Formules de Taylor

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Formules de Taylor

Exercice 394 *

12 mai 2021 13:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Montrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}\) et pour tout \(x\in \mathbb{R}\), on a :

    \[\displaystyle{\left|e^x - \sum_{k=0}^{n} {\scriptstyle x^k\over\scriptstyle k!}\right| \leqslant\dfrac{\left|x\right|^{n+1} e^{\left|x\right|}}{\left(n+1\right)!}}\]

  2. En déduire \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{n} {\scriptstyle x^k\over\scriptstyle k!}}\).


[ID: 1984] [Date de publication: 12 mai 2021 13:25] [Catégorie(s): Formules de Taylor ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 394
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:26

  1. Soit \(x\in\mathbb{R}^*\). On applique la formule de Taylor avec reste intégrale sur \(\left[0,x\right]\) à la fonction \(\exp\) qui est \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur ce segment : \[e^x = \sum_{k=0}^{n} {\scriptstyle x^k\over\scriptstyle k!} + \int_{0}^{x} \dfrac{\left(x-t\right)^n e^t}{n!}\,\textrm{d}t.\] Mais \[\left|\int_{0}^{x} \dfrac{\left(x-t\right)^n e^t}{n!}\,\textrm{d}t\right| \leqslant\int_{0}^{\left|x\right|} \dfrac{\left|x-t\right|^n e^t}{n!}\,\textrm{d}t\leqslant\int_{0}^{\left|x\right|} \left|x\right|^n e^{\left|x\right|}\,\textrm{d}t=\dfrac{\left|x\right|^{n+1} e^{\left|x\right|}}{\left(n+1\right)!}\] et on en déduit l’inégalité annoncée.

  2. Comme \(\dfrac{\left|x\right|^{n+1} e^{\left|x\right|}}{\left(n+1\right)!}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\) par le théorème des gendarmes \(\left|e^x - \sum_{k=0}^{n} {\scriptstyle x^k\over\scriptstyle k!}\right|\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\) et \(\boxed{\sum_{k=0}^{n} {\scriptstyle x^k\over\scriptstyle k!}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}e^x}\).


Exercice 1022 *

12 mai 2021 13:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

En appliquant la formule de Taylor avec reste intégrale à la fonction \(x\mapsto \ln\left(1+x\right)\) entre \(0\) et \(1\), montrer que :

\[1 -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{\left(-1\right)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \ln 2\]


[ID: 1986] [Date de publication: 12 mai 2021 13:26] [Catégorie(s): Formules de Taylor ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 1022
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:26

La fonction \(x\mapsto \ln\left(1+x\right)\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\left[0,1\right]\). On montre facilement que \(\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \forall x\in\left[0,1\right],\quad \ln^{\left(n\right)} \left(1+x\right) = \dfrac{\left(-1\right)^{n-1}\left(n-1\right)!}{\left(1+x\right)^{n}}\). On applique alors la formule de Taylor avec reste intégrale : \[\begin{aligned} \ln 2 &= &\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}\dfrac{\left(-1\right)^{k-1}\left(k-1\right)!}{\left(1+x\right)^{k}} +\int_{0}^{1} \dfrac{\left(1-t\right)^n}{n!} \dfrac{\left(-1\right)^{n}\left(n\right)!}{\left(1+t\right)^{n+1}} \,\textrm{d}t\\ &=& 1 -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{\left(-1\right)^{n-1}}{n} + \int_{0}^{1} \dfrac{\left(-1\right)^{n}\left(1-t\right)^n}{\left(1+t\right)^{n}\left(1+t\right)} \,\textrm{d}t.\end{aligned}\] Mais \[\left|\int_{0}^{1} \dfrac{\left(-1\right)^{n}\left(1-t\right)^n}{\left(1+t\right)^{n}\left(1+t\right)} \,\textrm{d}t\right| =\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+t}\left(\dfrac{1-t}{1+t}\right)^n\,\textrm{d}t \leqslant\int_{0}^{1} \left(1-t\right)^n\,\textrm{d}t=\dfrac{1}{n+1}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\] et on conclut comme dans l’exercice précédent.


