Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :
\(y'+y=\cos x + \sin x\)
\(y'-3y=2\)
\(y'-2x ~ y =\mathop{\mathrm{sh}}x -2x\mathop{\mathrm{ch}}x\)
\(y'+2y=e^{2x}\)
\(y'+y = \sin 2x\)
\(y'-5y=e^{5x}\)
Après avoir résolu l’équation homogène, on cherche une solution particulière. Si celle-ci n’est pas évidente, on utilise ici un des critères [premier_degre_polynome], [premier_degre_exp] ou [equ_diff_sin_cos] ainsi que le principe de superposition [principe_superposition_premier_degre].
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \sin \left( x \right) +\alpha{e^{-x}}} ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -2/3+\alpha{e^{3\,x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \alpha e^{x^2} +\mathop{\mathrm{ch}}x } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( 1/4\,{e^{4\,x}}+\alpha \right) {e^{-2\,x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -2/5 \cos(2 x)+1/5 \sin(2 x)+\alpha e^{-x}} ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( x+\alpha \right) {e^{5\,x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :
\(y'+2y=x^2\)
\(y'+y=2 \sin x\)
\(y'-y=\left(x+1\right)e^x\)
\(y'+y=x-e^x+\cos x\)
\(y'+y=\left(x^2-2x+2\right)e^{2x}\)
\(y'+y=\sin x + 3 \sin 2x\).
Après avoir résolu l’équation homogène, on cherche une solution particulière. Si celle-ci n’est pas évidente, on utilise ici un des critères [premier_degre_polynome], [premier_degre_exp] ou [equ_diff_sin_cos] ainsi que le principe de superposition [principe_superposition_premier_degre].
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { 1/4-1/2\,x+1/2\,{x}^{2}+\alpha{e^{-2\,x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -\cos \left( x \right) +\sin \left( x \right) +\alpha{e^{-x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( 1/2\,{x}^{2}+x+\alpha \right) {e^{x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { x-1-1/2\,{e^{x}}+1/2\,\cos \left( x \right) +1/2\,\sin \left( x \right) +\alpha{e^{-x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( 1/27\, \left( 26-24\,x+9\,{x}^{2} \right) {e^{3\,x}}+\alpha \right) {e^{-x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -1/2\,\cos \left( x \right) +1/2\,\sin \left( x \right) -6/5\,\cos \left( 2\,x \right) +3/5\,\sin \left( 2\,x \right) +\alpha{e^{-x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :
\((1+x^2)y'+2xy=e^x + x\).
\(\left(1+x^2\right)y'+xy=\sqrt{1+x^2}\)
\(y'+2xy=e^{x-x^2}\).
\(\left(1+x^2\right)y'=xy+\left(1+x^2\right)\).
\(y'+2xy= 2xe^{-x^2}\).
\(\left(x^2+1\right)^2y'+2x\left(x^2+1\right)y=1\) .
\(\sqrt{1+x^2}y'-y=1\).
Après avoir normalisé si nécessaire l’équation différentielle étudiée et vérifié que l’équation normalisée est définie sur \(\mathbb{R}\), on résout l’équation homogène associée puis on cherche une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante si celle-ci n’est pas évidente.
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle{e^{x}}+1/2\,{x}^{2}+\alpha\over\scriptstyle 1+{x}^{2}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle x+\alpha\over\scriptstyle\sqrt {1+{x}^{2}}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( {e^{x}}+\alpha \right) {e^{-{x}^{2}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { .\left( \mathop{\mathrm{argsh}}\left( x \right) +\alpha \right) \sqrt {1+{x}^{2}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( {x}^{2}+\alpha \right) {e^{-{x}^{2}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle\operatorname{arctan} \left( x \right) +\alpha\over\scriptstyle 1+{x}^{2}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -1+ \alpha e^{\mathop{\mathrm{argsh}}x} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :
\(\left(2+\cos x\right)y'+\sin x~ y =\left(2+\cos x\right)\sin x\).
\(y'-y=e^x \sin 2 x\) .
\(\left(1+e^x\right)y'+e^x ~y=1+e^x\) .
\(\mathop{\mathrm{ch}}x ~ y' -\mathop{\mathrm{sh}}x~ y=\mathop{\mathrm{sh}}^3 x\).
\(\left(1+\cos^2 x\right)y'-\sin 2x ~ y = \cos x\)
\(\left(x^2+1\right)y'+xy=1\)
\(y'-{\scriptstyle\mathop{\mathrm{sh}}x\over\scriptstyle 1+\mathop{\mathrm{ch}}x}y=\mathop{\mathrm{sh}}x\).
Après avoir normalisé si nécessaire l’équation différentielle étudiée et vérifié que l’équation normalisée est définie sur \(\mathbb{R}\), on résout l’équation homogène associée puis on cherche une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante.
