Sommes de Riemann

Exercices du dossier Sommes de Riemann

Exercice 553 *

12 mai 2021 13:27 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite de terme général \[u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{n^2+2kn}}\]



[ID: 1996] [Date de publication: 12 mai 2021 13:27] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 553
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:27

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On met en évidence le groupement \(k/n\) : \[u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{n^2+2kn}}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{1+{\scriptstyle 2k\over\scriptstyle n}}}\] et on reconnaît une somme de Riemann donc \(u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \int_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1+2x}}\,\textrm{d}x=\Bigl[ \sqrt{1+2x} \Bigr]_{0}^{1} =\boxed{\sqrt 3 - 1}\).


Exercice 142 *

12 mai 2021 13:27 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite de terme général \[u_n=\sum_{p=n}^{2n} \dfrac{1}{p}\]



[ID: 1998] [Date de publication: 12 mai 2021 13:27] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 142
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:27

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On met en évidence le groupement \(k/n\) : \[u_n=\sum_{p=n}^{2n} \dfrac{1}{p} = \sum_{p=0}^n \dfrac{1}{p+n} = \dfrac{1}{n}\sum_{p=1}^n \dfrac{1}{{\scriptstyle p\over\scriptstyle n}+1} + \dfrac{1}{n} .\] On reconnaît une somme de Riemann :\(\dfrac{1}{n}\sum_{p=1}^n \dfrac{1}{{\scriptstyle p\over\scriptstyle n}+1}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x}\,\textrm{d}x=\ln 2\). On en déduit que \(\boxed{u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\ln 2}\).


Exercice 406 *

12 mai 2021 13:27 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite de terme général \[u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{n}{n^2+k^2}\]



[ID: 2000] [Date de publication: 12 mai 2021 13:27] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 406
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On met en évidence le groupement \(k/n\) : \[u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{n}{n^2+k^2} =\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1+{\scriptstyle k^2\over\scriptstyle n^2}}\] et on reconnaît une somme de Riemann. Donc \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x^2}\,\textrm{d}x=\boxed{\dfrac{\pi}{4}}\).


Exercice 54 *

12 mai 2021 13:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite de terme général \[u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}}\]



[ID: 2002] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 54
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On met en évidence le groupement \(k/n\) : \[u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{1+{\scriptstyle k\over\scriptstyle n}}}+\dfrac{1}{n}\] On reconnaît une somme de Riemann \(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{1+{\scriptstyle k\over\scriptstyle n}}} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \int_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\,\textrm{d}x = 2(\sqrt{2}-1)\) donc \(\boxed{u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 2(\sqrt{2}-1)}\).


Exercice 173 *

12 mai 2021 13:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer la limite de la suite de terme général \[u_n = n\sum_{k=1}^n \dfrac{ e^{-n/k}}{k^2}\]



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Exercice 173
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On écrit : \[u_n = n\sum_{k=1}^n \dfrac{ e^{-n/k}}{k^2} = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{n^2e^{-{\scriptstyle n\over\scriptstyle k}}}{k^2}\] et on reconnaît une somme de Riemann. L’intégrale à calculer est \(\int_{0}^{1} \dfrac{e^{-1/x}}{x^2}\,\textrm{d}x\). La fonction \(f:x\mapsto \dfrac{e^{-1/x}}{x^2}\) est prolongeable par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=0\) donc cette intégrale est bien définie. Une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) est \(x\mapsto e^{-1/x}\) donc l’intégrale vaut \(-1/e\). En conclusion \(\boxed{u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}-1/e}\).


Exercice 369 *

12 mai 2021 13:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver la limite des suites de termes général \[\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k^2}{8k^3+n^3}\]



[ID: 2006] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 369
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Soit \(n\in \mathbb N\). En mettant en évidence le groupement \(k/n\), on reconnaît une somme de Riemann : \[u_n = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{\left( {\scriptstyle k\over\scriptstyle n}\right)^2 }{8\left({\scriptstyle k\over\scriptstyle n}\right)^3+1} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \int_0^1 \dfrac{x^2\mathrm{ \;d}x}{8x^3+1} = I\] On calcule la limite \(I = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 24}\ln 9 = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12}\ln 3\).