Exercice 119 *

12 mai 2021 13:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) et \(a\in \mathbb{R}\). Montrer que :

\[\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0}{\scriptstyle f\left(a+h\right)-2f\left(a\right) + f\left(a-h\right)\over\scriptstyle h^2}}=f''\left(a\right)\] En déduire \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}{\scriptstyle 2\cos \left(x\right) -2\over\scriptstyle x^2}}\).


[ID: 1988] [Date de publication: 12 mai 2021 13:26] [Catégorie(s): Formules de Taylor ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 119
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:26

On utilise la formule de Taylor-Young à l’ordre \(2\). Pour tout \(h\in\mathbb{R}\) : \[f\left(a+h\right)=f\left(a\right)+f'\left(a\right)h+f''\left(a\right)\dfrac{h^2}{2}+\underset{h \rightarrow 0}{o}\left(h^2\right)\] et on remplace : \[\begin{aligned} \dfrac{f\left(a+h\right)-2f\left(a\right) + f\left(a-h\right)}{h^2} = f''\left(a\right)+\underset{h \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\xrightarrow[h\rightarrow 0]{}f''\left(a\right)\end{aligned}\]

On applique ce résultat à la fonction cosinus qui est bien de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}\) en \(a=0\). On obtient : \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}{\scriptstyle 2\cos \left(x\right) -2\over\scriptstyle x^2}}=-1\)


Exercice 535 *

12 mai 2021 13:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver \[\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{ x(e^x+1)-2(e^x-1)}{x^3}\]


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Exercice 535
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:26

Utilisons la formule de Taylor-Young pour l’exponentielle en \(0\) à l’ordre \(3\): \[e^x = 1+x+\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x) \textrm{ avec } \varepsilon(x)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 0\] Alors le numérateur s’écrit \(\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} \dfrac{x^3}{6}\) et par conséquent, la fonction tend vers \(\boxed{\dfrac{1}{6}}\).


Exercice 493 *

12 mai 2021 13:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \([0,1]\). On pose pour \(x\in ]0,1[\), \[g(x)= \dfrac{ f(x)-f(0)-x(f(1)-f(0))}{\sin (\pi x) }\] Montrer que l’on peut prolonger \(g\) par continuité en \(0\) et \(1\).


[ID: 1992] [Date de publication: 12 mai 2021 13:26] [Catégorie(s): Formules de Taylor ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 493
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:26

On écrit la formule de Taylor-Young pour \(f\) en \(0\) à l’ordre \(1\) pour tout \(x\in\left[0,1\right]\) : \(f\left(x\right)=f\left(0\right)+xf'\left(0\right)+\underset{x \rightarrow 0^+}{o}\left(x\right)\) et on remplace dans \(g\left(x\right)\) : \[g\left(x\right)=\dfrac{xf'\left(0\right)+\underset{x \rightarrow 0^+}{o}\left(x\right)-x\left(f\left(1\right)-f\left(0\right)\right)}{\sin \left(\pi x\right)} \underset{x\rightarrow 0^+}{\sim} \dfrac{ f'\left(0\right)+\underset{x \rightarrow 0^+}{o}\left(1\right)-\left(f\left(1\right)-f\left(0\right)\right) }{\pi}\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{} \dfrac{1}{\pi}\left(f'\left(0\right)-f\left(1\right)+f\left(0\right)\right)\] et on prolonge \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=\dfrac{1}{\pi}\left(f'\left(0\right)-f\left(1\right)+f\left(0\right)\right)\). La formule de Taylor-Young appliquée aux fonctions \(f\) et \(x\mapsto \sin \left(\pi x\right)\) en \(1\) à l’ordre \(1\) donne pour tout \(x\in\left[0,1\right]\): \[f\left(x\right)=f\left(1\right)+\left(x-1\right)f'\left(1\right)+\underset{x \rightarrow 1^-}{o}\left(x-1\right) \quad \textrm{ et} \quad\sin \left(\pi x\right)=-\pi \left(x-1\right)+\underset{x \rightarrow 1^-}{o}\left(x-1\right)\] et on procède comme précédemment : \[g\left(x\right)=\dfrac{\left( -f\left(1\right) +f'\left(1\right) -f\left(0\right) \right)\left(x-1\right) + \underset{x \rightarrow 1^-}{o}\left({x-1}\right)}{-\pi \left(x-1\right)+\underset{x \rightarrow 1^-}{o}\left({x-1}\right)} = \dfrac{ -f\left(1\right) +f'\left(1\right) -f\left(0\right) + \underset{x \rightarrow 1^-}{o}\left(1\right) }{-\pi + \underset{x \rightarrow 1^-}{o}\left(1\right) }\xrightarrow[x\rightarrow 1^-]{} \dfrac{1}{\pi} \left(f\left(1\right) -f'\left(1\right) +f\left(0\right) \right).\] On prolonge alors \(f\) par continuité en \(1\) en posant \(f\left(1\right)=\dfrac{1}{\pi} \left(f\left(1\right) -f'\left(1\right) +f\left(0\right) \right)\).