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left(2+\cos x\right)\left(\alpha -\ln\left(2+\cos x\right)\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -1/2\,{e^{x}}\cos \left( 2\,x \right) +\alpha{e^{x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \dfrac{\alpha+x+e^x}{1+e^x} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \mathop{\mathrm{ch}}x\left(\alpha + \mathop{\mathrm{ch}}x + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}x}\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -1/2\,{e^{x}}\cos \left( 2\,x \right) + \alpha{e^{x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle\mathop{\mathrm{argsh}} \left( x \right) +\alpha\over\scriptstyle \sqrt {1+{x}^{2}}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left(1+\mathop{\mathrm{ch}}x\right)\left(\alpha + \ln\left(1+\mathop{\mathrm{ch}}x\right)\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
Résoudre sur les intervalles spécifiés les équations différentielles suivantes :
\(y'+y \mathop{\mathrm{cotan}}x = \sin x\) sur \(\left]0,\pi\right[\).
\(xy'+y=\sin^3 x\) sur \(\mathbb{R}^*_-\).
\(x\left(1+\ln^2 x\right)y'-2\ln x ~y= \left(1+\ln^2 x\right)^2\).
\(\sin x~ y'-\cos x~ y+1=0\) sur \(\left]0,\pi\right[\).
\(y'+\left(\tan x\right) y = \cos^3 x\) sur \(\left]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\)
\(\sqrt{1-x^2}y'+y=1\) sur \(\left]-1,1\right[\).
Après avoir normalisé si nécessaire l’équation différentielle étudiée et vérifié que l’équation normalisée est définie sur l’intervalle spécifié, on résout l’équation homogène associée puis on cherche, si nécessaire, une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante.
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle 1/2\,x-1/4\,\sin \left( 2\,x \right) + \alpha\over\scriptstyle\sin \left( x \right) }} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle 1/12\,\cos \left( 3\,x \right) -3/4\,\cos \left( x \right) +\alpha\over\scriptstyle x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}_+^*}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left(1+\ln^2 x\right) \left(\alpha + \ln x\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto {{{\scriptstyle\sin \left( x \right) \over\scriptstyle\tan \left( x \right) }}+\alpha\sin \left( x \right) } = \cos x + \alpha\sin x ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \cos \left( x \right) \left( 1/4\,\sin \left( 2\,x \right) +1/2\,x + \alpha \right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { 1+\alpha{e^{-\operatorname{arcsin} \left( x \right) }} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
Résoudre sur les intervalles spécifiés les équations différentielles suivantes :
\(y'+\left(\tan x\right)~ y-\sin 2x =0\) sur \(\left]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\).
\(\mathop{\mathrm{sh}}x ~ y' -\mathop{\mathrm{ch}}x y=1\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) puis sur \(\mathbb{R}_-^*\).
\(x^3y'+4\left(1-x^2\right)y=0\) sur \(\mathbb{R}_+^*\).
\(\sqrt{x^2-1}~y'+y=1\) sur \(\left[1,+\infty\right[\).
\({\sin^3 x}~ y' = 2\cos x ~ y\) sur \(\left]0,\pi\right[\).
Après avoir normalisé si nécessaire l’équation différentielle étudiée et vérifié que l’équation normalisée est définie sur l’intervalle spécifié, on résout l’équation homogène associée puis on cherche, si nécessaire, une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante.
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -2\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{2}+\alpha\cos \left( x \right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -\mathop{\mathrm{ch}}x+\alpha\mathop{\mathrm{sh}} \left( x \right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\). Le \(\alpha\) trouvé pour \(\mathbb{R}_+^*\) n’a rien à voir avec le \(\alpha\) trouvé pour \(\mathbb{R}_-^*\).
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \alpha\,{e^{2\,{x}^{-2}}}{x}^{4} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { 1+\alpha e^{-\mathop{\mathrm{argch}} x} } = 1 + \dfrac{\alpha}{x+\sqrt{x^2-1}} ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto {\alpha\,{e^{2\, \left( -1+\cos \left( 2\,x \right) \right) ^{-1}}} } = \alpha\exp\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sin^2x}\right) ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)
Soit \(k>0\). Montrer qu’il existe une unique condition initiale \(y_0\in \mathbb{R}\) telle que la solution du problème de Cauchy \[y'-ky=\sin t \quad y(0)=y_0\] soit bornée sur \([0,+\infty[\).
On cherche la solution générale de l’équation différentielle , avec une solution particulière de la forme \(t\mapsto A\cos t + B\sin t\). On trouve que les solutions sont les fonctions : \[y(t)= -\dfrac{1}{k^2+1}\left( k\sin t + \cos t \right) + Ce^{kx}\] Pour qu’une telle solution soit bornée sur \([0,+\infty[\), il faut et il suffit que \(C=0\) et alors \[y(x)= -\dfrac{1}{k^2+1}\left( k\sin t + \cos t \right)\] qui correspond à la donnée initiale \(y(0)=-\dfrac{1}{k^2+1}\).