Exercice 973 *

12 mai 2021 13:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux réels \(\alpha>0, \beta >0\). Déterminer la limite de la suite de terme général \[u_n = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{\alpha n + \beta k }\]



[ID: 2008] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 973
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Soit \(n\geqslant 1\). Écrivons \[u_n = \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{\alpha + \beta k/n}\] On reconnaît alors une somme de Riemann. Posons \(f : \left\{ \begin{array}{ccl} [0, 1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & 1/(\alpha + \beta x) \end{array} \right.\). Cette fonction est continue sur le segment \([0, 1]\) et donc \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\int_0^1 f(x) \mathrm{ \;d}x\). Reste à calculer cette intégrale : \[\int_0^1 f(x) \mathrm{ \;d}x = \left[ \ln(\alpha + \beta x) \right]_0^1 = \ln(1 + \alpha / \beta)\].


Exercice 583 **

12 mai 2021 13:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite de terme général \[u_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k}\sqrt{\dfrac{k}{k+n}}\]



[ID: 2010] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 583
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

On reconnaît une somme de Riemann : \[u_n = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left( {\scriptstyle k\over\scriptstyle n}\right) \textrm{ où } f:\left\{ \begin{array}{ccl} [0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{1}{1+x}\sqrt{\dfrac{x}{1+x}} \end{array} \right.\] avec la fonction \(f\) qui est continue sur le segment \([0,1]\). Par conséquent, la suite \((u_n)\) converge vers \[I = \int_0^1 \dfrac{1}{1+x}\sqrt{\dfrac{x}{1+x}} \mathrm{ \;d}x\] C’est une intégrale d’une fraction rationnelle en \(x\) et en une racine \(n\)-ième d’une homographie qui se calcule grâce au changement de variables \(t=\sqrt{\dfrac{x}{1+x}}\). On trouve alors : \(x = {\scriptstyle t^2\over\scriptstyle 1-t^2} = -1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1-t^2}\), \(\mathrm{ \;d}x = {\scriptstyle 2t\mathrm{ \;d}t\over\scriptstyle(1-t^2)^2}\) et \[I = \int_0^{1/\sqrt2} (1-t^2)t \dfrac{2t\mathrm{ \;d}t}{(1-t^2)^2} = \int_0^{1/\sqrt2} \dfrac{2t^2\mathrm{ \;d}t}{(1-t^2)^2} = -2\times\dfrac{1}{\sqrt2} + \int_0^{1/\sqrt2} \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{1-t} + \int_0^{1/\sqrt2} \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{1+t} = \boxed{-\sqrt{2}+ \ln \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}\]


Exercice 803 **

12 mai 2021 13:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour \(n\in \mathbb N\), on pose \[I_n = \int_0^1 \dfrac{t^n - t^{2n}}{1-t} \; dt\]

  1. Justifier l’existence de \(I_n\) pour \(n\geqslant 1\).

  2. Déterminer la limite de la suite \((I_n)\).



[ID: 2012] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 803
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28
  1. Soit \(t \in [0, 1[\). Puisque \(1-t^n = \left(1 + t + \dots + t^{n-1}\right)\left(1-t\right)\), \[\dfrac{t^n-t^{2n}}{1-t} = t^n(1+t+\dots + t^{n-1}) = \sum_{k=n}^{2n-1} t^k \xrightarrow[x \rightarrow 1^{-}]{} n\] Donc à \(n\) fixé, la fonction à intégrer se prolonge par continuité sur le segment \([0, 1]\), donc l’intégrale \(I_n\) existe.