Exercice 775 **

12 mai 2021 13:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Écrire l’inégalité de Taylor-Lagrange pour l’exponentielle entre \(0\) et \(X\in\mathbb{R}_+^*\).

  2. En déduire l’existence d’une constante \(C>0\) telle que : \[\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \forall x\in\left[0,1\right],\quad \left|\left(1+x^2\right)^{1/n} -1-\dfrac{1}{n}\ln\left(1+x^2\right) \right|\leqslant\dfrac{C}{n^2} .\]

  3. Trouver alors deux réels \(a,b\in\mathbb{R}\) tels que \[\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \int_{0}^{1} \left(1+x^2\right)^{1/n}\,\textrm{d}x=a+\dfrac{b}{n}+\dfrac{\varepsilon_n}{n}\] où \(\varepsilon_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\)


[ID: 1994] [Date de publication: 12 mai 2021 13:26] [Catégorie(s): Formules de Taylor ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 775
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:26

  1. On écrit l’inégalité de Taylor-Lagrange pour l’exponentielle entre \(0\) et \(X\in\mathbb{R}_+^*\) : \[\left|e^{X}-\left(1+X\right)\right|\leqslant\dfrac{X^2}{2}e^X\] car \(\sup_{x\in\left[0,X\right] }\left|e^x\right|=e^X\).

  2. Soient \(x\in\left[0,1\right]\) et \(n\in\mathbb{N}\). Comme \(\left(1+x^2\right)^{1/n} = \exp\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\ln(1+x^2)\right)\), avec \(X={\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\ln(1+x^2)\), on trouve que : \[\left| \left(1+x^2\right)^{1/n} -\left(1+\dfrac{1}{n}\ln\left(1+x^2\right)\right)\right| \leqslant\dfrac{\ln^2\left(1+x^2\right)}{2n^2}\left(1+x^2\right)\leqslant \dfrac{\ln^2 \left(2\right)}{n^2}\] car \(1+x^2\leqslant 2\)

  3. Posons \(a=\int_{0}^{1} \,\textrm{d}x=1\) et \(b=\int_{0}^{1} \ln\left(1+x^2\right)\,\textrm{d}x\). On a alors : \[\varepsilon_n=\left| \int_{0}^{1} \left(1+x^2\right)^{1/n}\,\textrm{d}x-a-\dfrac{b}{n} \right| = \left| \int_{0}^{1} \left[ \left(1+x^2\right)^{1/n} -1- \dfrac{1}{n}\ln\left(1+x^2\right) \right]\,\textrm{d}x \right|\leqslant\int_{0}^{1} \dfrac{C}{n^2}\,\textrm{d}x\leqslant\dfrac{C}{n^2}.\] Donc \(\int_{0}^{1} \left(1+x^2\right)^{1/n}\,\textrm{d}x=a+\dfrac{b}{n}+\varepsilon_n\) et \(\left|n\varepsilon_n\right| \leqslant\dfrac{C}{n}\) donc \(\varepsilon_n = \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(\dfrac{1}{n}\right)\). Il ne reste plus qu’à calculer \(b\) par parties : \[b= \int_{0}^{1} \ln\left(1+x^2\right)\,\textrm{d}x = \Bigl[ x\ln\left(1+x^2\right) \Bigr]_{0}^{1} -2\int_{0}^{1} \dfrac{x^2}{1+x^2}\,\textrm{d}x=\ln 2 - 2 + \int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x^2}\,\textrm{d}x=\ln 2 - 2 +\dfrac{\pi}{4}.\]


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