par \(\psi(x) = e^{-\alpha x}\varphi(x)\) vérifie alors \[\dfrac{\psi(x+T)}{\psi(x)} = e^{-\alpha T + \int_x^{x+T}a(t)\mathrm{ \;d}t}\] Mais la fonction définie par \(A(x) = \int_x^{x+T} a(t)\mathrm{ \;d}t\) est de classe \(\class{1}\) sur \(\mathbb{R}\) d’après le théorème fondamental, et \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(A'(x) = a(x+T) - a(x) = 0\). Par conséquent, \(\dfrac{\psi(x+T)}{\psi(x)} = e^{-\alpha T + \int_0^T a(t)\mathrm{ \;d}t}\). On doit donc avoir \[\alpha = \dfrac1T\int_0^T a(t)\mathrm{ \;d}t\] et on vérifie réciproquement que \(\psi\) est \(T\)-périodique.


Exercice 918 **

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces


[ID: 2040] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 918
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Comme \(f\) est continue, par application du théorème fondamental de l’analyse, il existe une primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}_+\) qui s’annule en \(0\). On a de plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^*\), la relation : \(\quad 2xf(x)=3F\left(x\right)\) qui permet d’affirmer que, comme \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\), il en est de même de \(f\). La fonction \(f\) est alors solution de l’équation différentielle : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\quad 2xf'\left(x\right)-f\left(x\right)=0\] et donc il existe \(\alpha\in\mathbb{R}\) tel que \(\boxed{f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \alpha\sqrt{x} \end{array} \right. }\). Réciproquement, on vérifie que les fonctions de cette forme sont solutions de l’équation fonctionnelle de départ.


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