Algèbre linéaire et intégration

Exercices du dossier Algèbre linéaire et intégration

Exercice 946 **

12 mai 2021 13:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). Si \(f \in E\), on note \(T(f) = g\) l’application définie par \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad g(x) = \int_0^x tf(t) \;dt\]

  1. Montrer que \(T\) est un endomorphisme de \(E\).

  2. Déterminer \(\operatorname{Ker}T\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}T\).



[ID: 1980] [Date de publication: 12 mai 2021 13:18] [Catégorie(s): Algèbre linéaire et intégration ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 946
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:18
  1. La linéarité de \(T\) provient de la linéarité de l’intégrale. Si \(f\in E\) alors par opérations sur les fonctions continues, la fonction \(t\mapsto t f\left(t\right)\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et admet, d’après le théorème fondamental, une unique primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\) qui s’annule en \(0\). Donc, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(g\left(x\right)=F\left(x\right)\). Comme \(F\) est continue sur \(\mathbb{R}\) il en est de même de \(g\) et on a bien \(g\in E\). L’application \(T\) est bien à valeurs dans \(E\).

  2. Soit \(f\in{\rm Ker}\,T\) et \(F\) la primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(t\mapsto t f\left(t\right)\) qui s’annule en \(0\). Alors \(F=0\) et \(F'=0\). Donc pour tout \(t\in\mathbb{R}\), \(tf\left(t\right)=0\). On en déduit que \(f\) est identiquement nulle sur \(\mathbb{R}^*\). Comme \(f\) est continue en \(0\), on a aussi \(f\left(0\right)=0\). Donc \(f=0\) et \(\operatorname{Ker}T=\left\{0\right\}\). L’endomorphisme \(T\) est injectif. Montrons que \(\mathop{\mathrm{Im}}T\) est l’ensemble \(\mathscr F\) des fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) de la forme \(x\mapsto xF\left(x\right)-G\left(x\right)\)\(F\in\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}\right)\) et où \(G:x\mapsto \int_{0}^{x} F\left(t\right)\,\textrm{d}t\). Soit \(f\in E\). Notons \(F\) la primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) qui s’annule en \(0\) et \(G\) celle de \(F\) sur \(\mathbb{R}\) qui s’annule en \(0\). Une intégration par parties livre : \[T\left(f\right)= \int_{0}^{x} tf\left(t\right)\,\textrm{d}t=\Bigl[ tF\left(t\right) \Bigr]_{0}^{x}-\int_{0}^{x} F\left(t\right)\,\textrm{d}t=xF\left(x\right)-G\left(x\right)\] donc \(T\left(f\right)\in \mathscr F\). Réciproquement, si \(H=x\mapsto xF\left(x\right)-G\left(x\right)\in \mathscr F\) alors \(H\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(t\in\mathbb{R}\), \(H'\left(t\right)=F\left(t\right)+tF'\left(t\right)-G'\left(t\right)=tF'\left(t\right)\) car \(G'=F\). Donc \(H=T\left(F'\left(t\right)\right)\) et \(H\in \mathop{\mathrm{Im}}T\).


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Exercice 771
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:18
  1. La linéarité de \(\varphi\) provient de la linéarité de la dérivation et celle de \(\psi\) de la linéarité de l’intégration.

  2. Soit \(f\in E\). Comme \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\), elle est continue sur \(\mathbb{R}\) et, d’après le théorème fondamental, elle admet une primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\). On a : \(\forall x\in \mathbb{R}, \quad \left(\psi\left(f\right)\right)(x) = F\left(x\right)-F\left(0\right)\). Par conséquent : \(\varphi\circ \psi \left(f\right) = F'=f\) et donc \(\varphi\circ \psi = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\). De même, \(f'\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) et une primitive de \(f'\) sur \(\mathbb{R}\) est bien entendu donnée par \(f\). Donc, pour tout \(\psi\circ \varphi\left(f\right) = \psi\left(f'\right)=f-f\left(0\right)\).

  3. Comme \(\varphi\circ \psi=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\) est bijective, nécessairement \(\varphi\) est surjective et \(\psi\) est injective. Donc \(\mathop{\mathrm{Im}}{\varphi}=E\) et \(\operatorname{Ker} {\psi}=\left\{0\right\}\). Par ailleurs, \(\operatorname{Ker}{\varphi}\) est donné par les fonctions constantes sur \(\mathbb{R}\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}{\psi}=\left\{f\in \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~ f\left(0\right)=0\right\}\). En effet, si \(f\) est élément de ce dernier ensemble alors \(\psi\left(f'\right)\) est la primitive de \(f'\) qui s’annule en \(0\). Il en est de même pour \(f\) et donc \(f=\psi\left(f'\right)\). Réciproquement, toute fonction de la forme \(x\mapsto \int_{0}^{x} f\left(t\right)\,\textrm{d}t\) s’annule en \(0\) et est \(\mathcal{C}^{\infty}\) si \(f\) l’est.


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