  2. D’après ce calcul, on peut exprimer \(I_n\) à l’aide d’une somme : \[I_n = \sum_{k=n}^{2n-1} \dfrac{1}{k+1} = \sum_{i=n+1}^{2n} \dfrac{1}{i}\] On reconnaît une somme de Riemann : \[I_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n+k} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{{\scriptstyle n\over\scriptstyle k} + 1} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k/n)\]\(f : \left\{ \begin{array}{ccl} [0, 1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{1}{x+1} \end{array} \right.\) est une fonction continue sur le segment \([0, 1]\). donc \[I_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\int_0^1 f(x) \mathrm{ \;d}x = \boxed{\ln 2}\]


Exercice 523 **

12 mai 2021 13:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite de terme général \[u_n =\dfrac{1}{n^4} \prod_{k=1}^{2n}\left( n^2+k^2\right) ^{1/n}\]



[ID: 2014] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 523
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Comme les termes de \(u_n\) sont strictement positifs, nous pouvons transformer le produit en somme en utilisant le logarithme. Posons pour \(n\in \mathbb N\), \(v_n = \ln u_n\). On calcule alors \[v_n = -4\ln n + \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n} \ln\left[ n^2(1+k^2/n^2)\right] = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\ln(1+k^2/n^2)\] On reconnaît alors une somme de Riemann, associée à la subdivision du segment \([0, 1]\) en \(2n\) intervalles en écrivant \[v_n = 2\times \dfrac{1}{(2n)}\sum_{k=1}^{2n}\ln\left( 1 + 4{\scriptstyle k^2\over\scriptstyle(2n)^2}\right)\] Comme la fonction \(f:\left\{ \begin{array}{ccl} [0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \ln(1+4x^2) \end{array} \right.\) est continue sur le segment \([0, 1]\), \(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}2I = 2\int_0^1 f(t) \mathrm{ \;d}t\). En intégrant par parties cette intégrale, on trouve \(I = \dfrac12 \int_0^2\ln(1+u^2)\mathrm{ \;d}u = \dfrac12 \left[ u\ln(1+u^2)\right]_0^2 - \dfrac12 \int_0^2 \dfrac{2u^2\mathrm{ \;d}u}{1+u^2}=\dfrac12\ln 5 - 2 + 2\operatorname{arctan} 2\) et donc finalement, \(u_n = e^{v_n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\dfrac{5}{e^4}e^{2\operatorname{arctan} 2}\).


Exercice 715 **

12 mai 2021 13:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver un équivalent de la suite de terme général \[u_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{\sqrt{n(k^2+n^2)}}{n}\]



[ID: 2016] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 715
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Soit \(n\in \mathbb N\). Écrivons \(u_n\) en faisant apparaître le groupement \(k/n\) : \[u_n = \sqrt{n}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sqrt{(k/n)^2 + 1} = \sqrt{n} v_n\]\(v_n\) est une somme de Riemann qui converge vers \(I = \int_0^1 \sqrt{x^2 + 1} \mathrm{ \;d}x\). Pour calculer \(I\), le plus rapide est d’intégrer par parties : \[I = \left[x\sqrt{x^2+1}\right]_0^1 - \int_0^1 \dfrac{x^2+1-1}{ \sqrt{x^2+1}}\mathrm{ \;d}x\] d’où l’on tire \(2I = \sqrt{2} + \left[\mathop{\mathrm{argsh}}x\right]_0^1\) et comme \(\mathop{\mathrm{argsh}}x = \ln(x+\sqrt{x^2+1})\), on tire \(I = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})\). Par conséquent, \(\boxed{u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} \left({\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2} + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \ln (1+\sqrt{2})\right) \sqrt{n}}\).


Exercice 143 ***

12 mai 2021 13:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer la limite de la suite de terme général \[u_n = \Bigl(\dfrac{ (2n)! }{n! n^n} \Bigr)^{1/n}\]



[ID: 2018] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 143
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Considérer \(v_n = \ln u_n = \dfrac{1}{n}\bigl[ \ln(2n!) - \ln(n!) - n \ln n\bigr]\). On a \[\begin{aligned} v_n &= \dfrac{1}{n}\bigl[ \sum_{k=n+1}^{2n} \ln k - n\ln n\bigr] \\ &= \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} \ln\bigl( 1 + {\scriptstyle p+1\over\scriptstyle n} \bigr) \end{aligned}\] Par conséquent, \(v_n\) est une somme de Riemann qui converge vers \(I = \int_0^1 \ln(1 + x)\mathrm{ \;d}x\) (la fonction est continue sur \([0, 1]\)). Grâce à une intégration par parties, on calcule \(\boxed{ I = 2\ln 2 - 1}\). La limite de \(u_n\) est donc \(\dfrac4e\).


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