Déterminer les fonctions \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continues vérifiant \[\forall x \in \mathbb{R} ,~ f(x) = \sin x + 2\int_0^x e^{x-t}f(t)\mathrm{ \;d}t.\]
Soit \(f\) une telle fonction. Elle vérifie : \[\forall x\in \mathbb{R} ,~ f(x) = \sin x + 2e^x \int_0^x e^{-t}f(t)\mathrm{ \;d}t\] D’après le théorème fondamental de l’analyse, \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et \(\forall x \in \mathbb{R}\), \[f'(x) = \cos x + 2f(x) + 2e^x \int_0^xe^{-t}f(t)\mathrm{ \;d}t = 3f(x) + \cos x - \sin x\] Par conséquent, \(f\) doit être une solution de l’équation différentielle \[(E)~: y' - 3y = \cos x - \sin x\] On cherche l’ensemble des solutions de \((E)\) et on trouve \[\mathcal{S}_E = \{ Ce^{3x} - \dfrac{1}{4}\cos x + \dfrac{1}{5} \sin x \}\] Puisque \(f(0) = 0\), il vient : \[f(x) = \dfrac{1}{5}e^{3x} - \dfrac{1}{5}\cos x + \dfrac{2}{5}\sin x\] et on vérifie que cette fonction convient.
Résoudre pour un entier \(n \geqslant 1\) l’équation différentielle : \[(E_n)~: y' + \dfrac{nx}{x+1}y = (x+1)^n e^x\] sur l’intervalle \(I = ]-1, +\infty[\).
L’ensemble des solutions de l’équation homogène est \[\mathcal{S}_H = \{x\mapsto C e^{-nx}(x+1)^n~;~C \in \mathbb{R} \}\] On cherche une solution particulière sous la forme \[y(x) = C(x) e^{-nx}(x+1)^n\] et la méthode de la variation de la constante donne \[C'(x) = e^{(n+1)x}\] Une solution particulière est \[y(x) = \dfrac{(x+1)^n e^x}{n+1}\] L’ensemble des solutions est donc \[\mathcal{S} = \{ x\mapsto\dfrac{e^x(x+1)^n}{n+1} + Ce^{-nx}(x+1)^n~; C\in \mathbb{R} \}\]
On considère une fonction \(a : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continue et \(T\)-périodique. Montrer que pour toute solution non-nulle \(\varphi\) de l’équation différentielle \[(E)~:y' - a(x) y = 0\] il existe un unique réel \(\alpha\) tel que la fonction définie par \(\psi(x) = e^{-\alpha x} \varphi(x)\) soit \(T\)- périodique.
Soit une solution \(\varphi\) de l’équation différentielle. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a \[\varphi(x) = \varphi(0) e^{\int_0^x a(t)\mathrm{ \;d}t}\] Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). La fonction \(\psi\) donnée par \(\psi(x) = e^{-\alpha x}\varphi(x)\) vérifie alors \[\dfrac{\psi(x+T)}{\psi(x)} = e^{-\alpha T + \int_x^{x+T}a(t)\mathrm{ \;d}t}\] Mais la fonction définie par \(A(x) = \int_x^{x+T} a(t)\mathrm{ \;d}t\) est de classe \(\class{1}\) sur \(\mathbb{R}\) d’après le théorème fondamental, et \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(A'(x) = a(x+T) - a(x) = 0\). Par conséquent, \(\dfrac{\psi(x+T)}{\psi(x)} = e^{-\alpha T + \int_0^T a(t)\mathrm{ \;d}t}\). On doit donc avoir \[\alpha = \dfrac1T\int_0^T a(t)\mathrm{ \;d}t\] et on vérifie réciproquement que \(\psi\) est \(T\)-périodique.
Trouver toutes les fonctions \(f:[0,+\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) continues sur l’intervalle \(I = [0, +\infty[\), vérifiant : \[\forall x\in ]0, +\infty[, \quad 2xf(x)=3\int_0^x f(t) dt\]
Comme \(f\) est continue, par application du théorème fondamental de l’analyse, il existe une primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}_+\) qui s’annule en \(0\). On a de plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^*\), la relation : \(\quad 2xf(x)=3F\left(x\right)\) qui permet d’affirmer que, comme \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\), il en est de même de \(f\). La fonction \(f\) est alors solution de l’équation différentielle : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\quad 2xf'\left(x\right)-f\left(x\right)=0\] et donc il existe \(\alpha\in\mathbb{R}\) tel que \(\boxed{f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \alpha\sqrt{x} \end{array} \right. }\). Réciproquement, on vérifie que les fonctions de cette forme sont solutions de l’équation fonctionnelle de départ.